1、考研数学三-78 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：39，分数：100.00)1.设函数 f(x)是定义在(-1，1)内的奇函数，且 （分数：2.50）AaB.-aC.0D.不存在2.设 （分数：2.50）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导3.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2-x 垂直，则当 x0 时，该函数在 x=x 0 处的微分 dy 是_（分数：2.50）A.与 x 同阶但非等价的无穷小B.与 x 等价的无穷小C.比 x 高阶的无穷小D.比 x 低阶的无穷小4
2、.已知函数 f(x)=ln|x-1|，则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.5.函数 的图形在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是_ A(-1，0) B C(1，0) D （分数：2.50）A.B.C.D.6.函数 在 x= 处的_ A右导数 B导数 C左导数 D右导数 （分数：2.50）A.B.C.D.7.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)=_ A.nf(x)n+1 B.n!f(x)n+1 C.(n+1)f(x)n+1 D.(n+1)!f(x)n+1（分数：2.50）A.B.C.D.8.函数 y=f(x)满足条件 f
3、(0)=1，f“(0)=0，当 x0 时，f“(x)0， 则它的图形是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.9.函数 y=x x 在区间 上_ A不存在最大值和最小值 B最大值是 C最大值是 D最小值是 （分数：2.50）A.B.C.D.10.函数 （分数：2.50）A.只有极大值，没有极小值B.只有极小值，没有极大值C.在 x=-1 处取极大值，x=0 处取极小值D.在 x=-1 处取极小值，x=0 处取极大值11.若 f(x)在 x 0 点至少二阶可导，且 （分数：2.50）A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值12.设函数 （分数：2.50）A.在其有定义
4、的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调减少的B.在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x2 时，必有 f(x1)f(x2)C.在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调增加的D.在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x2 时，必有 f(x1)f(x2)13.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则_ Af(0)=0 且 存在 Bf(0)=1 且 存在 Cf(0)=0 且 存在 Df(0)=1 且 （分数：2.50）A.B.C.D.14.设 f(x)在(-，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则_（分数：
5、2.50）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(-x)0C.函数 f(-x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加15.设 a 为常数， （分数：2.50）A.当 a0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点B.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点C.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点D.当 a0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点16.设函数 f(x)在区间a，+)内连续，且当 xa 时，f“(x)l0，其中 l 为常数若 f(a)0，则在区间 （分数：2.50）A.0B.1C.2D
6、.317.设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4，又 则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为_ A （分数：2.50）A.B.C.D.18.设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述： (1)若 f(x)g(x)，则 f“(x)g“(x)；(2)若 f“(x)g“(x)，则 f(x)g(x)因此_（分数：2.50）A.(1)，(2)都正确B.(1)，(2)都不正确C.(1)正确，但(2)不正确D.(2)正确，但(1)不正确19.两曲线 与 y=ax 2 +b 在点 处相切，则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.20.若 f(x)在
7、x 0 点可导，则|f(x)|在 x 0 点_（分数：2.50）A.必可导B.连续，但不一定可导C.一定不可导D.不连续21.设函数 （分数：2.50）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导22.关于函数 y=f(x)在点 x 0 的以下结论正确的是_ A若 f“(x 0 )=0，则 f(x 0 )必是一极值 B若 f“(x 0 )=0，则点(x 0 ，f(x 0 )必是曲线 y=f(x)的拐点 C若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x 0 点可导，且有 （分数：2.50）A.B.C.D.23.设 （分数：2.50）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D
8、.连续点或间断点不能由此确定24.设函数 （分数：2.50）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续D.可导，且导数连续25.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有_（分数：2.50）A.f(0)=0B.f“(0)=0C.f(0)+f“(0)=0D.f(0)-f“(0)=026.设函数 f(x)在区间(-,)内有定义，若当 x(-，)时，恒有|f(x)|x 2 ，则 x=0 必是 f(x)的_（分数：2.50）A.间断点B.连续，但不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0D.可导的点，且 f“(0)027.设 f(x)=f
9、(-x)，且在(0，+)内二阶可导，又 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内的单调性和图形的凹凸性是_（分数：2.50）A.单调增，凸B.单调减，凸C.单调增，凹D.单调减，凹28.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f“(0)0， （分数：2.50）A.1B.2C.3D.429.设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g“(0)=0，设 （分数：2.50）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导函数不连续D.可导，导函数连续30.曲线 （分数：2.50）A.y=x+1B.y=-x+1C.y=x-1D.y=x-131.当 x0 时，曲线 （分数：2.50）A.
