1、考研数学三-61 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）2.设 （分数：2.00）3.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）4.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）5.设 a0， 而 D 表示整个平面，则 （分数：2.00）6.设 D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）二、选择题(总题数：3，分数：6.00)7.累次积分 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 D=(x，y)|0x，0y，则 等
2、于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 ，其中 D：x 2 +y 2 a 2 ，则 a 为_ A1 B2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：22，分数：82.00)10.计算 （分数：3.00）_11.已知 ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 （分数：3.00）_12.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 （分数：3.00）_13.计算二重积分 （分数：3.00）_14.计算 （分数：3.00）_15.计算 （分数：3.00）_16.设 且 D：x 2 +y 2 2x，求 （分数：4.00）_17.计算 （分数
3、：4.00）_18.计算 （分数：4.00）_19.计算 ，其中 D 由 y=-x， （分数：4.00）_20.计算 （分数：4.00）_21.计算 ，其中 D 为单位圆 x2+y （分数：4.00）_22.计算二重积分 （分数：4.00）_23.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大? （分数：4.00）_24.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：4.00）_25.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得 （分数：4.00
4、）_26.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶司导，且 f(0)=0，f“(x)0，(x，y)为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：4.00）_27.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：4.00）_28.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：4.00）_29.交换积分次序并计算 （分数：4.00）_30.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：4.00）_31.证明：用二重积分证明 （分数：4.00）_考研数学三-61 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题
5、数：6，分数：12.00)1.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）解析：-xf(x 2 -1) 解析 则 2.设 （分数：2.00）解析：2解析 3.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）解析： 解析 原式 4.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）解析：8 解析 由 由积分中值定理得 其中(，)D， 于是 5.设 a0， 而 D 表示整个平面，则 （分数：2.00）解析：a 2 解析 由 得 6.设 D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）解析： 解析 在 D 1 =(x，y)|-x+，0y1上，f(y)=y； 在 D
6、 2 ：0x+y1 上，f(x+y)=x+y， 则在 D 0 =D 1 D 2 =(x，y)|-yx1-y，0y1上，f(y)f(x+y)=y(x+y)， 所以 二、选择题(总题数：3，分数：6.00)7.累次积分 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y8.设 D=(x，y)|0x，0y，则 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 根据对称性，令 D 1 =(x，y)|0x，0yx， 9.设 ，其中 D：x 2 +y 2 a 2 ，则 a 为_ A1 B2 C D （分数：2.0
7、0）A.B. C.D.解析：解析 由 三、解答题(总题数：22，分数：82.00)10.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 则 11.已知 ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 t0 时，F(t)=0； 当 0t1 时， 当 1t2 时， 当 t2 时，F(t)=1， 则 12.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 F“(t)=2tf(t 2 )，F“(0)=0， 13.计算二重积分 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 其中 D=(x，y)
8、|0x1，-xy ， 令 于是 14.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 而 所以 15.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 D：x 2 +y 2 2x+2y-1 可化为 D：(x-1) 2 +(y-1) 2 1， 令 0t2，0r1， 则 16.设 且 D：x 2 +y 2 2x，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 D 1 =(x，y)|1x2， yx， 则 17.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 D 1 =(x，y)|-1x1，0yx 2 ，D 2 =(x，y)-1x1，x 2 y2， 则 18.计算 （分数：4.00）_正确
9、答案：()解析：解 令 ，解得 ， 则 19.计算 ，其中 D 由 y=-x， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 D 分成两部分 D 1 ，D 2 ，其中 D 1 =(x，y)|0x1， 则 20.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令21.计算 ，其中 D 为单位圆 x2+y （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 则 令 原式 因为 所以原式 22.计算二重积分 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 根据对称性 ，其中 D 1 是 D 位于第一卦限的区域 令 则 故 23.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a
10、2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大? （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设球面 S：x 2 +y 2 +(z-a) 2 =R 2 ， 由 得球面 S 在定球内的部分在 xOy 面上的投影区域为 球面 S 在定球内的方程为 ， 所求面积为 令 因为 ，所以当 24.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 则 25.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y
11、)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y) 积分得 (1)当 时， ，则对任意的(，)D，有 (2)当 时， 由 得 由介值定理，存在(，)D，使得 即 26.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶司导，且 f(0)=0，f“(x)0，(x，y)为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调增加，所以 “(x)0由 再由 (x)0(x0) 27.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为
12、区域 axb，ayb证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为积分区域关于直线 y=x 对称， 所以 ，于是 又因为 f(x)0，所以 ，从而 28.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 29.交换积分次序并计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 而 于是 30.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 等价于 等价于 或者 令 根据对称性， 因为 f(x)0 且单调减少，所以(y-x)f(x)-f(y)0，于是 2I0，或 I0， 所以 31.证明：用二重积分证明 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 D 1 =(x，y)|x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0， S=(x，y)|0xR，0yR， D 2 =(x，y)|x 2 +y 2 2R 2 ，x0，y0 (x，y)=e -(x2+y2) ， 因为 (x，y)=e -(x2+y2) 0 且 ， 所以 而 于是 令 R+同时注意到 根据夹逼定理得
