1、考研数学三线性代数-2 及答案解析(总分：368.00，做题时间：90 分钟)1.已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，b，4) T，问(1)a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出?(2)a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3线性表出?并写出此表示式（分数：10.00）_2.设有向量组()： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，-1，a+2) T和向量组()： 1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2，1，a+4) T试问：当 a为何值时，向量组()与()
2、等价?当a为何值时，向量组()与()不等价?（分数：10.00）_3.若向量组 ， 线性无关；， 线性相关，则(A) 必可由 ， 线性表示 (B) 必不可由 ， 线性表示(C) 可由 ， 线性表示 (D) 不可由 ， 线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.4.设向量 可由向量组 1， 2， m线性表示，但不能由向量组()： 1， 2， m-1线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1，则(A) m不能由()线性表示，也不能由()线性表示(B) m不能由()线性表示，可由()线性表示(C) m可由()线性表示，也可由()线性表示(D) m可由()线性表示，但不可由()线性表示（分数：4.0
3、0）A.B.C.D.5.设 A，B 为满足 AB=0的任意两个非零矩阵，则必有(A) A的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关(C) A的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关(D) A的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（分数：4.00）A.B.C.D.6.设向量组： 1， 2， r可由向量组： 1， 2， s线性表示，则(A) 当 rs 时，向量组必线性相关(B) 当 rs 时，向量组必线性相关(C) 当 rs 时，向量组必线性相关(D) 当 rs 时，向量组必线性相关（分数：4.00）A.B.C.D.7.设向量 1， 2，
4、t是齐次方程组 Ax=0的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解即A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t线性无关（分数：10.00）_8.设 i=(ai1，a i2，a in)T(i=1，2，r；rn)是 n维实向量，且 1， 2， r线性无关已知 =(b 1，b 2，b n)T是线性方程组（分数：10.00）_9.已知向量组()： 1， 2， 3；()： 1， 2， 3， 4；()： 1， 2， 3， 5如果各向量组的秩分别为 r()=r()=3，r()=4证明向量组 1， 2， 3， 5- 4的秩为 4（分数：10.00）_10.已知向量组与向量组 （分数：10.00）_11.
5、设有齐次线性方程组（分数：10.00）_12.设齐次线性方程组（分数：10.00）_13.设 n阶矩 A的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0的基础解系(A) 不存在 (B) 仅含一个非零解向量(C) 含有两个线性无关的解向量 (D) 含有三个线性无关的解向量（分数：4.00）A.B.C.D.14.设 A=( 1， 2， 3， 4)是 4阶矩阵，A *为 A的伴随矩阵若(1，0，1，0) T是方程组 Ax=0的一个基础解系，则 A*x=0的基础解系可为(A) 1， 3 (B) 1， 2 (C) 1， 2， 3 (
6、D) 2， 3， 4（分数：4.00）A.B.C.D.15.设 1， 2， s为线性方程组 Ax=0的一个基础解系： 1=t1 1+t2 2， 2=t1 2+t2 3， s=t1 s+t2 1，其中 t1，t 2为实常数试问 t1，t 2满足什么关系时， 1， 2， s也为 Ax=0的一个基础解系（分数：10.00）_16.已知三阶矩阵 A的第 1行是(a，b，c)不全为零，矩阵 （分数：10.00）_17.已知方程组 （分数：4.00）填空项 1:_18.非齐次线性方程组 Ax=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则(A) r=m时，方程组 Ax=b有解 (B) r
