1、考研数学三线性代数（向量）-试卷 1 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0C.
2、 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关3.设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关4.设 则三条直线 a 1 x+b 1 y+c 1 =0，a 2 x+b 2 y+c 1 =0，a 3 x+b 3 y+c 3 =0(其中 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1
3、， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关5.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1C. 1 -2 2 ， 2 -2 3 ， 3 -2 1D. 1 +2 2 ， 2 +2 3 ， 3 +2 16.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 与 2 +( )（分数：2.00）A.线性无关B.线性相关C.即线性相关又线性无关D.不确定7.已知向量组 （分数：2.00）A. 1 ， 3B. 1 ， 2C. 1 ， 2
4、， 5D. 1 ， 3 ， 58.设 1 =(1，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，-1) T ， 3 =(2，6，0，6) T ， 4 =(0，1，3，a) T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件9.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， m-1 线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则( )（分数：2.00）A. m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B. m 不能由()线性表示，但可以由
5、()线性表示C. m 可以由()线性表示，也可以由()线性表示D. m 可以由()线性表示，但不能由()线性表示10.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 - 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.411.设 A 是 n 阶方阵，且A=0，则 A 中( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合D.任一列向量是其余列向量
6、的线性组合二、填空题(总题数：7，分数：14.00)12.如果 =(1，2，t) T 可以由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(-1，2，7) T ， 3 =(1，-1，-4) T 线性表示，则 t 的值是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 x 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 Exx T 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.向量组 1 =(1，0，0)， 2 =(1，1，0)， 3 =(-5，2，0)的秩是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，
7、)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.已知 1 =(1，4，2) T ， 2 =(2，7，3) T ， 3 =(0，1，a) T 可以表示任意一个三维向量，则a 的取值是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.与 1 =(1，2，3，-1) T ， 2 =(0
8、，1，1，2) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 3 阶矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T（分数：4.00）(1).将向量 =(1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表示；（分数：2.00）_(2).求 A n （分数：2.00）_设向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =
9、(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3，4，a) T 线性表示（分数：4.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2).将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_已知 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 2 ， 3 ， 4 )=3，证明：（分数：4.00）(1). 1 能由 2 ， 3 线性表示；（分数：2.00）_(2). 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_20.设 a 1 ，a 2 线性无关，a 1 +b，a 2 +b 线性相关，求向量 b 用 a 1
10、 ，a 2 线性表示的表达式（分数：2.00）_21.设 b 1 =a 1 ，b 2 =a 1 +a 2 ，b r =a 1 +a 2 +a r ，且向量组 a 1 ，a 2 ，a r 线性无关，证明：向量组 b 1 ，b 2 ，b r 线性无关（分数：2.00）_ * 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系证明：（分数：4.00）(1). * ， 1 ， n-r 线性无关；（分数：2.00）_(2). * ， * + 1 ， * + n-r 线性无关（分数：2.00）_考研数学三线性代数（向量）-试卷 1 答案解析(总分：56.00，做
11、题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为
12、sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：解析：选项 A 的条件即齐次线性方程组 x 1 a 1 +x 2 a 2 +x s a s =0 只有零解，故 1 ， 2 ， s 线性无关，A 选项正确 对于选项 B，由 1 ， 2 ， s 线性相关知，齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的 选项 C 是教材中的定理 由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的 综上可知，应选 B3.设 A 是 m
13、n 矩阵，则齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关 B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关解析：解析：齐次线性方程组 Ax=0 的向量形式为 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0， 其中 1 ， 2 ， n 为 A 的 x 个 m 维的列向量 由 Ax=0 只有零解 4.设 则三条直线 a 1 x+b 1 y+c 1 =0，a 2 x+b 2 y+c 1 =0，a 3 x+b 3 y+c 3 =0(其中 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.r(
14、 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关 解析：解析：三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组 或 x 1 +y 2 + 3 ， (2) 有唯一解由(2)式可得 3 =-x 1 -y 2 而方程组(2)(或(1)有唯一解 3 可由 1 ， 2 线性表示，且表示式唯一 5.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1C. 1 -2 2 ， 2 -2 3 ， 3 -2 1D. 1 +2 2
15、， 2 +2 3 ， 3 +2 1解析：解析：利用向量组线性相关的定义，令 x 1 ( 1 - 2 )+x 2 ( 2 - 3 )+x 3 ( 3 - 1 )=0，(x 1 ，x 2 ，x 3 为不全为零的实数) 可得(x 1 -x 3 ) 1 +(-x 1 +x 2 ) 2 +(-x 2 +x 3 ) 3 =0 又已知 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 6.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 与 2 +( )（分数：2.00）A.线性无关B.线性相关C.即线性相关又线性无关D.不确定 解析：解析：例如，令 1 =(1，1)， 2 =(0，2)，=(-1，-1)，则 1 ，
