1、考研数学三（定积分及应用）模拟试卷 3 及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 一 y 2 所围成的区域面积可表示为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.在曲线 y=(x 一 1)
2、2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y
3、=x 4 e -x2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：54.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 f(a)=f(b)=0， （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).证明： （分数：2.00）_14.设 f(x)在区间0，1上可导， （分数：2.00）_15.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_16.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f
4、(2)=0，且|f(x)|证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_19.求曲线 （分数：2.00）_20.求曲线 y=x 2 一 2x 与直线 y=0，x=1，x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_设 L：y=e -x (x0)（分数：4.00）(1).求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)（分数：2.00）_(2).设 （分数：2.00）_设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续
5、函数（分数：4.00）(1).证明：存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：2.00）_(2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_21.求圆 x 2 +y 2 =2y 内位于抛物线 y=x 2 上方部分的面积（分数：2.00）_22.设 L： 由 x=0，L 及 y=sint 围成面积 S 1 (t)；由 y=sint，L 及 x= 围成面积 S 2 (t)，其中 （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C
6、1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_25.设曲线 y=a+xx 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_26.曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_27.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成
7、，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_28.求曲线 y=3 一|x 2 一 1|与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积 （分数：2.00）_29.求由曲线 y=4 一 x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_30.过曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_31.设曲线 （分数：2.00）_32.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小
8、（分数：2.00）_设直线 y=kx 与曲线 （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_(2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：2.00）_考研数学三（定积分及应用）模拟试卷 3 答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 一 y 2 所围成的区域面积可表示为( ) （分数：2.00）A. B.C
9、.D.解析：解析：双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 一 y 2 的极坐标形式为 r 2 =cos2，再根据对称性，有 3.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由元素法的思想，对x，x+dx a，b， dv=mg(x) 2 一 m 一 f(x) 2 )dx=2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx， 则 4.在曲线 y=(x 一 1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由
10、该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：过曲线 y=(x 一 1) 2 上点(2，1)的法线方程为 该法线与 x 轴的交点为(4，0)，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体 积为 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：7
11、. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 则 故 ）解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：11.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：12.曲线 y=x 4 e -x2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：24，分数：54.00)13.解答题解答应写出文
12、字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 f(a)=f(b)=0， （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)在区间0，1上可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=x 2 f(x)，由积分中值定理得 其中 即 (c)=(1)，显然(x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) )解析：15.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 显然 (x)在a，b上可导，又 (a
13、)=(b)=0， 由罗尔定理，存在(a，b)，使得 ()=0，而 所以 即 )解析：解析：由 得 即 则辅助函数为16.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 F(0)=F()=0，所以存在 x 1 (0，)，使得 F(x 1 )=0，即f(x 1 )sinx 1 =0，又因为 sinx 1 0，所以 f(x 1 )=0 设 x 1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当x(0，)且 xx 1 时，有 sin(xx)f(x)恒正或恒负，于是 而 )解析：17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且
14、|f(x)|证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f( 1 )x，其中 0 1 x， f(x)一 f(2)=f( 2 )(x 一 2)，其中 x 2 2，于是 从而 )解析：18.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取 由泰勒公式得 两式相减得 即 因为 f“(x)在a，b上连续，所以存在 1 ， 2 (a，b)，使得 从而 )解析：19.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求曲线 y=x 2 一
15、2x 与直线 y=0，x=1，x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域面积为 )解析：设 L：y=e -x (x0)（分数：4.00）(1).求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：4.00）(1).证明：存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间
16、c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 即证明 S 1 (f)=S 2 (c)，或 根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得(c)=0，即 )解析：(2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：21.求圆 x 2 +y 2 =2y 内位于抛物线 y=x 2 上方部分的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 所围成的面积为 )解析：22.设 L： 由 x=0，L 及 y=sint 围成面积 S 1 (t)；由 y=sint，L 及 x= 围成面积 S 2 (t)，其中 （分数：2.
17、00）_正确答案：(正确答案： (1)当 时，S(t)最小，且最小面积为 )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当一 1 当 x0 时， 故所求的面积为 )解析：24.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 C：y=x 2 ，C 1 ： 令 C 2 ：x=f(y)，P 点坐标为(x，y)， 则 所以 因
18、为 PC，所以有 即 两边对 x 求导，得 即 从而 C 2 的方程为 即 )解析：25.设曲线 y=a+xx 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=a+xx 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 移项得 因为 0，所以 4a+2 一 3 =0 又因为(，0)为曲线 y=a+xx 3 与 x 轴的交点，所以有 + 3 =0，从而有 )解析：26.曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴
19、一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求曲线 y=3 一|x 2 一 1|与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+dx 0，1， dv 1 =3 2 一(x 2 一 1) 2 dx=(8+2x 2 一 x 4 )dx， x，x+dx 1，2， dv 2 =3 2 一(1 一 x 2 ) 2 dx=(8+2x
20、2 一 x 4 )dx， 则所求体积为 )解析：29.求由曲线 y=4 一 x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 取x，x+dx 一 2，2，则 dV=2(3 一 x)(4 一 x 2 )dx， 方法二 取y，y+dy 0，4， )解析：30.过曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为(a，a 2 )(a0)，则切线方程为 y 一 a 2 =2a(xa)，即 y=2axa 2 ， 由题意得 解得 a=1， 则切线方程为
21、 y=2x 一 1，旋转体的体积为 )解析：31.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4 一 a曲线可化为 对任意的x，x+dx 0，a， 于是 根据对称性，有 于是 V(a)=V 1 (a)+V 2 (a)= (4 一 a) 令 所以 a=2 时，两体积之和最大，且最大值为 )解析：32.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2 一 a 因为a0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0， 所以 )解析：设直线 y=kx 与曲线 （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程组 得直线与曲线交点为 )解析：(2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以此时 )解析：
