1、考研数学三线性代数（矩阵）-试卷 1 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为三阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，A= （分数：2.00）A.B.3C.6D.93.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA -1 ) -1 =( )（分数：2.00）A.(A+B)BB.E+AB -1C.A(A+B)D.(A+B)A5.下列命题
2、中， (1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A -1 =B (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E (3)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆 (4)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆 正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)6.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则(1)若 A 可逆，则 B 可逆； (2)若 B 可逆，则 A+B 可逆；(3)若A+B 可逆，则 AB 可逆； (4)A-E 恒可逆上述命题中，正确的命题共有( )（分
3、数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个7.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A * +B * 是对称矩阵D.A-2B 是对称矩阵8.设 A= （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 AC.AP 3 P 2D.AP 1 P 39.设 A= （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1D.a1 时，B 的秩必为 2二、填空题(总题数：13，分数：26.00)10.设 A 为 4 阶矩阵，且A=2，则A *
4、= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 AB=A-B，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_12.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T = （分数：2.00）填空项 1:_16.设方阵 A 满足 A 2 -A-2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设矩阵 A= ，B=A 2 +5A+6E，则 （分数：2
5、.00）填空项 1:_18.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_20.如果 A= （分数：2.00）填空项 1:_21.设 =(1，2，3) T ，= （分数：2.00）填空项 1:_22.已知 2CA-2AB=C-B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：6，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_(2).求 AB -1（分数：2.00）
6、_24.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶矩阵，A 2 =E，证明：r(A+E)+r(A-E)=n（分数：2.00）_已知 3 阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 x（分数：4.00）(1).记 P=(x，Ax，A 2 x)求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP -1 ；（分数：2.00）_(2).计算行列式A+E（分数：2.00）_设 A，B 为同阶方阵，（分数：6.00）(1).若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（分数：2.00）_(2).举一个二阶方阵的例子说
7、明(1)的逆命题不成立；（分数：2.00）_(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立（分数：2.00）_考研数学三线性代数（矩阵）-试卷 1 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为三阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，A= （分数：2.00）A.B.3C.6D.9 解析：解析：由A= 3.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由AB=AB=0，且行列式是数值
8、，故有A=0 或B=0，反之亦成立，故应选C 取 A= ，AB=O，但 AO，BO，选项 A 不成立 取A= ，选项 B 不成立 取A=4.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA -1 ) -1 =( )（分数：2.00）A.(A+B)BB.E+AB -1C.A(A+B) D.(A+B)A解析：解析：因为(E+BA -1 ) -1 =(AA -1 +BA -1 ) -1 =(A+B)A -1 -1 =(A-1) -1 (A+B) -1 =A(A+B)， 所以应选 C 注意，由(A+B) 2 =E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B) -1 =
9、(A+B)5.下列命题中， (1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A -1 =B (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E (3)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆 (4)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆 正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4) 解析：解析：如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题(1)当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故(1)不正确例如 显然 A 不可逆 若 A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2 =E，即(AB)(AB
10、)=E，则可知 A、B 均可逆， 于是 ABA=B -1 ，从而 BABA=E即(BA) 2 =E因此(2)正确 若设 显然 A、B 都不可逆，但 A+B= 6.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则(1)若 A 可逆，则 B 可逆； (2)若 B 可逆，则 A+B 可逆；(3)若A+B 可逆，则 AB 可逆； (4)A-E 恒可逆上述命题中，正确的命题共有( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析：解析：由 AB=A+B，有(A-E)B=A若 A 可逆，则 (A-E)B=A-EB=A0， 知B0即矩阵曰可逆，从而命题(1)正确 应用命题(1)，由曰可逆
11、可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 A+B=AB 也可逆，故命题(2)正确 因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题(3)正确 对于命题(4)，用分组因式分解，即 AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E， 所以得 A-E 恒可逆，命题(4)正确 所以应选 D7.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵 C.A * +B * 是对称矩阵D.A-2B 是对称矩阵解析：解析：由题设条件，则 (A+B) T =A T +B T =A+B， 及 (kB) T =kB T =kB， 所以