16、 2 线性无关，而 1 +=(0，0) 与 2 +=(-1，1)线性相关如果设 =(0，0)，那么 1 + 与 2 + 却是线性无关的故选 D7.已知向量组 （分数：2.00）A. 1 ， 3B. 1 ， 2C. 1 ， 2 ， 5D. 1 ， 3 ， 5 解析：解析：对以 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 为列向量的矩阵作初等行变换，有 8.设 1 =(1，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，-1) T ， 3 =(2，6，0，6) T ， 4 =(0，1，3，a) T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要
17、条件 C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析：解析：n 个 n 维向量线性相关性一般用行列式 1 ， 1 ， n 是否为零去判断 因为 1 ， 1 ， 4 = 9.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， m-1 线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则( )（分数：2.00）A. m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B. m 不能由()线性表示，但可以由()线性表示 C. m 可以由()线性表示，也可以由()线性表示D. m 可以由()线性表示，但不能由()线性表示解析：解析：按题意，存在组实数 k 1 ，k 2
18、，k m 使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m = (*) 且必有 k m 0否则与 不能由 1 ， 2 ， m-1 线性表示相矛盾，从而 10.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 - 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：将表示关系合并成矩阵形式有 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 因 4 个四维向量 1 ， 2
19、 ， 3 ， 4 线性无关，故 1 ， 2 ， 3 ， 4 0A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是可逆矩阵，A 左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r(C)=r(AC)=r(AC)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 11.设 A 是 n 阶方阵，且A=0，则 A 中( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合 D.任一列向量是其余列向量的线性组合解析：解析：对于方阵 A，因为二、填空题(总题数：7，分数：14.00)12.如果 =(1，2，t) T 可以由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(-1，
20、2，7) T ， 3 =(1，-1，-4) T 线性表示，则 t 的值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析： 可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得 13.设 x 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 Exx T 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设知，矩阵 xx T 的特征值为 0，0，1，故 E-xx T 的特征值为 1，1，0又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故
21、它的秩等于它非零特征值的个数，即 r(E-xx T )=214.向量组 1 =(1，0，0)， 2 =(1，1，0)， 3 =(-5，2，0)的秩是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：对向量组构成的矩阵进行初等变换，变为阶梯形矩阵，其不全为 0 的行向量的个数就是向量组的秩，即15.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r+1）解析：解析：已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ，
22、 2 ， s ，)=r，表明向量 可以由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，但是 r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则表明向量 不能由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，因此通过对向量组 1 ， 2 ， s ， 作初等列变换，可得 ( 1 ， 2 ， s ，)=( 1 ， 2 ， s ，0，)，因此可得 r( 1 ， 2 ， s ，)=r+116.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则
23、a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：根据题意， 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 1 有解， 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起做矩阵的初等变换，即 17.已知 1 =(1，4，2) T ， 2 =(2，7，3) T ， 3 =(0，1，a) T 可以表示任意一个三维向量，则a 的取值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
24、案：正确答案：a1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 可以表示任一个 3 维向量，因此向量 1 ， 2 ， 3 与 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，1，0) T ，=(0，0，1) T 是等价向量，因此 1 ， 2 ， 3 的秩为3，即 1 ， 2 ， 3 0，于是 18.与 1 =(1，2，3，-1) T ， 2 =(0，1，1，2) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知，若向量 ， 正交，则内积 T =0，设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3
25、 均正交，那么 对以上齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是(-1，-1，1，0) T ，将这个向量单位化得 三、解答题(总题数：7，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 3 阶矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T（分数：4.00）(1).将向量 =(1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表示；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，即 )解析：(2).求
26、A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=2A 1 -2A 2 +A 3 ，则由题设条件 A n =2A n 1 -2A n 2 +A n 3 =2 1 -22 n 2 +3 n 3 = )解析：设向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3，4，a) T 线性表示（分数：4.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， 2 ， 3 不能由 1 ， 2 ， 3 表示，则由 1 ， 2 ， 3 =10，知 1 ，
27、2 ， 3 线性无关，因此， 1 ， 2 ， 3 线性相关，即 1 ， 2 ， 3 = )解析：(2).将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题等价于求三阶矩阵 C，使得( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )C 那么 C=( 1 ， 2 ， 3 ) -1 ( 1 ， 2 ， 3 )= 计算可得 C= 因此( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：已知 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 2 ， 3 ， 4 )=3，证明：（分数：4.00）(1). 1 能由 2 ， 3 线性表示；（分数：2.