10、有且仅有水平渐近线B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线32.曲线 （分数：2.50）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，也有铅直渐近线33.曲线 （分数：2.50）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条34.设函数 f(x)=(e x -1)(e 2x -2)(e nx -n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)=_ A.(-1)n-1(n-1)! B.(-1)n(n-1)! C.(-1)n-1n! D.(-1)nn!（分数：2.50）A.B.C.D.35.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，
11、且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.36.f(x)=xe x 的 n 阶麦克劳林公式为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.37.若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x 1 ，x 1 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点 ，使下列诸式中成立的是_（分数：3.00）A.f(x2)-f(x1)=(x1-x2)f“()，(a，b)B.f(x1)-f(x2)=(x1-x2)f“()， 在 x1，x2 之间C.f(x1)-f(x2)=(x2-x1)f“()，x1x2D.f(x2)-f(x1)=(x
12、2-x1)f“()，x1x238.在区间0，8内，对函数 （分数：3.00）A.不成立B.成立，并且 f“(2)=0C.成立，并且 f“(4)=0D.成立，并且 f“(8)=039.给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(-，+)内有定义，且 x 0 0 是 f(x)的极大值点，则-x 0 必是-f(-x)的极大值点； (2)设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= （分数：3.00）A.2B.3C.4D.5考研数学三-78 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：39，分数：100.00)1.
13、设函数 f(x)是定义在(-1，1)内的奇函数，且 （分数：2.50）Aa B.-aC.0D.不存在解析：解析 由于 f(x)为(-1，1)内的奇函数，则 f(0)=0于是 而令 x=-t 时， 故 2.设 （分数：2.50）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析 显然 f(x)在 x=0 点连续 由于 所以 又 故 3.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2-x 垂直，则当 x0 时，该函数在 x=x 0 处的微分 dy 是_（分数：2.50）A.与 x 同阶但非等价的无穷小B.与 x 等价的无穷小
14、C.比 x 高阶的无穷小D.比 x 低阶的无穷小解析：解析 由题设可知 f“(x 0 )=1，而 dy| x=x0 =f“(x 0 )x=x，因而 4.已知函数 f(x)=ln|x-1|，则_ A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 应当把绝对值函数写成分段函数， 当 x1 时， 当 x1 时，5.函数 的图形在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是_ A(-1，0) B C(1，0) D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 因为 f“(x)=x 2 +x+6，所以 f“(0)=6故过(0，1)的切线方程为 y-1=6x，因此与 x 轴的交点为 6.函数
15、 在 x= 处的_ A右导数 B导数 C左导数 D右导数 （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 f(x)在 x= 处的左、右导数为： 因此 f(x)在 x= 处不可导，但有 7.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)=_ A.nf(x)n+1 B.n!f(x)n+1 C.(n+1)f(x)n+1 D.(n+1)!f(x)n+1（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由 f“(x)=f(x) 2 得 f“(x)=f“(x)“=(f(x) 2 “=2f(x)f“(x)=2f(x) 3 ，这样 n=1，2 时，f (n) (x)=n!
16、f(x) n+1 成立假设 n=k 时，f (k) (x)=k!f(x) k+1 则当 n=k+1 时，有 f (k+1) (x)=k!(f(x) k+1 “=(k+1)!f(x) k f“(x)=(k+1)!f(x) k+2 ，由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)8.函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1，f“(0)=0，当 x0 时，f“(x)0， 则它的图形是_ A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 因函数单调增加，且在 x=0 处有水平切线，选(B)9.函数 y=x x 在区间 上_ A不存在最大值和最小值 B最大值是 C最大值是 D最小值是 （分数：2.