7、=n 时，方程组 Ax=b有唯一解(C) m=n时，方程组 Ax=b有唯一解 (D) rn 时，方程组 Ax=b有无穷多解（分数：4.00）A.B.C.D.19.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，若秩 秩(A) ，则线性方程组(A) Ax= 必有无穷多解 (B) Ax= 必有唯一解(C) 仅有零解 (D) （分数：4.00）A.B.C.D.20.设线性方程组（分数：10.00）_21.已知非齐次线性方程组（分数：10.00）_22.设 4元齐次线性方程组()为（分数：10.00）_23.设有齐次线性方程组 Ax=0和 Bx=0，其中 A，B 均 mn矩阵，现有 4个命题：若 Ax=0的解均
8、是 Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0的解均是 Bx=0的解；若 Ax=0与 Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)则 Ax=0与 Bx=0同解以上命题中正确的是(A) (B) (C) (D) （分数：4.00）A.B.C.D.24.设 A为 n阶实矩阵，A T是 A的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：A TAx=0，必有(A) ()的解是()的解，()的解也是()的解(B) ()的解是()的解，但()的解不是()的解(C) ()的解不是()的解，()的解也不是()的解(D) ()的解是()的解，但()的解不是()的解（分数：4
9、.00）A.B.C.D.25.已知下列非齐次线性方程组()，()（分数：10.00）_26.矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_27.设 =2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于（分数：4.00）A.B.C.D.28.设 A为 2阶矩阵， 1， 2为线性无关的 2维列向量，A 1=0，A 2=2 1+ 2，则 A的非零特征值为_（分数：4.00）填空项 1:_29.设向量 =(a 1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T都是非零向量，且满足条件 T=0，记 n阶矩阵A= T求：()A 2()矩阵 A的特征值和特征向量（分数：10.00）_30.设矩阵 （分数
10、：10.00）_31.已知 3阶矩阵 A与三维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2x线性无关，且满足 A3x=3Ax-2A2x.(1)记 P=(x，Ax，A 2x)，求 3阶矩阵 B，使 A=PBP-1；(2)计算行列式|A+E|（分数：10.00）_32.已知 是矩阵 （分数：10.00）_33.设矩阵 （分数：10.00）_34.设矩阵 A与 B相似，其中（分数：10.00）_35.设矩阵 （分数：10.00）_36.设 A为三阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的三维列向量，且满足A 1= 1+ 2+ 3，A 2=2 2+ 3，A 3=2 2+3 3()求矩阵 B，使得 A( 1， 2，
11、 3)=( 1， 2， 3)B；()求矩阵 A的特征值；()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP为对角矩阵（分数：10.00）_37.设实对称矩阵 （分数：10.00）_38.设矩阵 （分数：10.00）_39.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_40.已知二次型（分数：10.00）_41.设二次型（分数：10.00）_42.若二次型 （分数：4.00）填空项 1:_43.设 A为 m阶实对称矩阵，B 为 mn实矩阵，B T为 B的转置矩阵，试证：B TAB为正定矩阵的充分必要条件是 B的秩 r(B) =n
12、（分数：10.00）_44.设 A为 mn实矩阵，E 为 n阶单位矩阵，已知矩阵 B=E+A TA，试证：当 0 时，矩阵 B为正定矩阵（分数：10.00）_45.设有 n元实二次型f(x1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中 ai(i=1，2，n)为实数试问：当 a1，a 2，a n满足何种条件时，二次型 f(x1，x 2，x n)为正定二次型（分数：10.00）_46.设 （分数：4.00）A.B.C.D.47.设矩阵 （分数：10.00）_考研数学三线性代数-2 答案解析(总分：368.00，做题时间：9
13、0 分钟)1.已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，b，4) T，问(1)a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出?(2)a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3线性表出?并写出此表示式（分数：10.00）_正确答案：(分析 本题已知向量的坐标，故应当用讨论带参数的非齐次线性方程组是否有解的方法来回答解 设 x1 1+x2 2+x3 3=对( 1 2 3 )作初等行变换有所以(1)当 b2 时，线性方程组( 1， 2， 3)x= 无解，此时 不能由 1， 2， 3线性表出(2)当 b=2，a1 时，线性方程组(