28、00）_正确答案：(正确答案：r(a 1 ，a 2 ，a 3 )=23 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关； 假设 a 1 不能由 a 2 ，a 3 线性表示，则 a 1 与 a 2 ，a 3 线性无关 a 2 ，a 3 线性相关 而由 r(a 2 ，a 3 ，a 4 )=3 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关 )解析：(2). 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)的结论，a 1 可由 a 2 ，a 3 线性表示，则 若 a 4 能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示 )解析：20.设 a 1 ，a 2 线性无关，a 1 +b，a
29、2 +b 线性相关，求向量 b 用 a 1 ，a 2 线性表示的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a 1 +b，a 2 +b 线性相关，故存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，使 k 1 (a 1 +b)+k 2 (a 2 +b)=0，则有(k 1 +k 2 )b=-k 1 a 1 -k 2 a 2 又因为 a 1 ，a 2 线性无关，若 k 1 a 1 +k 2 a 2 =0，则 k 1 =k 2 =0 这与 k 1 ，k 2 不全为零矛盾，于是有 k 1 a 1 +k 2 a 2 0，(k 1 +k 2 )b0 由 a 1 ，a 2 线性无关，a 1 +b，a 2 +
30、b 线性相关，因此 b0 综上 k 1 +k 2 0，因此由(k 1 +k 2 )b=-ka 1 -k 2 a 2 ，即 )解析：21.设 b 1 =a 1 ，b 2 =a 1 +a 2 ，b r =a 1 +a 2 +a r ，且向量组 a 1 ，a 2 ，a r 线性无关，证明：向量组 b 1 ，b 2 ，b r 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知，可得 (b 1 ，b 2 ，b r )=(a 1 ，a 2 ，a r )K， 其中 向量组 a 1 ，a 2 ，a r 线性无关，则 r(a 1 ，a 2 ，a r )=r， 又因为 )解析： * 是非齐次线性方程组 A
31、x=b 的一个解， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系证明：（分数：4.00）(1). * ， 1 ， n-r 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设 * ， 1 ， n-r 线性相关，则存在不全为 0 的数 c 0 ，c 1 ，c n-r 使得下式成立 c 0 * +c 1 1 +c n-r n-r =0 (1) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c 0 * +c 1 1 +c n-r n-r )=c 0 A * +c 1 A 1 +c n-r A n-r =c 0 b，其中b0，则由上式 c 0 =0，于是(1)式变为 c 1 1 +c n-r n-
32、r =0， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1 ， n-r 线性无关，因此 c 1 =c 2 = c n-r =0，与线性相关矛盾 因此由定义知， * ， 1 ， n-r 线性无关)解析：(2). * ， * + 1 ， * + n-r 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设 * ， * + 1 ， * + n-r 线性相关，则存在不全为零的数 c 0 ，c 1 ，c n-r 使得下式成立 c 0 * +c 1 ( * + 1 )+c n-r ( * + n-r )=0， 即 (c 0 +c 1 +c n-r ) * +c 1 1 +c n-r n-r
33、 =0 (2) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c 0 +c 1 +c n-r ) * +c 1 1 +c n-r n-r =(c 0 +c 1 +c n-r )A * +c 1 A 1 +c n-r A n-r =(c 0 +c 1 +c n-r )b， 因为 b0，故 c 0 +c 1 +c n-r =0，代入(2)式，有 c 1 1 +c n-r n-r =0， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1 ， n-r 线性无关，因此 c 1 -c 2 =c n-r =0，即得 c 0 =0与假设矛盾 综上，所给向量组 * ， * + 1 ， * + n-r 线性无关)解析：