17、50）A.B.C.D. 解析：解析 y“=x x (lnx+1)，令 y“=0，得 当 10.函数 （分数：2.50）A.只有极大值，没有极小值B.只有极小值，没有极大值C.在 x=-1 处取极大值，x=0 处取极小值 D.在 x=-1 处取极小值，x=0 处取极大值解析：解析 11.若 f(x)在 x 0 点至少二阶可导，且 （分数：2.50）A.取得极大值 B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值解析：解析 由于 则 当 0|x-x 0 | 时， 12.设函数 （分数：2.50）A.在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调减少的 B.在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x
18、2 时，必有 f(x1)f(x2)C.在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调增加的D.在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x2 时，必有 f(x1)f(x2)解析：解析 f(x)的定义域是(-，3)(3，+)， 13.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则_ Af(0)=0 且 存在 Bf(0)=1 且 存在 Cf(0)=0 且 存在 Df(0)=1 且 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 因为 f(x)在 x=0 处连续，且 所以 f(0)=0从而有 14.设 f(x)在(-，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x
19、 1 )f(x 2 )，则_（分数：2.50）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(-x)0C.函数 f(-x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加 解析：解析 根据单调性的定义直接可以得出(D)项正确15.设 a 为常数， （分数：2.50）A.当 a0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点B.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点C.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点D.当 a0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点 解析：解析 本题考查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题 令 由
20、于 e -x 0，g(x)与 f(x)的零点完全一样，又 且仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增，所以 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点 当 a0 时，f(-)0，f(+)0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)正好有一个零点 当 a0， 16.设函数 f(x)在区间a，+)内连续，且当 xa 时，f“(x)l0，其中 l 为常数若 f(a)0，则在区间 （分数：2.50）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 对于 f(x)在 上使用拉格朗日中值定理，存在 使得 由 f“(x)l0，得 即 从而 又由题设 f(a)0，
21、f(x)在区间 的端点值异号，根据零点定理， 使得 f()=0 由于 f“(x)0(xa)，所以 f(x)在 17.设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4，又 则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为_ A （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 因为函数 f(x)周期为 4，曲线在点(5，f(5)处的切线斜率与曲线在点(1，f(1)处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数 18.设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述： (1)若 f(x)g(x)，则 f“(x)g“(
22、x)；(2)若 f“(x)g“(x)，则 f(x)g(x)因此_（分数：2.50）A.(1)，(2)都正确B.(1)，(2)都不正确 C.(1)正确，但(2)不正确D.(2)正确，但(1)不正确解析：解析 考虑 f(x)=e -x 与 g(x)=-e -x ，显然 f(x)g(x)，但 f“(x)=-e -x ，g“(x)=e -x ，f“(x)g“(x)，(1)不正确将 f(x)与 g(x)交换可说明(2)不正确19.两曲线 与 y=ax 2 +b 在点 处相切，则_ A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 因两曲线相切于点 故相交于该点将 x=2， 代入 y=ax
23、2 +b 中得 又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以 将 x=2 代入得 20.若 f(x)在 x 0 点可导，则|f(x)|在 x 0 点_（分数：2.50）A.必可导B.连续，但不一定可导 C.一定不可导D.不连续解析：解析 函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但|f(x)|=|x|在 x=0 处不可导，排除(A)函数 f(x)=x 2 在x=0 处可导，|f(x)|=|x 2 |在 x=0 处也可导，排除(C)，(D)21.设函数 （分数：2.50）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导 D.可导解析：解析 22.关于函数 y=f(x)在点 x 0 的以
