1、考研数学三-79 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：19，分数：38.00)1.如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为 1. （分数：2.00）2.设函数 （分数：2.00）3.曲线 （分数：2.00）4.设曲线 y=ax 3 +bx 2 +cx+d 经过(-2，44)，x=-2 为驻点，(1，-10)为拐点，则 a，b，c，d 的值分别为 1 （分数：2.00）5.若函数 在 （分数：2.00）6.曲线 （分数：2.00）7.已知 a，be，则不等式 （分数：2.00）8.曲线 （分数：2.00
2、）9.p(x)为二次三项式，要使得 e x =p(x)+o(x 2 )(x0)，则 p(x)= 1 （分数：2.00）10.曲线 （分数：2.00）11.若 （分数：2.00）12.设 （分数：2.00）13.设 y=ln(1+3 -x )，则 dy= 1 （分数：2.00）14.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cosxy=0 确定，则 （分数：2.00）15. （分数：2.00）16.设 （分数：2.00）17.设 （分数：2.00）18.设 （分数：2.00）19.y=sin 4 x+cos 4 x，则 y (n) = 1(n1) （分数：2.00）二、解答题(总题数：19，分数
3、：62.00)20.设 f(x)=x 3 +4x 2 -3x-1，试讨论方程 f(x)=0 在(-，0)内的实根情况 （分数：2.00）_21.求 （分数：3.00）_22.设 （分数：3.00）_23.设函数 f(y)的反函数 f -1 (x)及 f“f -1 (x)与 f“f -1 (x)都存在，且 f -1 f -1 (x)0证明：（分数：3.00）_24.求函数 （分数：3.00）_25. （分数：3.00）_26.设 y=y(x)是由 （分数：3.00）_27.设 y=f(lnx)e f(x) ，其中 f 可微，计算 （分数：3.00）_28.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可
4、导，且 f“(x)=e f(x) ，f(2)=1，计算 f (n) (2) （分数：3.00）_29.设曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n ，0)，计算 （分数：3.00）_30.曲线 （分数：3.00）_31.设 （分数：3.00）_32.证明：不等式 （分数：3.00）_33.讨论方程 2x 3 -9x 2 +12x-a=0 实根的情况 （分数：3.00）_34.讨论方程 axe x +b=0(a0)实根的情况 （分数：3.00）_设 f n (x)=x+x 2 +x n ，n=2，3，（分数：6.00）(1).证明：方程 f n (x)=1 在0，+
5、)有唯一实根 x n ；（分数：3.00）_(2).求 （分数：3.00）_设 f n (x)=1-(1-cosx) n ，求证：（分数：6.00）(1).对于任意正整数 n， 在 （分数：3.00）_(2).设有 满足 ，则 （分数：3.00）_35.在数 （分数：3.00）_36.证明：方程 x =lnx(0)在(0，+)上有且仅有一个实根 （分数：3.00）_考研数学三-79 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：19，分数：38.00)1.如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为 1. （分数：2
6、.00）解析：正 解析 利用反证法，假设存在点 x 1 a，b，使得 f(x 1 )0又由题意知存在点 x 2 a，b，x 2 x 1 ，使得 f(x 2 )0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x 1 和 x 2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾2.设函数 （分数：2.00）解析： 解析 利用洛必达法则， 由于 f(x)在 x=0 处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=-1，再由导数的定义及洛必达法则，有 3.曲线 （分数：2.00）解析：(0，+)解析 4.设曲线 y=ax 3 +bx 2 +cx+d 经过(-2，44)，x=-2 为驻点，(1，-
7、10)为拐点，则 a，b，c，d 的值分别为 1 （分数：2.00）解析：1，-3，-24，16解析 由条件5.若函数 在 （分数：2.00）解析：2解析 f“(x)=acosx+cos3x，因 为极值点，则 a=2这时 f“(x)=-2sinx-3sin3x，故6.曲线 （分数：2.00）解析：y=1解析 7.已知 a，be，则不等式 （分数：2.00）解析：eab解析 令 则由8.曲线 （分数：2.00）解析：x=0， y=1 解析 因为 x=0 为铅直渐近线 为铅直渐近线 9.p(x)为二次三项式，要使得 e x =p(x)+o(x 2 )(x0)，则 p(x)= 1 （分数：2.00）
8、解析： 解析 设 p(x)=ax 2 +bx+c，由题意知，当 x0 时，e x -p(x)=o(x 2 )，由于 于是e x -p(x)= 故 1-c=0，1-b=0， 即 b=1，c=1于是 10.曲线 （分数：2.00）解析：y=2x+1解析 11.若 （分数：2.00）解析：(2t+1)e 2t 解析 12.设 （分数：2.00）解析：解析 13.设 y=ln(1+3 -x )，则 dy= 1 （分数：2.00）解析：解析 复合函数求导14.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cosxy=0 确定，则 （分数：2.00）解析： 解析 方程两边同时对 x 求导，可得 解得 15.
