1、考研数学三-92 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：39，分数：100.00)已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx-dy的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 )证明：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2).均存在 （分数：2.00）_1.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界证明：微分方程 y“+ay=f(x)的解在0，+)上有界 （分数：2.00）_2.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e -1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y轴上的截距为 xy，求该曲线方程的
2、表达式 （分数：2.00）_3.求解 （分数：2.00）_设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 “(x)=(x)，(0)=0（分数：4.00）(1).求方程 y“+ysinx=(x)e cosx 的通解；（分数：2.00）_(2).方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由（分数：2.00）_4.设有方程 y“+P(x)y=x 2 ，其中 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).用变限积分表示满足上述初值条件的解 y(x)；（分数：2.00）_(2).讨论 （分数：2.00）_5.求微分方程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1的特解 （分数：2.
3、00）_6.求微分方程(4-x+y)dx-(2-x-y)dy=0 的通解 （分数：2.00）_7.求微分方程 （分数：2.00）_8.求微分方程 （分数：2.00）_9.求微分方程 y“-2y“-e 2x =0满足条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解 （分数：2.00）_10.求微分方程 y“+2y“+y=xe x 的通解 （分数：2.00）_11.求微分方程 y“+4y“+4y=e -2x 的通解 （分数：2.00）_12.求微分方程 y“+2y“-3y=e -3x 的通解 （分数：2.00）_13.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解 （分数：2.00）_14.求微分方
4、程(3x 2 +2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0的通解 （分数：2.00）_15.设 y(x)是方程 y (4) -y“=0的解，且当 x0 时，y(x)是 x的 3阶无穷小，求 y(x) （分数：2.00）_16.求一个以 y 1 =te t ，y 2 =sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解 （分数：2.00）_17.求解 y“=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y“(0)=2 （分数：2.00）_18.求方程 （分数：2.00）_19.求微分方程 （分数：2.00）_20.求方程 （分数：2.00）_21.求(y 3 -3xy 2 -3x
5、 2 y)dx+(3xy 2 -3x 2 y-x 3 +y 2 )dy=0的通解 （分数：2.00）_22.求微分方程 （分数：2.00）_23.求 y“-y=e |x| 的通解 （分数：2.00）_24.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 满足 （分数：2.00）_25.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x-2y，x+3y)满足 （分数：2.50）_26.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y“-(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解 （分数：2.50）_27.求二阶常系数线性微分方程 y“+y“=2x+1 的通解，其中 为常数 （分
6、数：2.50）_(1).用 x=e t 化简微分方程 （分数：2.50）_(2).求解 （分数：2.50）_设 L是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，且 L经过点 （分数：5.00）(1).试求曲线 L的方程；（分数：2.50）_(2).求 L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L以及两坐标轴所围图形的面积最小（分数：2.50）_28.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及到 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，
7、区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 -S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程 （分数：2.50）_29.已知某商品的需求量 x对价格 p的弹性 =-3p 3 ，而市场对该商品的最大需求量为 1万件，求需求函数 （分数：2.50）_已知某商品的需求量 D和供给量 S都是价格 p的函数； ，S=S(p)=bp，其中 a0 和 b0 为常数；价格 p是时间 t的函数且满足方程 （分数：7.50）(1).需求量等于供给量时的均衡价格 p e ；（分数：2.50）_(2).价格函数 p(t)；（分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_30.求差
8、分方程 y t+1 +3y t =3 t+1 (2t+1)的通解 （分数：2.50）_31.求差分方程 y t+1 -ay t =2t+1的通解 （分数：2.50）_32.某商品市场价格 p=p(t)随时间变化，p(0)=P 0 而需求函数 Q A =b-ap(a，b0)供给函数 Q B =-d+cp(c，d0)，且 p随时间变化率与超额需求(Q A -Q B )成正比求价格函数 p=p(t) （分数：2.50）_33.设 Y t ，C t ，I t 分别是 t期的国民收入、消费和投资三者之间有如下关系 （分数：2.50）_考研数学三-92 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)
9、一、解答题(总题数：39，分数：100.00)已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx-dy的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 )证明：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】将微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx-dy变形为 于是 则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可 对 两边从 x 0 到 x积分，得 于是 设 xx 0 ，则 (2).均存在 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】y(x)有上界，所以 存在 同理可证，当 xx 0 时，y(x
