1、考研数学三-444 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 y=y(x)是微分方程 y“+(x-1)y+x2y=ex的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.累次积分 可以化为 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 X 是连续型随机变量，其分布函数为 F(x)，如果数学期望 E(X)存在，则当 x+时，1-F(x)是（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=3A，则未必有 ( )（分数：4.00）A.A 可逆B.2A-3E 可逆C.A+E 可逆D.A
2、-4E 可逆5.设某设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 X 服从参数为 t(0)的泊松分布，T 表示相继两次故障之间时间间隔，则对任意 t0，概率 PTt 等于 ( )（分数：4.00）_6.已知 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，下列条件中能保证：至少存在一点 (a，b)，使f“()+f()=0 的是 ( )（分数：4.00）A.f(a)(b)=f(b)f(a)B.f(a)f(a)=f(b)f(b)C.f(a)2+f(b)2=f(b)2+f(a)2D.f(a)2-f(b)2=f(b)2-f(a)27.设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，A 与 B 合同，则 ( )（分数：4
3、.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式8.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.差分方程：y x+1+2yx=5x2的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_10.设底面长，短半轴分别为 a，b 的正椭圆柱体被过此柱体底面短轴且与底面成 角(0 （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)有二阶连续导数且 z=f(exsiny)满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_
4、14.二次型 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b有连续的导数，试证： （分数：10.00）_16.设 f(x)有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=0，f(x)0，在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)作此曲线的切线，此切线在 x 轴上截距为 t，求极限 （分数：10.00）_17.求级数 （分数：10.00）_18.设生产某种产品需要投入甲、乙两种原料，x 和 y 分别为两种原料的投入量(单位：吨)，Q 为产出量，而且生产函数为 （分数：10.00）_19.计算二重积分： （分数：10.00）_20.设 （分数
5、：11.00）_21.已知 1=(1，2，0，-2) T， 2(-1，4，2，a) T， 3=(3，3，-1，-6) T与 1=(1，5，1，-a)T， 2=(1，8，2，-2) T， 3=(-5，2，m，10) T是齐次线性方程组 AX=0 的两个基础解系，求 a，m 的值。（分数：11.00）_22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，并且都服从正态分布 N(3， -2)，如果已知 （分数：11.00）_设正态总体 XN(，300 2)，对 进行假设检验：H 0：900，H 1:900，取容量 n=25 的简单随机样本。（分数：11.00）(1).若 H0的接受域为贾 （分数：5.50）_(
6、2).若 H0不正确，= 1=1070 正确，求犯第二类错误的概率，(已知 (1.5833)=0.9433；(1.25)=0.8944)（分数：5.50）_考研数学三-444 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 y=y(x)是微分方程 y“+(x-1)y+x2y=ex的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 求涉及二阶微分方程解的极限答案解析 由于 y(x)是方程的解，从而 y(x)有二阶连续导数，注意到 y(0)=0，y(0)=1，可用洛必达法则求极限。*2.累次积分 可以化
7、为 ( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 极坐标下累次积分化为直角坐标系下累次积分答案解析 *相应的二重积分的积分区域 D 的极坐标表示为：*而 D 的直角坐标表示为：*因此*应选(D)。*3.设 X 是连续型随机变量，其分布函数为 F(x)，如果数学期望 E(X)存在，则当 x+时，1-F(x)是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 连续型随机变量当数学期望存在时，分布函数的性质答案解析 *存在的充分必要条件是广义积分*绝对收敛，从而广义积分本身收敛，即*无妨设 x1，于是*注意到 1xt，而 f(t)0，从而 xf(t)tf(t)(tx，+)，因此*故*的高阶无穷