14、1， 2， 3)x= 有唯一解，即x=(x1，x 2，x 3)T=(-1，2，0) T于是 可唯一表示为 =- 1+2 2当 b=2，a=1 时，线性方程组( 1， 2， 3)x= 有无穷多个解即x=(x1，x 2，x 3)T=k(-2，1，1) T+(3，0，-2) T于是 =(-2k+3) 1+k 2+(k-2) 3，k 为任意常数)解析：2.设有向量组()： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，-1，a+2) T和向量组()： 1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2，1，a+4) T试问：当 a为何值时，向量组()与()等价?当a为
15、何值时，向量组()与()不等价?（分数：10.00）_正确答案：(分析 所谓向量组()与()等价，即向量组()与()可以互相线性表出若方程组x1 1+x2 2+x3 3= 有解，即 可以由 1， 2， 3线性表出若对同一个 a，三个方程组x1 1+x2 2+x3 3= i(i=1，2，3)均有解，即向量组()可以由()线性表出解 设 x1 1+x2 2+x3 3= i(i=1，2，3)，由于这三个方程组的系数矩阵一样，故可拼成一个大的增广矩阵统一的加减消元对( 1， 2， 3 1， 2， 3)作初等行变换，有(1)当 a-1 时，行列式| 1， 2， 3|=a+10，由克拉默法则，知三个线性方
16、程组x1 1+x2 2+x3 3= i(i=1，2，3)均有唯一解所以， 1， 2， 3可由向量组()线性表出。由于行列式故 a，方程组 x1 1+x2 2+x3 3= j(i=1，2，3)恒有唯一解，即 1， 2， 3总可由向量组()线性表出因此，当 a-1 时，向量组()与()等价(2)当 a=-1时，有)解析：3.若向量组 ， 线性无关；， 线性相关，则(A) 必可由 ， 线性表示 (B) 必不可由 ， 线性表示(C) 可由 ， 线性表示 (D) 不可由 ， 线性表示（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 可由 ， 线性表出 可由 ， 线性表出。或者用秩来分析推理：， 相关4
17、.设向量 可由向量组 1， 2， m线性表示，但不能由向量组()： 1， 2， m-1线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1，则(A) m不能由()线性表示，也不能由()线性表示(B) m不能由()线性表示，可由()线性表示(C) m可由()线性表示，也可由()线性表示(D) m可由()线性表示，但不可由()线性表示（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 可由 1， 2， m线性表示，故可设=k 1 1+k2 2+km m由于 不能由 1， 2， m-1线性表示，故上述表达式中必有 km0因此即 m可由()线性表示，可排除(A)、(D)若 m可由()线性表示，设 m=l1
18、1+lm-1 m-1，则=(k 1+kml2) 1+(k2+kml2) 2+(km-1+kmlm-1) m-1与题设矛盾，故应选(B)5.设 A，B 为满足 AB=0的任意两个非零矩阵，则必有(A) A的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关(C) A的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关(D) A的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 A是 mn，B 是 ns矩阵，且 AB=0那么 r(A)+r(B)n由于 A，B 均非零矩阵，故 0r(A)n，0r(B)n由 r(A)=A的列秩，
19、知 A的列向量组线性相关由 r(B)=B的行秩，知 B的行向量组线性相关故应选(A)分析二 若设 A=(1，0)，B=(0，1) T，显然 AB=0但矩阵 A的列向量组线性相关，行向量组线性无关；矩阵 B的行向量组线性相关，列向量组线性无关由此就可断言选项(A)正确6.设向量组： 1， 2， r可由向量组： 1， 2， s线性表示，则(A) 当 rs 时，向量组必线性相关(B) 当 rs 时，向量组必线性相关(C) 当 rs 时，向量组必线性相关(D) 当 rs 时，向量组必线性相关（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据定理“若 1， 2， s可由 1， 2， t线性表出，且 s