24、下结论正确的是_ A若 f“(x 0 )=0，则 f(x 0 )必是一极值 B若 f“(x 0 )=0，则点(x 0 ，f(x 0 )必是曲线 y=f(x)的拐点 C若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x 0 点可导，且有 （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 (A)不一定，反例：f(x)=x 3 ，f“(0)=0，x=0 非极值点；(B)不一定，需加条件：f“(x)在x 0 点两侧异号；(C)项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的23.设 （分数：2.50）A.连续点B.第一类间断点 C.第二类间断点D.连续点或间断点不能由此确定解析：解析 F(0)=f(0)
25、=0，24.设函数 （分数：2.50）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续 D.可导，且导数连续解析：解析 25.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有_（分数：2.50）A.f(0)=0 B.f“(0)=0C.f(0)+f“(0)=0D.f(0)-f“(0)=0解析：解析 由于 同理， 要求 26.设函数 f(x)在区间(-,)内有定义，若当 x(-，)时，恒有|f(x)|x 2 ，则 x=0 必是 f(x)的_（分数：2.50）A.间断点B.连续，但不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0 D.可导的点，且 f“(
26、0)0解析：解析 27.设 f(x)=f(-x)，且在(0，+)内二阶可导，又 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内的单调性和图形的凹凸性是_（分数：2.50）A.单调增，凸B.单调减，凸 C.单调增，凹D.单调减，凹解析：解析 当 x0 时， 在(0，+)内单调增； 在(0，+)内为凸曲线由 关于 y 轴对称28.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f“(0)0， （分数：2.50）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 用洛必达法则29.设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g“(0)=0，设 （分数：2.50）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导函数
27、不连续D.可导，导函数连续 解析：解析 所以 f(x)在 x=0 处连续 当 x0 时， 则 30.曲线 （分数：2.50）A.y=x+1B.y=-x+1C.y=x-1 D.y=x-1解析：解析 31.当 x0 时，曲线 （分数：2.50）A.有且仅有水平渐近线 B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线解析：解析 32.曲线 （分数：2.50）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，也有铅直渐近线 解析：解析 33.曲线 （分数：2.50）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析 曲线 y=f(x)有水
28、平渐近线 曲线 y=f(x)有铅直渐近线 x=0 34.设函数 f(x)=(e x -1)(e 2x -2)(e nx -n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)=_ A.(-1)n-1(n-1)! B.(-1)n(n-1)! C.(-1)n-1n! D.(-1)nn!（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 方法一 用导数定义 35.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使_ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在
29、 (0，1)，使得(xf(x)“| x= =0，即 f“()+f()=0，有 36.f(x)=xe x 的 n 阶麦克劳林公式为_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f(x)=xe x ，f(0)=0，f“(x)=e x (1+x)，f“(0)=1，f (n) (x)=e x (n+x)，f (n) (0)=n，f (n+1) (x)=e x (n+1+x)，f (n+1) (x)=e x (n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得(B)37.若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x 1 ，x 1 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点 ，使下列诸式中成立
30、的是_（分数：3.00）A.f(x2)-f(x1)=(x1-x2)f“()，(a，b)B.f(x1)-f(x2)=(x1-x2)f“()， 在 x1，x2 之间 C.f(x1)-f(x2)=(x2-x1)f“()，x1x2D.f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f“()，x1x2解析：解析 由拉格朗日中值定理易知(A)，(C)错，(B)正确，又因未知 x 1 与 x 2 的大小关系，知(D)不正确38.在区间0，8内，对函数 （分数：3.00）A.不成立B.成立，并且 f“(2)=0C.成立，并且 f“(4)=0 D.成立，并且 f“(8)=0解析：解析 因为 f(x)在0，8上连续，在(0
31、，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件 令 39.给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(-，+)内有定义，且 x 0 0 是 f(x)的极大值点，则-x 0 必是-f(-x)的极大值点； (2)设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= （分数：3.00）A.2B.3 C.4D.5解析：解析 对上述 5 个命题一一论证 对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x 0 取到极大值，则-f(x)必在点 x 0 处取到极小值，故该结论错误；对于(2)，对任意 xa，由拉格朗日中值定理知，存在 (a，x)使 f(x)-f(a)=f“()(x-a)，则 由 f“(x)0 知，f“(x)在(a，+)内单调增加，因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f“(x)f“()，从而由上式得 F“(x)0，所以函数 F(x)在(a，+)内单调增加，该结论正确； 对于(3)，因 f“(x 0 )=0，故所给定的方程为