8、小，应选(B)。4.设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=3A，则未必有 ( )（分数：4.00）A.A 可逆 B.2A-3E 可逆C.A+E 可逆D.A-4E 可逆解析：考点 n 阶矩阵的可逆答案解析 由 A2=3A 得 A2-3A=O，于是 4A2-12A+9E=9E，即(2A-3E) 2=9E，从而 2A-3E 可逆。又从 A2=3A 得 A2+A-4A-4E=-4E，于是 A(A+E)-4(A+E)=-4E，即(A-4E)(A+E)=-4E，从而 A-4E，A+E 都可逆。若取 A=3E，则 A2=9E=3(3 层)=3A，此时 A 可逆。*5.设某设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次
9、数 X 服从参数为 t(0)的泊松分布，T 表示相继两次故障之间时间间隔，则对任意 t0，概率 PTt 等于 ( )（分数：4.00）_解析：考点 与服从泊松分布相关的随机事件的概率答案解析 Tt6.已知 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，下列条件中能保证：至少存在一点 (a，b)，使f“()+f()=0 的是 ( )（分数：4.00）A.f(a)(b)=f(b)f(a)B.f(a)f(a)=f(b)f(b)C.f(a)2+f(b)2=f(b)2+f(a)2D.f(a)2-f(b)2=f(b)2-f(a)2 解析：考点 确定使用罗尔定理的条件答案解析 条件(D)*f(a) 2+f(a
10、)2=f(b)2+f(b)2为此考察函数 g(x)=f(x)2+f(x)2，则 g(x)在a，b可导，连续，由条件(D)知 g(a)=g(b)，依罗尔定理，至少存在一点 (a，b)，使 g()=2f“()f“()+f()=0因为 f()0，故 f“()+f()=0，应选(D)7.设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，A 与 B 合同，则 ( )（分数：4.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩 C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式解析：考点 n 阶实对称矩阵合同的必要条件答案解析 A 与 B 合同，即存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B，由于 C
11、可逆，故|C T|=|C|0，则 r(A)=r(CTAC)=r(B)，即(B)正确。(A)的反例，取*则*即 A 与 B 合同，但 A 的特征值是 1，1；B 的特征值是 1，4即 A，B 的特征值不同。(C)，(D)的反例，取*则(A-E)X=OX=0=OX，即 X 是 A 的特征向量；仍取*不是 B 的特征向量，亦即A，B 的特征向量不同。同时|A|=14=|B|，故 A，B 的行列式也不同，应选(B)。8.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数在一点可导，确定其中参数答案解析 *即有 n=5，应选(C)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.差分方程：y x+1
12、+2yx=5x2的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*(c 为任意常数)）解析：考点 求差分方程的通解答案解析 齐次特征方程为：+2=0，即 =-2，相应齐次方程通解为：yx=c(-2) x，而 f(x)=5x2，a=-2-1，故非齐次方程有特解形如，y *z=A0+A1x+A2x2，代入原方程，得：A 0+A1(x+1)+A2(x+1)2+2(A0+A1x+A2x2)=5x2，整理得：3A 0+A1+A2+(3A1+2A2)x+3A2x2=5x2，比较同次幂系数，得*，从而非齐次方程通解为：*(c 为任意常数)。10.设底面长，短半轴分别为 a，b 的正椭圆柱体被过此柱
13、体底面短轴且与底面成 角(0 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 定积分用于已知截面面积求立体体积答案解析 椭圆柱体底面的椭圆方程为*，垂直于 y 轴的平面截此楔形的截面是一直角三角形，一锐角为 ，邻边长为*对边长为*它的面积为*从而楔形体积为*11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 函数在一点展成泰勒级数答案解析 *其中*而*所以*12.设 f(x)有二阶连续导数且 z=f(exsiny)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f(x)=c 1ex+c2e-x(c1，c 2为任意常数)）解析：考点 复合函数求偏导数及解二