12、有 (A-2B) T =A T -(2B T )=A-2B， 从而选项 A、D 的结论是正确的 首先来证明(A * ) T =(A T ) * ，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等(A * ) T 在位置(i，j)的元素等于 A * 在(j，i)位置的元素，且为元素 a ij 的代数余子式 A ij 而矩阵(A T ) * 在(i，j)位置的元素等于 A T 的(j，i)位置的元素的代数余子式，因 A为对称矩阵，即 a ji =a ij 则该元素仍为元素 a ij 的代数余子式 A ij 从而(A T ) * =(A T ) * =A * ，故A * 为对称矩阵，同理，B * 亦为对称矩
13、阵结合选项 A 的结论，则选项 C 的结论是正确的 因为(AB) T =B T A T =BA，从而选项 B 的结论不正确 注意：当 A，B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是AB=BA 所以应选 B8.设 A= （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 A C.AP 3 P 2D.AP 1 P 3解析：解析：矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP 3 P 2 ，AP 1 P 3 ，描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除 该变换或者把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第三行后，再 1、2 两行互换可得到 b；或者把矩阵 A的 1、2 两行互换后，再把第 2 行
14、的 2 倍加至第 3 行亦可得到 b而 P 2 P 3 A 正是后者，所以应选 B9.设 A= （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1 D.a1 时，B 的秩必为 2解析：解析：当 a=1 时，易见 r(A)=1；当 a1 时，则二、填空题(总题数：13，分数：26.00)10.设 A 为 4 阶矩阵，且A=2，则A * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为A0 时，有 A -1 = 11.设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 AB=A-B，其中 B= （分数：2.00）填空项
15、1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，AB=A-B，则(A+E)(E-B)=E，因此12.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于A= =3，又因为 AA * =A * A=AE，则对题中的矩阵方程右乘矩阵 A 得3AB-6B=A，即 3(A-2E)B=A，该等式两端同时取行列式有 3(A-2E).B=A=3， 即 27A-2E.B=A=3 又A-2E= 13.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
16、解析：根据矩阵乘积的计算方法15.设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，则 16.设方阵 A 满足 A 2 -A-2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A 2 -A-2E=O，即可得(A+2E)(A-3E)=-4E，于是有 (A+2E) -1 (A+2E)(A-3E)=-4(A+2E) -1 因此(
17、A+2E) -1 = 17.设矩阵 A= ，B=A 2 +5A+6E，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 B=(A+2E)(A+3E)，又 =5B -1 ，因此可知 18.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 B+E=(E+A) -1 (E-A)+E=(E+A) -1 (E-A)+(E+A) -1 (E+A)=(E+A) -1 (E-A)+(E+A)=2(E+A) -1 ， 因此(E+B) -1 = 19.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据逆矩阵的
18、求法，对已知矩阵和单位矩阵，用相同初等行变换把已知矩阵变为单位矩阵，则单位矩阵在相同的变换下变为已知矩阵的逆矩阵，即20.如果 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：A）解析：解析：已知 A= (B+E)且 B 2 =E，因此 21.设 =(1，2，3) T ，= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 A= T = 且矩阵的乘法满足结合律，所以 A 3 =( T )( T )( T )=( T )( T ) T =4 T =4A= 22.已知 2CA-2AB=C-B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
19、案：*）解析：解析：由 2CA-2AB=C-B，得 2CA-C=2AB-B，因此有 C(2A-E)=(2A-E)B 所以，C=(2A-E)B(2A-E) -1 那么可得 C 3 =(2A-E)B 3 (2A-E) -1 = 三、解答题(总题数：6，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 E(i，j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有B=E(i，j)A，
20、因此有 B=E(i，j)A=-A0， 所以矩阵 B 可逆)解析：(2).求 AB -1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB -1 =AE(i，j)A -1 =AA -1 E -1 (i，j)=E -1 (i，j)=E(i，j)解析：24.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=AE，知A * =A n-1 ，因此有 8=A * =A 3 于是A=2 在等式 ABA -1 =BA -1 +3E，两边先右乘 A，再左乘 A * ，得 2B=A * B+3A * A 由上述结论，则有 (2E-A * )B=6E， 于是 )解
21、析：25.设 A 是 n 阶矩阵，A 2 =E，证明：r(A+E)+r(A-E)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题干知 A 2 =E，则 A 2 -E=O，即(A-E)(A+E)=O 那么 r(A+E)+r(A-E)n 又因为 r(A+E)+r(A-E)=r(A+E)+r(E-A)r(A+E)+(E-A)=r(2E)=n， 故 r(A+E)+r(A-E)=n)解析：已知 3 阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 x（分数：4.00）(1).记 P=(x，Ax，A 2 x)求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP -
22、1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令等式 A=PBP -1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即 A(x，Ax，A 2 x)=(Ax，A 2 x，A 3 x)=(Ax，A 2 x，3Ax-2A 2 x) =(x，Ax，A 2 x) )解析：(2).计算行列式A+E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)知 A-B，那么 A+E-B+E，从而 )解析：设 A，B 为同阶方阵，（分数：6.00）(1).若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B，则 E-B=E-P -1 AP=P -1 EP-P -1 AP =P -1 (E-A)P=P -1 E-AP=E-A 所以 A、B 的特征多项式相等)解析：(2).举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= )解析：(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1 ， n ，则有 也就是，存在可逆矩阵 P，Q，使 P -1 AP= )解析：
