1、考研数学三线性代数（线性方程组）-试卷 2及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.要使 1 = 都是线性方程组 Ax=0的解，只要系数矩阵 A为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A为 n阶矩阵，A T 是 A的转置矩阵，对于线性方程组()Ax=0 和()A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.(I)的解是()的解，()的解也是()的解B.(I)的解是()的解，()的解不是()的解C.()的解是()的解，()的解不是()的解D.()
2、的解不是()的解，()的解也不是()的解4.设 A是 n阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0和()A n+1 x=0，现有四个命题 (1)()的解必是()的解； (2)()的解必是()的解； (3)()的解不是()的解； (4)()的解不是()的解 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)5.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )（分数：2.00）A.A的任意 m个列向量必线性无关B.A的任意一个 m阶子式不等于零C.A通过初等行变换，必可以化为(I m ：O)的形
3、式D.非齐次线性方程组 Ax=b一定有无穷多解6.非齐次线性方程组 Ax=b中未知量的个数为儿，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m时，方程组 Ax=b有解B.r=n时，方程组 Ax=b有唯一解C.m=n时，方程组 Ax=b有唯一解D.rn 时，方程组有无穷多个解7.设 1 ， 2 ， 3 是 4元非齐次线性方程组 Ax=b的 3个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b的通解 x=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A是 mn矩阵，B 是 n
4、m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时，仅有零解B.当 nm 时，必有非零解C.当 mn 时，仅有零解D.当 mn 时，必有非零解二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 1 ， 2 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_11.四元方程组 Ax=b的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如果 r(A)=3，则方程组 Ax=b的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 1 =(6，-1，1) T 与 2 =(-7，
5、4，2) T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知 A是 mn矩阵，其 m个行向量是齐次线性方程组 Cx=0的基础解系，B 是 m阶可逆矩阵，证明：BA的行向量也是齐次方程组 Cx=0的基础解系（分数：2.00）_18.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_19.已知线性方程组 有无穷多解，而 A
6、是 3阶矩阵，且 （分数：2.00）_20.设方程组(1) （分数：2.00）_21.设四元齐次线性方程组(1)为 （分数：2.00）_22.已知 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系，证明 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 也是该方程组的一个基础解系（分数：2.00）_23.求线性方程组 的通解，并求满足条件 （分数：2.00）_24.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_25.设线性方程组 （分数：2.00）_26.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_27.已知 3阶矩阵 A的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数
7、：2.00）_28.设 n元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_考研数学三线性代数（线性方程组）-试卷 2答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.要使 1 = 都是线性方程组 Ax=0的解，只要系数矩阵 A为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由题意， 1 、 2 与 A的行向量是正交的，对于选项 A，因(-2，1，1) 1 =0，(-2，1，1) 2 =0，而逐一验证可得，其他三个选项均不满足正交条件所以应选 A3.设
8、 A为 n阶矩阵，A T 是 A的转置矩阵，对于线性方程组()Ax=0 和()A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.(I)的解是()的解，()的解也是()的解 B.(I)的解是()的解，()的解不是()的解C.()的解是()的解，()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解解析：解析：如果 是()的解，有 A=0，可得 A T A=A T (A)=A T 0=0， 即 是()的解故()的解必是()的解 反之，若 是()的解，有 A T A=0，用 T 左乘可得 T (A T A)=( T A T )(A)=(A) T (A T )= T 0=0， 若设 A=
9、(b 1 ，b 2 ，b n )，那么 4.设 A是 n阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0和()A n+1 x=0，现有四个命题 (1)()的解必是()的解； (2)()的解必是()的解； (3)()的解不是()的解； (4)()的解不是()的解 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2) B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)解析：解析：若 A n =0，则 A +1 =A(A n )=A0=0，即若 是()的解，则 必是()的解，可见命题(1)正确 如果 A n+1 =0，而 A n 0，那么对于向量组 ，A 1 ，A 2 ，A n ，一方面有： 若 k
