1、考研数学三线性代数（线性方程组）-试卷 3及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 为非齐次方程组 （分数：2.00）A. 1 + 2 +2 1 为该非齐次方程组的解B. 1 + 1 + 2 为该非齐次方程组的解C. 1 + 2 为该非齐次方程组的解D. 1 - 2 + 1 为该非齐次方程组的解3.n元线性方程组 Ax=B有两个解 a、c，则下列方程的解是 a-c的是( )（分数：2.00）A.2Ax=BB.Ax=0C.Ax=aD.Ax=c4
2、.非齐次线性方程组 Ax=B中，系数矩阵 A和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46矩阵，则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解C.方程组有惟一解D.方程组无解5.对于齐次线性方程组 （分数：2.00）A.有两组解B.无解C.只有零解D.无穷多解6.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=-2 且B=0B.=-2 且B0C.=1 且B=0D.=1 且B07.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，若秩 =秩(A)，则线性方程组( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 n阶矩阵 A的伴随矩阵 A * O，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 A
3、x=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 n阶矩阵 A的秩为 n-2， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A是秩为 3的 54矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b的三个不同的解，如果 1 + 2 +2 3 =(2，0，0，0) T ，3 1 + 2 =(2，4，6，8) T ，则方程组 Ax=b的
4、通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A=(a ij )是三阶正交矩阵，其中 a 33 =-1，b=(0，0，5) T ，则线性方程组 Ax=b必有一个解是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.非齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2，-1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0) T ， 则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知方程组() （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
5、骤。_17.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b的 s个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 1 +k 2 +k s =1证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是该方程组的解（分数：2.00）_设 A= （分数：4.00）(1).计算行列式A；（分数：2.00）_(2).当实数 a为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解（分数：2.00）_18.设 A= （分数：2.00）_19.问 取何值时，齐次线性方程组 （分数：2.00）_20.写出一个以 x=c 1 （分数：2.00）_21. 取何值时，非齐次线性方程组 （分数：2.00）_22.设四元非齐次线性方程组
6、的系数矩阵的秩为 3，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 （分数：2.00）_设有向量组 A：a 1 = （分数：6.00）(1).向量易能由向量组 A线性表示，且表示式唯一；（分数：2.00）_(2).向量 b不能由向量组 A线性表示；（分数：2.00）_(3).向量 b能由向量组 A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式（分数：2.00）_考研数学三线性代数（线性方程组）-试卷 3答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ， 2
7、 为非齐次方程组 （分数：2.00）A. 1 + 2 +2 1 为该非齐次方程组的解B. 1 + 1 + 2 为该非齐次方程组的解 C. 1 + 2 为该非齐次方程组的解D. 1 - 2 + 1 为该非齐次方程组的解解析：解析：本题考查线性方程组的解的性质，将四个选项分别代入非齐次方程组，3.n元线性方程组 Ax=B有两个解 a、c，则下列方程的解是 a-c的是( )（分数：2.00）A.2Ax=BB.Ax=0 C.Ax=aD.Ax=c解析：解析：A(a-c)=Aa-Ac=0，所以 a-c是 Ax=0的解4.非齐次线性方程组 Ax=B中，系数矩阵 A和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46矩阵，
8、则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解 C.方程组有惟一解D.方程组无解解析：解析：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B5.对于齐次线性方程组 （分数：2.00）A.有两组解B.无解C.只有零解 D.无穷多解解析：解析：这是一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况对系数矩阵 A=6.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=-2 且B=0B.=-2 且B0C.=1 且B=0 D.=1 且B0解析：解析：将矩阵 B按列分块，则由题设条件有 A
9、B=A( 1 ， 2 ， 3 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=O 即 AB i =0(j=l，2，3)，这说明矩阵 B的列向量都是齐次线性方程组 Ax=0的解又由 BO，知齐次线性方程组 Ax=0存在非零解，从而 r(A)3，且 A为 3阶方阵，故有 7.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，若秩 =秩(A)，则线性方程组( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中必有一个正确也仅有一个正确，因而排除 A、B又齐次线性方程组 有 n+1个变量，而由题设条件知，秩 8.设 n阶矩阵 A的伴随矩阵 A * O
10、，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量解析：解析：因为齐次线性方程组的基础解系所含线性无关的解向量的个数为 n-r(A)而由 A * O 可知，A * 中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵 A中至少有一个(n-1)阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有 r(A)n-1又由 Ax=b有互不相等的解知，其解存在且不唯一，故有 r(A)n，从而 r(A)=n-1因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个