20、t，则 1， 2， s必线性相关”，即若多数向量可以由少数向量线性表出，则这多数向量必线性相关，故应立选(D)或者，因()能由()表出 r()r()又因 r()sr()sr 故应选(D)7.设向量 1， 2， t是齐次方程组 Ax=0的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解即A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t线性无关（分数：10.00）_正确答案：(证法一 (定义法)若有一组数 k，k 1，k 2，k t，使得k+k 1(+ 1)+k2(+ 2)+kt(+ t)=0， (1)则因 1， 2， t是 Ax=0的解，知 A i=0(i=1，2，t)，用 A左乘上式的两边，有(k+k
21、1+k2+kt)A=0由于 A0，故k+k1+k2+kt=0 (2)对(1)重新分组为(k+k 1+k2+kt)+k 1 1+k2 2+kt t=0 (3)把(2)代入(3)，得 k1 1+k2 2+kt t=0由于 1， 2， t是基础解系，它们线性无关，故必有 k1=0，k 2=0，k t=0代入(2)式得：k=0因此，向量组 ，+ 1，+ t线性无关证法二 (用秩)经初等变换向量组的秩不变把第 1列的-1 倍分别加至其余各列，有(，+ 1，+ 2，+ t)(， 1， 2， t)因此 r(，+ 1，+ t)=r(， 1， t)由于 1， 2， t是基础解系，它们是线性无关的，秩 r( 1，
22、 2， t)=t，又 必不能由 1， 2， t线性表出(否则 A=0)，故 r( 1， 2， t，)=t+1所以 r(，+ 1，+ 2，+ t)=t+1即向量组 ，+ 1，+ 2，+ t线性无关，)解析：8.设 i=(ai1，a i2，a in)T(i=1，2，r；rn)是 n维实向量，且 1， 2， r线性无关已知 =(b 1，b 2，b n)T是线性方程组（分数：10.00）_正确答案：(解 设 k1 1+k2 2+kr r+l=0 (1)因为 为方程组的非零解，有即 0， T 1=0， T r=0。用 T左乘(1)，并把 T i=0代入，得 l T=0因为 0，有 T0，故必有 l=0从
23、而(1)式为 k1 1+k2 2+kr r=0，由于 1， 2， r线性无关，所以有k1=k2=kr=0因此向量组 1， 2， r， 线性无关)解析：9.已知向量组()： 1， 2， 3；()： 1， 2， 3， 4；()： 1， 2， 3， 5如果各向量组的秩分别为 r()=r()=3，r()=4证明向量组 1， 2， 3， 5- 4的秩为 4（分数：10.00）_正确答案：(证明 因为 r()=r()=3，所以 1， 2， 3线性无关，而 1， 2， 3， 4线性相关，因此 4可由 1， 2， 3线性表出，设为 4=l1 1+l2 2+l3 3若 k1 1+k2 2+k3 3+k4( 5-
24、 4)=0，即(k1-l1k4) 1+(k2-l2k4) 2+(k3-l3k4) 3+k4 5=0，由于 r()=4，即 1， 2， 3， 5线性无关故必有解出 k4=0，k 3=0，k 2=0，k 1=0于是 1， 2， 3， 5- 4线性无关即其秩为 4)解析：10.已知向量组与向量组 （分数：10.00）_正确答案：(解 因 3可由 1， 2， 3线性表示，故线性方程组有解对增广矩阵施行初等行变换：由非齐次线性方程组有解的条件知 得 b=5又 1和 2线性无关 3=3 1+2 2，所以向量组 1， 2， 3的秩为 2由题设知向量组 1， 2， 3的秩也是 2，从而 )解析：11.设有齐次
25、线性方程组（分数：10.00）_正确答案：(分析 确定参数，使包含 n个未知量和 n个方程的齐次线性方程组有非零解，通常用两个方法：一是对其系数矩阵作初等行变换化成阶梯形；再就是令其系数行列式为零求出参数值本题的关键是参数 a有两个值，对每个值都要讨论解 设齐次方程组的系数矩阵为 A，则那么，Ax=0 有非零解当 a=0时，对系数矩阵 A作初等变换，有故方程组的同解方程组为 x1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0) T， n-1=(-1，0，0，1) T于是方程组的通解为 x=k1 1+kn-1 n-1，其中 k1，k n-1为任意常数当
26、 时，对系数矩阵作初等行变换，把 n行的-1 倍分别加至每一行，有故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 =(1，2，n) T，于是方程组的通解为 x=k，其中k为任意常数)解析：12.设齐次线性方程组（分数：10.00）_正确答案：(分析 这是 n个未知数 n个方程的齐次线性方程组，Ax=0 只有零解的充分必要条件是|A|0，故可从计算系数行列式入手解 方程组的系数行列式(1)当 ab 且 a(1-n)b 时，方程组只有零解(2)当 a=b时，对系数矩阵作初等行变换，有由于 n-r(A)=n-1，取自由变量为 x2，x 3，x n得到基础解系为： 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1