10、+k 1 A 1 +k 2 A 2 +k n A n =0，用 A n 左乘上式的两边，并把 A n+1 =0，A n+2 =0代入，得 kA n =0由 A n 0 知，必有 k=0类似地用 A n-1 左乘可得 k 1 =0因此，A 1 ，A 2 ，A n 线性无关 但另一方面，这是 n+1个 n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾故 A n+1 =0 时，必有 A n =0，即()的解必是()的解因此命题(2)正确 所以应选 A5.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )（分数：2.00）A.A的任意 m个列向量必线性无关B.A的任意一
11、个 m阶子式不等于零C.A通过初等行变换，必可以化为(I m ：O)的形式D.非齐次线性方程组 Ax=b一定有无穷多解 解析：解析：选项 A、B 显然不正确，将其中的“任意”都改为“存在”，结论才正确对于矩阵 A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型(I m ：O)的，故 C也不正确，故选 D 事实上，由于 A有 m行，且 r(A)=mn，因此 r(A：b)r(A)=m又 r(A：b)rainm，n+1=m， 故 r(A：b)=r(A)=mn，从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解所以选项 D正确6.非齐次线性方程组 Ax=b中未知量的个数为儿，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则(
12、)（分数：2.00）A.r=m时，方程组 Ax=b有解 B.r=n时，方程组 Ax=b有唯一解C.m=n时，方程组 Ax=b有唯一解D.rn 时，方程组有无穷多个解解析：解析：对于选项 A，r(A)=r=m由于 r(A：b)m=r， 且 r(A：b)rainm，n+1=minr，n+1=r， 因此必有 r(A：b)=r， 从而 r(A)=r(A：b)， 所以，此时方程组有解，所以应选 A 由 B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等7.设 1 ， 2 ， 3 是 4元非齐次线性方程组 Ax=b的 3个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3
13、) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b的通解 x=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据线性方程组解的结构性质，易知 2 1 -( 2 + 3 )=(2，3，4，5) T 是 Ax=0的一个非零解，所以应选 C8.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时，仅有零解B.当 nm 时，必有非零解C.当 mn 时，仅有零解D.当 mn 时，必有非零解 解析：解析：因为 AB是 m阶矩阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n(矩阵越乘秩越小)， 所以当mn 时，必有 r(AB)m，根据齐次方
14、程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D正确二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：线性方程组 Ax=b有解的充分必要条件是 r(A)=r(A)，而有无穷多解的充分必要条件是 r(A)=r(A)n，对增广矩阵作初等行变换，有10.已知 1 ， 2 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：因为 1 ， 2 是方程组的两个不同的解，因此该方程组有无穷多解，即系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且均小于 3，对增广矩阵做初等行变换有 11.四元方程组 Ax=b的三个解是 1
15、 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如果 r(A)=3，则方程组 Ax=b的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T）解析：解析：根据( 2 + 3 )-2 1 =( 2 - 1 )+( 3 - 1 )=(2，3，4，5) T -2(1，1，1，1) T =(0，1，2，3) T ，因此可知(0，1，2，3) T 是 Ax=0的解又因为 r(A)=3，n-r(A)=1，所以 Ax=b的通解为(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T 12.设 1
16、=(6，-1，1) T 与 2 =(-7，4，2) T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(6，-1，1) T +k(1 3，-5，-1) T (k为任意常数)）解析：解析：一方面因为 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b的两个不同的解，因此一定有 r(A)=r(A)3另一方面由于在系数矩阵 A中存在二阶子式 13.齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：系数矩阵 A= ，得同解方程组14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8)
17、 T）解析：解析：因为矩阵 A的秩是 2，所以A=0，因此 A * A=AE=0，所以 A的列向量为 A * x=0的解，又由已知条件得 r(A * )=1，因此 A * x=0的通解是 k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T15.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3 或-1）解析：解析：系数矩阵的行列式A= 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知 A是 mn矩阵，其 m个行向量是齐次线性方程组 Cx=0的基础解系，B 是 m阶可逆矩阵，证明：BA
18、的行向量也是齐次方程组 Cx=0的基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得 A的行向量是 Cx=0的解，即 CA T =O则 C(BA) T =CA T B T =OB T =0可 见 BA的行向量是方程组 Cx=0的解 由于 A的行向量是基础解系，所以 A的行向量线性无关，于是 m=r(A)=n-r(C) 又因为 B是可逆矩阵，r(BA)=r(A)=m=n-r(C)，所以 BA的行向量线性无关，其向量个数正好是 n-r(C)，因此是方程组 Cx=0的基础解系)解析：18.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 分别表示方程组()与()