14、阶常系数齐次微分方程答案解析 *特征方程为 2-1=0， 1=1， 2=-1从而 f(x)=c1ex+c2e-x(c1，c 2，为任意常数)。13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求方程组 AX=0 的两个线性无关的解答案解析 将 A 按列分块写成 A=( 1， 2， 3， 4)，设 B=*则 AB=O 可写为x11 1+x21 2+x31 3+x41 4=0；x 12 1+x22 2+x32 3+x42 4=0，为了使 r(B)=2，即有矩阵 B 的两个列向量是 AX=0 的两个线性无关的解。*得*于是 AX=0 的基础解系为 1=(1，5，8，0) T
15、， 2=(0，2，1，1) T，则 B=( 1， 2)=*14.二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 二次型中有随机变量为参数，求二次型正定的概率答案解析 二次型矩阵为*而 A 正定*顺序主子式全大于 0，*20，*，而 的概率密度*所求概率为P(二次型正定)*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b有连续的导数，试证： （分数：10.00）_正确答案：(由于 f(x)在a，b连续，依积分中值定理，存在 a，b，使*于是对任意的 xa，b，有*从而|f(x)|=|f(x)-f()+f()|f(x)-f()|+|f()|*故*)解析：考
16、点 积分不等式的证明16.设 f(x)有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=0，f(x)0，在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)作此曲线的切线，此切线在 x 轴上截距为 t，求极限 （分数：10.00）_正确答案：(曲线过点(x，f(x)(x0)的切线方程为：Y-f(x)=f(x)(X-x)令 Y=0，得切线在 x 轴截距为：*而由 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的泰勒公式可得*由于 f“(x)连续，且 x0 时，0；x0 时，t0，故 0，从而*)解析：考点 与导数几何意义相关联的求极限17.求级数 （分数：10.00）_正确答案：(此数项级数之和，可视作幂级数*的和
17、函数在*处的值，易知*的收敛半径为 1，记*于是*(|x|1)，而 (0)=0，故*代入(1)式，得(zS(x)=x(x)=-xln(1-x)(|x|1)*从而*)解析：考点 求收敛幂级数的和函数在一点的函数值18.设生产某种产品需要投入甲、乙两种原料，x 和 y 分别为两种原料的投入量(单位：吨)，Q 为产出量，而且生产函数为 （分数：10.00）_正确答案：(问题欲求*在约束条件 30x+20y=320 下的最大值点引入拉格朗日函数*将(4)代入(3)得唯一驻点：x 0=8，y 0=4，即(8，4)，而实际问题必有最大产出量，从而甲种原料投入 8 吨，乙种原料投入 4 吨时，可获最大产出量
18、。)解析：考点 求二元函数在约束条件下的最大值点19.计算二重积分： （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：考点 计算二重积分20.设 （分数：11.00）_正确答案：(令*得 1= 2=-1， 3=5当 1= 2=-1 时*特征向量为 1=(1，0，-1) T， 2=(1，-1，0) T当 =5 时*令 P=( 1， 2， 3)=*则 P-1AP=A=*故 A=PAP-1*于是 A100=PP -1*)解析：考点 将矩阵相似对角化后，求矩阵方幂21.已知 1=(1，2，0，-2) T， 2(-1，4，2，a) T， 3=(3，3，-1，-6) T与 1=(1，5，1，-a)T， 2=(
19、1，8，2，-2) T， 3=(-5，2，m，10) T是齐次线性方程组 AX=0 的两个基础解系，求 a，m 的值。（分数：11.00）_正确答案：(由于 1， 2， 3； 1， 2， 3都是 AX=0 的基础解系，故 1， 2， 3线性无关； 1， 2， 3也线性无关，由于二者等价，因此可以相互线性表示。( 1， 2， 3| 1， 2， 3)=*由于 r( 1， 2， 3)=r( 1， 2， 3)，故 a-20，即 a2于是 12-3m=0，m=4)解析：考点 由线性齐次方程组基础解系等价确定其中参数22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，并且都服从正态分布 N(3， -2)，如果已知 （
20、分数：11.00）_正确答案：(记 A=“max(X，Y)3”，B=“min(X，Y)-2”，则 P(max(X，Y)3，min(X，Y)-2)=P(AB)=P(A)-*=P(max(X，Y)3)-P(max(X，Y)3，rain(x，Y)-2)=P(X3，Y3)-P(-2X3，-2(Y3)*且 X，Y 同分布，故*将(1)，(2)代入(*)式，得*)解析：考点 求由随机变量取值界定的随机事件的概率设正态总体 XN(，300 2)，对 进行假设检验：H 0：900，H 1:900，取容量 n=25 的简单随机样本。（分数：11.00）(1).若 H0的接受域为贾 （分数：5.50）_正确答案：(方差 2=3002，已知 H0的拒绝域为*995P(弃真)=P(H 0为真时，拒绝 H0)*)解析：(2).若 H0不正确，= 1=1070 正确，求犯第二类错误的概率，(已知 (1.5833)=0.9433；(1.25)=0.8944)（分数：5.50）_正确答案：(= 1=1070，则*P(存伪)*)解析：考点 求正态总体方差已知时对均值单侧检验的犯两类错误的概率