27、，0，1，0) T， n-1=(-1，0，0，1) T方程组的通解是：k 1 1+k2 2+kn-1 n-1，其中 k1，k 2，k n-1为任意常数(3)当 a=(1-n)b时，对系数矩阵作初等行变换，有)解析：13.设 n阶矩 A的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0的基础解系(A) 不存在 (B) 仅含一个非零解向量(C) 含有两个线性无关的解向量 (D) 含有三个线性无关的解向量（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 1 2，知 1- 2是 Ax=0的非零解，故秩 r(A)n又因伴随矩阵 A
28、*O，说明有代数余子式 Aij0，即|A|中有 n-1阶子式非零因此秩 r(A)=n-1那么 n-r(A)=1，即 Ax=0的基础解系仅含有一个非零解向量应选(B)14.设 A=( 1， 2， 3， 4)是 4阶矩阵，A *为 A的伴随矩阵若(1，0，1，0) T是方程组 Ax=0的一个基础解系，则 A*x=0的基础解系可为(A) 1， 3 (B) 1， 2 (C) 1， 2， 3 (D) 2， 3， 4（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题没有给出具体的方程组，因而求解应当由解的结构、由秩开始因为 Ax=0只有 1个线性无关的解，即 n-r(A)=1，从而 r(A)=3那么 r
29、(A*)=1 n-r(A*)=4-1=3故A*x=0的基础解系中有 3个线性无关的解，可见选项(A)、(B)均错误再由 A*A=|A|E，及|A|=0，有 A*A=0，知 A的歹 4向量全是 A*x=0的解，而秩 r(A)=3，故 A的列向量中必有 3个线性无关说明 1， 3相关 1， 2， 3相关从而应选(D)15.设 1， 2， s为线性方程组 Ax=0的一个基础解系： 1=t1 1+t2 2， 2=t1 2+t2 3， s=t1 s+t2 1，其中 t1，t 2为实常数试问 t1，t 2满足什么关系时， 1， 2， s也为 Ax=0的一个基础解系（分数：10.00）_正确答案：(分析 如
30、果 1， 2， s是 Ax=0的基础解系，则表明(1) 1， 2， s是 Ax=0的解；(2) 1， 2， s线性无关；(3)s=n-r(A)或 1， s可表示 Ax=0的任一个解那么要证 1， s是基础解系，也应当证这三点本题中(1)、(3)是容易证明的，关键是(2)线性相关性的证明在考研中是常见的解 由于 i(i=1，2，s)是 1， 2， s的线性组合，又 1， s是 Ax=0的解，所以根据齐次方程组解的性质知 i(i=1，2，s)均为 Ax=0的解从 1， 2， s是 Ax=0的基础解系，知 s=n-r(A)下面来分析 1， 2， s线性无关的条件设 k1 1+k2 2+ks s=0，
31、即(t 1k1+t2ks) 1+(t2k1+t1k2) 2+(t2k2+t1k3) 3+(t2ks-1+t1ks) s=0，由于 1， 2， s线性无关，因此有因为系数行列式所以当 时，方程组(*)只有零解 k1=k2=ks=0从而 1， 2， s线性无关即当 s为偶数t1t 2，s 为奇数，t 1-t 2时， 1， 2， s也为 Ax=0的一个基础解系)解析：16.已知三阶矩阵 A的第 1行是(a，b，c)不全为零，矩阵 （分数：10.00）_正确答案：(分析 本题没有完整的矩阵 A，因此求方程组 Ax=0的解不是用加减消元来实现，而应当利用解的结构要由秩入手，另外对 AB=O要意识到 B的
32、每一列都是齐次方程 Ax=0的解解 由 AB=0知 r(A)+r(B)3，又 A0，B0 故 1r(A)2，1r(B)2(1)如果 k9，必有 r(B)=2此时 r(A)=1由于 n-r(A)=3-1=2，又因 AB=0知 B的列向量是 Ax=0的解故 Ax=0的通解为：k 1(1，2，3) T+k2(3，6，k) T，k 1，k 2为任意常数(2)如果 k=9，则 r(B)=1此时 r(A)=1或 21若 r(A)=2，则 n-r(A)=1Ax=0 的通解为 k(1，2，3) T，k 为任意常数；2若 r(A)=1，则 Ax=0与 ax+by+cz=0同解由 n-r(A)=2不妨设 a0，那
33、么 Ax=0的通解为 k1(-b，a，0) T+k2(-c，0，a) T，k 1，k 2为任意常数)解析：17.已知方程组 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 方程组无解的充分必要条件是 故应对增广矩阵作初等行变换，由若 a=-1，则 于是有 r(A)=2，18.非齐次线性方程组 Ax=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则(A) r=m时，方程组 Ax=b有解 (B) r=n 时，方程组 Ax=b有唯一解(C) m=n时，方程组 Ax=b有唯一解 (D) rn 时，方程组 Ax=b有无穷多解（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 A是 mn矩阵，若秩 r(A)=m，则 m=r(A)r(A，b)m于是 r(A)=r