11、非零解向量，故选 B二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 n阶矩阵 A的秩为 n-2， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 +k 1 ( 2 - 1 )+k( 3 - 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b的三个线性无关的解，则 2 - 1 ， 3 - 1 是 Ax=0的两个解，且它们线性无关，又 n-r(A)=2，故 2 - 1 ， 3 - 1 是 Ax=0的基础解系，所以 Ax=b的通解为 1 +k 1
12、 ( 2 - 1 )+k 2 ( 3 - 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数10.设 A是秩为 3的 54矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b的三个不同的解，如果 1 + 2 +2 3 =(2，0，0，0) T ，3 1 + 2 =(2，4，6，8) T ，则方程组 Ax=b的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：( ）解析：解析：由于 r(A)=3，所以齐次方程组 Ax=0的基础解系共有 4-r(A)=4-3=1个向量，又因为 ( 1 + 2 + 3 )-(3 1 + 2 )=2( 3 - 1 )=(0，-4，-6，-8) T 是 Ax=0的
13、解，因此其基础解系可以为(0，2，3，4) t ，由 A( 1 + 2 + 3 )=A 1 +A 2 +2A 3 =4b，可知 ( 1 + 2 + 3 )是方程组 Ax=b的一个解，因此根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是( 11.线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，对该方程组的增广矩阵作初等变换12.设 A=(a ij )是三阶正交矩阵，其中 a 33 =-1，b=(0，0，5) T ，则线性方程组 Ax=b必有一个解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
14、案：(0，0，-5) T）解析：解析：由正交矩阵定义，首先 AA T =A T A=E，由此可知 A的列向量和行向量都是单位向量，因此可设 A= 13.非齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对该非齐次线性方程组的增广矩阵作初等变换14.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2，-1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0) T ， 则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(13，-3，1，5) T (k为任意常数)）解析：解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个
15、方程的解，令(1)的通解为 15.已知方程组() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(-5，3，1) T (k为任意常数)）解析：解析：将方程组(I)和方程()联立，得到方程组() ()的解就是两者的公共解对()的系数矩阵做初等行变换可得 三、解答题(总题数：9，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b的 s个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 1 +k 2 +k s =1证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是该方程组的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
16、由于 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b的 s个解，故有 A i =b(i=1，s)， 当 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s ， 有 Ax=A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =b(k 1 +k 2 )=b，即 Ax=b，故 X也是方程的解)解析：设 A= （分数：4.00）(1).计算行列式A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= )解析：(2).当实数 a为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的增广矩阵(A，)= 可知要使原线性方程组有无穷多解
17、，则有 1-a 4 =0及-a-a 2 =0，可知 a=-1 此时，原线性方程组的增广矩阵为 ，进一步化为行最简形得 )解析：18.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 C= 则由 AC-CA=B，得方程组 此为 4元非齐次线性方程组，欲使 C存在，则此线性方程组必须有解，于是增广矩阵 所以，当 a=-1，b=0 时，系数矩阵与增广矩阵的秩相等，也就是线性方程组有解，即存在 C，使 AC-CA=B 又当 a=-1，b=0 时， )解析：19.问 取何值时，齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的系数矩阵 =(1-) 2 (3-)-2+8-4(3-)-
18、(1-)+4(1-) =(1-) 2 (3-)-(3-)=(3-)(1-) 2 -1 =(3-)(-2) 要使齐次线性方程组有非零解，则D=0，得 =0 或 =2 或 =3将 的值分别代人原方程组并求解 当 =0 时，方程组的解为 当 =2 时，方程组的解为 当 =3 时，方程组的解为 )解析：20.写出一个以 x=c 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把已知的通解改写为 设 c 1 =x 3 ，c 2 =x 4 ，则有 所求方程组有2个自由未知数 x 3 ，x 4 ，且对应的同解方程组为 )解析：21. 取何值时，非齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程
19、组的增广矩阵 B进行初等行变换可得 )解析：22.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设该非齐次方程组为 Ax=b，因为 r(A)=3，则忍 n-r(A)=4-3=1，故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 1 ， 2 ， 3 均为方程组的解，因此齐次线性方程组 Ax=0的一个非零解为 =2 1 -( 2 + 3 )=( 1 - 2 )+( 1 - 3 )= 故此方程组的通解 )解析：设有向量组 A：a 1 = （分数：6.00）(1).向量易能由向量组 A线性表示，且表示式唯一；（分数：
20、2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，那么方程 Ax=b有解的充要条件为 b可由向量组A线性表示 当方程 Ax=b的系数行列式 )解析：(2).向量 b不能由向量组 A线性表示；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 =-4 时，增广矩阵 )解析：(3).向量 b能由向量组 A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 =-4，=0 时， r(A)=r(A，b)=23，方程 Ax=b有无穷多解，即向量b可由向量组 A线性表示，且表示式不唯一 且方程 Ax=b的通解为 故 b由向量组 A线性表示的一般表达式为 )解析：