10、)有下界，所以 也存在 故 存在， 1.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界证明：微分方程 y“+ay=f(x)的解在0，+)上有界 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】原方程的通解为 设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即|f(x)|M，则当 x0 时，有 2.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e -1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】曲线 y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为 Y-y=y“(X-x)，令 X=0，得到截距为 xy=y-xy“，即 xy“=y(1-x)， 此为
11、一阶可分离变量的方程，于是， lny=lnCx-x，得到 又 y(1)=e -1 ，故 C=1，于是曲线方程为 3.求解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方程化为 此为齐次方程，故令 则 x=uy， 代入上述方程得 整理得 积分得 ln(u+e u )=-ln|y|+C 1 ， (u+e u )y=C， 将 代入得， 故原方程的通解为 设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 “(x)=(x)，(0)=0（分数：4.00）(1).求方程 y“+ysinx=(x)e cosx 的通解；（分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】该方程为一阶线性微分方程，通解为 (2).方程是否有
12、以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由（分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】因为 “(x)=(x)，所以 又 (0)=0，于是， 而 所以，当 时，(x+2)=(x)，即 (x)以 2 为周期 因此，当 4.设有方程 y“+P(x)y=x 2 ，其中 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】本题虽是基础题，但其特色在于当 x的取值范围不同时，系数 P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解 y=y(x)是连续函数，确定任意常数 当 x1 时，方程及其初值条件为 求解得 由 y(0)=2得 C=0，故 y=x 2 -2x+2
13、当 x1 时，方程为 求解得 综上，得 又 y(x)在(-，+)内连续，有 f(1 - )=f(1 + )=f(1)，即 从而 所以 设 （分数：4.00）(1).用变限积分表示满足上述初值条件的解 y(x)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】初值问题可写成 由上述变限积分形式的通解公式，有： (2).讨论 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由 于是 若 则 若 则 解析 一般认为，一阶线性微分方程 y“+p(x)y=q(x)的计算公式为 而本题是要求写成变限积分形式 5.求微分方程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1的特解 （分数：2.00）_正确答案：()解析
14、：【解】方法一 对应的齐次方程 xy“+y=0的通解是 设其中 C为 x的函数，则 代入原方程，得 C“=xe x ， C=xe x -e x +C 1 ， 故原方程的通解为 当 x=1，y=1 时，C 1 =1，所以特解为 方法二 由通解公式得 当 x=1，y=1 时，得 C=1，所以特解为 6.求微分方程(4-x+y)dx-(2-x-y)dy=0 的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方程化为 设 x=X+h，y=Y+k，代入方程，并令 解得 h=3，k=-1，此时原方程化为 令 代入上式，得 7.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】此为齐次方程，只要
15、作代换 解之即可方程变形为 令 两边积分，得 所以有 即 代回 得 即得原方程通解为 8.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】变形和作适当代换后变为可分离变量的方程 方程两边同除以 x，得 当 x0 时， 作变换， 有 即 解之得 arcsinu=lnCx 再以 代回，便得原方程的通解： 9.求微分方程 y“-2y“-e 2x =0满足条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】齐次方程 y“-2y“=0的特征方程为 2 -2=0，由此求得特征根 1 =0， 2 =2对应齐次方程的通解为 设非齐次方程的特解为 y * =Axe
16、 2x ，则 (y * )“=(A+2Ax)e 2x ，(y * )“=4A(1+x)e 2x 代入原方程，求得 从而 于是，原方程通解为 将 y(0)=1和 y“(0)=1代入通解求得 从而，所求解为 10.求微分方程 y“+2y“+y=xe x 的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】特征方程 r 2 +2r+1=0的两个根为 r 1 =r 2 =-1 对应齐次方程之通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e -x 设所求方程的特解为 y * =(ax+b)e x ，则 y *“ =(ax+a+b)e x ，y *“ =(ax+2a+b)e x ，代入所给方程，有(4ax+4a+
17、4b)e x =xe x 解得 而 最后得所求通解为 11.求微分方程 y“+4y“+4y=e -2x 的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】特征方程 r 2 +4r+4=0的根为 r 1 =r 2 =-2对应齐次方程的通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e -2x 设原方程的特解 y * =Ax 2 e -2x ，代入原方程得 因此，原方程的通解为 12.求微分方程 y“+2y“-3y=e -3x 的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】对应的齐次方程的通解为 原方程的一个特解为 y * =Axe -3x ，代入原方程，得 所求通解为 13.求微分方程 y“+5