19、的系数矩阵和增广矩阵，则 已知方程组()有解，故 又由于(b 1 ，b 2 ，b m ，1)不能由(a 11 ，a 21 ，a m2 ，0)，(a 12 ，a 22 ，a m2 ，0)，(a 12 ，a 2n ，a mn ，0)线性表示，则 由已知可得 )解析：19.已知线性方程组 有无穷多解，而 A是 3阶矩阵，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等变换，有 由于方程组有无穷多解，故 a=-1或 a=0 当a=-1时，三个特征向量 线性相关，不合题意，舍去； 当 a=0时，三个特征向量 线性无关，是A的特征向量，故 a=0 令 P= )解析：20.设方程组(1) （分
20、数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组(3) 则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解 对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有 则方程组(3)有解，即(a-1)(a-2)=0 当 a=1时， ，此时方程组(3)的通解为 k(-1，0，1) T (k为任意常数)，即为方程组(1)与(2)的公共解 当 A=2时， )解析：21.设四元齐次线性方程组(1)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 由于 n-r(A)=4-2=2，基础解系由 2个线性无关的解向量所构成，取 x 3 ，x 4 为自由变量，得
21、 1 =(5，-3，1，0) T ， 2 =(-3，2，0，1) T 是方程组(1)的基础解系 ()设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 =k 1 1 +k 2 2 =l 1 1 +l 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 与 l 1 ，l 2 均是不全为 0的常数 由 k 1 1 +k 2 2 -l 1 1 -l 2 2 =0，得齐次方程组(3) 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 如果 a-1，则(3) 那么方程组(3)只有零解，即 k 1 =k 2 =l 1 = 2 =0，于是 =0，不合题意 当 a=-1时，方程组(3)系数矩阵变形为 )解析：22.已知 1 ， 2 ， 3 是
22、齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系，证明 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 也是该方程组的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 =0+0=0知， 1 + 2 是齐次方程组 Ax=0的解同理可知 2 + 3 ， 1 + 3 也是 Ax=0的解 设 k 1 ( 1 + 2 )+k 2 ( 2 + 3 )+k 3 ( 1 + 3 )=0，即 (k 1 +k 3 ) 1 +(k 1 +k 2 ) 2 +(k 2 +k 3 ) 3 =0， 因为 1 ， 2 ， 3 是基础解系，它们是线性无关的，故 由于此方程组系数行列式 D= )
23、解析：23.求线性方程组 的通解，并求满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的增广矩阵作初等行变换，有 方程组的解：令 x 3 =0，x 4 =0得x 2 =1，x 1 =2，即 =(2，1，0，0) T 其对应齐次方程组的解： 令 x 3 =1，x 4 =0，得 x 2 =3，x 1 =1，即 1 =(1，3，1，0) T ； 令 x 3 =0，x 4 =1，得 x 2 =0，x 1 =-1，即 2 =(-1，0，0，1) T 故该方程组的通解是：(2，1，0，0) T +k 1 (1，3，1，0) T +k 2 (-1，0，0，1) T 而其中条件 ，即(2+k 1
24、-k 2 ) 2 =(1+3k 1 ) 2 那么有 2+k 1 -k 2 =1+3k 1 或 2+k 1 -k 2 =-(1+3k 1 )，两边同时开方，即 k 2 =1-2k 1 或 k=3+4k 1 所以(1，1，0，1) T +k(3，3，1，-2) T 或(-1，1，0，3) T +k(-3，3，1，4) T (k其中为任意常数)为满足 )解析：24.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 当 a0 且 b3 时，方程组有唯一解 当 a=0时，对任意的 b，方程组均无解 当 a0，b=3 时，方程组有无穷多解 )解析：25.设
25、线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(1，-1，1，-1) T 代入方程组得 =对增广矩阵作初等行变换，有 这时 r(A)= )解析：26.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一：对方程组的系数矩阵 A作初等行变换，有 当 a=0时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0， 由此得基础解系为 1 =(-1，1，0，0) T ， 2 =(-1，0，1，0) T ， n-1 =(-1，0，0，1) T ， 于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k n-1 为任意常数
26、当 a0 时，对矩阵 B作初等行变换，有 由此得基础解系为 =(1，2，n) T ， 于是方程组的通解为 x=k，其中 k为任意常数 方法二：方程组的系数行列式为 故方程组的同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0， 由此得基础解系为 1 =(-1，1，0，0) T ， 2 =(-1，0，1，0) T ， n-1 =(-1，0，0，1) T ， 于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k n-1 为任意常数 故方程组的同解方程组为 )解析：27.已知 3阶矩阵 A的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_正确答案：
27、(正确答案：由 AB=0知，B 的每一列均为 Ax=0的解，且 r(A)+r(B)3 (1)若 k9，则 r(B)=2，于是 R(A)1，显然 R(A)1，故 r(A)=1此时 AX=0的基础解系所含解向量的个数为 3-r(A)=2，矩阵 b的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0的通解为：x=x 1 ，k 1 ，k 2 为任意常数 (2)若 k=9，则 r(B)=1，从而 1r(A)2 若 r(A)=2，则 Ax=0的通解为：x=k 1 ，k 1 为任意常数 若 r(A)=1，则 Ax=0的同解方程组为：ax 1 +bx 2 +cx 3 =0，不妨设 a0，则其通解为 )解析：28.设 n元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 a0 时，方程组系数行列式 D n 0，故方程组有唯一解由克拉默法则，将 D n 的第一列换成 b，得行列式为 )解析：