9、（分数：2.00）解析：解析 16.设 （分数：2.00）解析：解析 17.设 （分数：2.00）解析：解析 18.设 （分数：2.00）解析：解析 19.y=sin 4 x+cos 4 x，则 y (n) = 1(n1) （分数：2.00）解析：解析 二、解答题(总题数：19，分数：62.00)20.设 f(x)=x 3 +4x 2 -3x-1，试讨论方程 f(x)=0 在(-，0)内的实根情况 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】因为 f(-5)=-110，f(-1)=50，f(0)=-10，所以 f(x)在-5，-1及-1，0上满足零点定理的条件，故存在 1 (-5，-1)及
10、2 (-1，0)，使得 f( 1 )=f( 2 )=0，所以方程 f(x)=0在(-，0)内存在两个不等的实根又因为 f(1)=10，同样 f(x)在0，1上满足零点定理的条件。在(0，1)内存在一点 3 ，使得 f( 3 )=0，而 f(x)=0 为三次多项式方程，它最多只有三个实根因此方程 f(x)=0 在(-，0)内只有两个不等的实根21.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】先求 所以 所以 22.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 运用高阶导数公式，得： 23.设函数 f(y)的反函数 f -1 (x)及 f“f -1 (x)与 f“f -1 (x)都存在
11、，且 f -1 f -1 (x)0证明：（分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】设 x=f(y)则其反函数为 y=f -1 (x)，对 x=f(y)两边关于 x 求导，得 这样 ，所以 24.求函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 25. （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 26.设 y=y(x)是由 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】在方程中令 x=0 可得， 故 y(0)=e 2 将方程两边对 x 求导数，得 将 x=0,y(0)=e 2 代入，有 即 y“(0)=e-e 4 , 将式两边再对 x 求导数，得 将 x=0，y(0)=e 2 和
12、y“(0)=e-e 4 代入，有 27.设 y=f(lnx)e f(x) ，其中 f 可微，计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】28.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ，f(2)=1，计算 f (n) (2) （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】由 f“(x)=e f(x) 两边求导数得 f“(x)=e f(x) f“(x)=e 2f(x) ， 两边再求导数得 f“(x)=e 2f(x) 2f“(x)=2e 3f(x) ， 两边再求导数得 f (4) (x)=2e 3f(x) 3f“(x)=3!e 4f(x) ， 由以上规律可得
13、 n 阶导数 f (n) (x)=(n-1)!e nf(x) ， 所以 f (n) (2)=(n-1)!e n 29.设曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n ，0)，计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】由导数几何意义，曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线斜率 k=f“(1)=nx n-1 | x=1 =n， 所以切线方程为 y=1+n(x-1)，令 y=1+n(x-1)=0 解得 因此 30.曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】先求曲线 在点 处的切线方程 所以切线斜率 切线方程为 切线与 x 轴，y 轴的交点坐标分
14、别为 A(3a，0)， 于是AOB 的面积为 当切点沿 x 轴正向趋于无穷远时，有 当切点沿 y 轴正向趋于无穷远时，有 31.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 当 x0 时，用复合函数求导法则求导得 当 x=0 时(分段点)，(0)=0， 又 f(x)在 x=0 处可导，于是根据复合函数的求导法则，有 F“(0)=f“(0)“(0)=0 所以 32.证明：不等式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】设 则 令 f“(x)=0，得驻点为 x=0，由于 知 x=0 为极小值点，即最小值点f(x)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切 x(-，+)，有 f(x)0，即有
15、 33.讨论方程 2x 3 -9x 2 +12x-a=0 实根的情况 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】令 f“(x)=2x 3 -9x 2 +12x-a，讨论方程 2x 2 -9x 2 +12x-a=0 实根的情况，即讨论函数 f(x)零点的情况 显然， 34.讨论方程 axe x +b=0(a0)实根的情况 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】令 f(x)=axe x +b，因为 求函数 f(x)=axe x +b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b的值 f(x)=ae x +axe x =ae x (1+x)，驻点为 x=-1， f“(x)=2ae x +axe x
16、 =ae x (2+x)，f“(-1)0，所以，x=-1 是函数的极小值点，极小值为 当 时，函数 f(x)无零点，即方程无实根； 当 时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根； 当 设 f n (x)=x+x 2 +x n ，n=2，3，（分数：6.00）(1).证明：方程 f n (x)=1 在0，+)有唯一实根 x n ；（分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】f n (x)连续，且 f n (0)=0，f n (1)=n1，由介值定理， 使 f n (x n )=1，n=2，3，又 x0 时， (2).求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】由上小题可得，x n
17、(0，1)，n=2，3，所以x n 有界 又因为 f n (x n )=1=f n+1 (x n+1 )，n=2，3，所以 ， 即 因此 x n x n+1 ，n=2，3，即x n 严格单调减少于是由单调有界准则知 存在，记 由 得 =1因为 0x n x 2 1，所以 于是 解得 即 设 f n (x)=1-(1-cosx) n ，求证：（分数：6.00）(1).对于任意正整数 n， 在 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】因为 f n (x)连续，又有 f n (0)=1， 所以由介值定理知 使得 又因为 所以 f n (x)在 内严格单调减少因此，满足方程 的根 是唯一的，即
18、在 (2).设有 满足 ，则 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】因为 所以 由保号性知， 当 nN 时，有 由 f n (x)的单调减少性质知 由夹逼准则知 35.在数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】先考查连续函数 由 得 x=e，且当 xe 时，f“(x)0，f(x)单调增加；当 xe 时，f“(x)0，f“(x)单调减少 所以，f(x)为 f(x)当 x0 时的最大值，而 2e3，于是所求的最大值必在 中取到，又因为 所以 即最大值为 36.证明：方程 x =lnx(0)在(0，+)上有且仅有一个实根 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】令 f(x)=lnx-x ，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=-10， 故 当 xX时，有 f(x)M0，任取 x 0 X，则 f(1)f(x 0 )0根据零点定理，