18、y“+6y=2e -x 的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】所给微分方程的特征方程为 r 2 +5r+6=(r+2)(r+3)=0， 特征根为 r 1 =-2，r 2 =-3于是，对应齐次微分方程的通解为 14.求微分方程(3x 2 +2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 原方程化为 3x 2 dx+(2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0，即 d(x 3 )+d(x 2 y-xy 2 )=0， 故通解为 x 3 +x 2 y-xy 2 =C，其中 C为任意常数 方法二 令 y=xu，则
19、 即 15.设 y(x)是方程 y (4) -y“=0的解，且当 x0 时，y(x)是 x的 3阶无穷小，求 y(x) （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由泰勒公式 当 x0 时，y(x)与 x 3 同阶 y(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=C，其中 C为非零常数由这些初值条件，现将方程 y (4) -y“=0两边积分得 即 y“(x)-C-y“(x)=0，两边再积分得 y“(x)-y(x)=Cx 易知，它有特解 y * =-Cx，因此它的通解是 y=C 1 e x +C 2 e -x -Cx 由初值 y(0)=0，y“(0)=0 得 因此最后得 16.求一个
20、以 y 1 =te t ，y 2 =sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由 y 1 =te t ，可知 y 3 =e t 亦为其解，由 y 2 =sin2t可得 y 4 =cos2t也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1 = 3 =1， 2 =2i， 4 =-2i其特征方程为 (-1) 2 ( 2 +4)=0，即 4 -2 3 +5 2 -8+4=0 故所求的微分方程为 y (4) -2y“+5y“-8y“+4y=0，其通解为 y=(C 1 +C 2 t)e t +C 3 cos2t+C 4 sin2t，其中 C 1
21、 ，C 2 ，C 3 ，C 4 为任意常数17.求解 y“=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y“(0)=2 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 y“=p(y)，则 代入方程，有 即 y “2 =e 2y +2e y +C 又 y(0)=0，y“(0)=2，有 C=1，所以 y “2 =e 2y +2e y +1=(e y +1) 2 ， 因此 y“=e y +1(y“(0)=20)， 即 有 18.求方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】这是变量可分离方程当 y 2 1 时，分离变量得 两边积分，得 去掉绝对值记号，并将e 2C1 记成 C，并解出 y，得
22、这就是在条件 y 2 1 下的通解此外，易见 y=1及 y=-1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中 以 y(0)=2代入式中得 故 C=-3于是得到满足 y(0)=2的特解 19.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之 令 y=ux，原方程化为 得 当 x0 时，上式成为 两边积分得 其中 C0，将任意常数记成 lnC由上式解得 即有 当 x0，类似地仍可得 其中 C0式与式其实是一样的，故得通解 其中 C0 为任意常数将初值条件 y(1)=0代入式得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为 20.求方程 （分数：2.00）
23、_正确答案：()解析：【解】这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准型： 由通解公式，得 当 x0 时， 当 x0 时， 合并之，得通解 21.求(y 3 -3xy 2 -3x 2 y)dx+(3xy 2 -3x 2 y-x 3 +y 2 )dy=0的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】将原给方程通过视察分项组合 (y 3 -3xy 2 -3x 2 y)dx+(3xy 2 -3x 2 y-x 3 +y 2 )dy =(y 3 dx+3xy 3 dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x 3 ydx+x 3 dy)+y 2 dy =0， 即 所以通解为 22
24、.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】应先用三角公式将自由项写成 e -x +e -x cosx， 然后再用叠加原理用待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 y=(C 1 cosx+C 2 sinx)e -x 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e -x ，e -x cosx，分别考虑 y“+2y“+2y=e -x ， 与 y“+2y“+2y=e -x cosx 对于，令 代入可求得 A=1，从而得 对于，令 代入可求得 B=0， 由叠加原理，得原方程的通解为 23.求 y“-y=e |x| 的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】自由项带绝对值，为分
25、段函数，所以应将该方程按区间(-，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y“=y+e |x| 在 x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解 当 x0 时，方程为 y“-y=e x ， 求得通解 当 x0 时，方程为 y“-y=e -x ， 求得通解 因为原方程的解 y(x)在 x=0处连续且 y“(x)也连续，据此，有 解得 于是得通解： 24.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 满足 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】将 代入式，注意到 f中的变元实际是一元 所以最终有可能化为含有关于 f(u)的常微分方程
26、代入式，得 f“(u)(1-u 2 )+2f(u)=u-u 3 ， 其中 且 u0由式有 初值条件是 u=2时 f=1微分方程的解应该是 u的连续函数，由于初值条件给在 u=2处，所以 f的连续区间应是包含 u=2在内的一个开区间 解式得通解 再以 f(2)=1代入，得 C=-3，从而得 25.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x-2y，x+3y)满足 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】以 z=z(u，v)，u=x-2y，v=x+3y 代入式，得到 z(u，v)应该满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之 代入式，化为 即 令 得 它可以看成一个常微分方程(其中视 v为常数)，解得 其中 (v)为具有连续导数的 v的任意函数再由 所以 或写成 其中 26.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y“-(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解 （分数：2.50
