1、考研数学三（微积分）-试卷 35 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（分数：2.00）A. a b 2m 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxB. a b 2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dxC. a b m 一 f(x)+g(x)f(x)
2、一 g(x)dxD. a b m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx3.在曲线 y=(x1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、z 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明
3、过程或演算步骤。（分数：2.00）_9.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f“(x)2证明： 0 2 f(x)dx2（分数：2.00）_10.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_11.求曲线 y=cosx( （分数：2.00）_12.求曲线 y=x 2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_13.设 L：y=e x (x0) (1)求由 y=e x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的
4、旋转体的体积 V(a) (2)设 V(c)= （分数：2.00）_14.设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数 (1)证明存在 c(0，1)使得在区间0，f上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设 f(x)在(0，1)内可导，且（分数：2.00）_15.求由圆 x 2 +y 2 =2y 与抛物线 y=x 2 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_16.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 一 y 2 )所围成的面积（分数：2.00）_17.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右
5、两个部分的面积之比（分数：2.00）_18.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 和 C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 y= ，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_19.设曲线 y=a+xx 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_20.曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图
6、形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_21.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_22.求曲线 y=3 一x 3 一 1与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积 （分数：2.00）_23.求由曲线 y=4 一 x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_24.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_25.设曲线 （分数：2.00）_26.设一抛物线 y=a
7、x 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_27.设直线 y=bx 与曲线 y= （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 35 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（分
8、数：2.00）A. a b 2m 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxB. a b 2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx C. a b m 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxD. a b m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx解析：解析：由元素法的思想，对x，x+dx 3.在曲线 y=(x1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、z 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：过曲线 y=(x1) 2 上点(2，1)的法线方程为 y
9、=一 +2，该法线与 x 轴的交点为(4，0)，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V= 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：6.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字
10、说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：9.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f“(x)2证明： 0 2 f(x)dx2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f“( 1 )x，其中 0 1 x，f(x)f(2)一=f“( 2 )(x 一 2)，其中 x 2 2，于是 )解析：10.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a b f(t)dt，则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取 ，由泰勒公式得 )解析：11.求
11、曲线 y=cosx( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.求曲线 y=x 2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 L：y=e x (x0) (1)求由 y=e x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 V(c)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数 (1)证明存在 c(0，1)使得在区间0，f上以 f(c)为高的矩
12、形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设 f(x)在(0，1)内可导，且（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)S 1 (c)=cf(c)，S 2 (c)= c 1 f(t)dt=一 1 c (t)dt，即证明 S 1 (c) S 2 (c)，或 cf(c)+ 1 c f(t)dt=0令 (x)=x 1 x f f(t)dt，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在c (0，1)，使得 (c)=0，即 cf(c)+ 1 c f(t)dt=0，所以 S 1 (c)=S 2 (c)，命题得证 (2)令h(x)=xf(x)一 x 1 (f)dt，因为 h(x)=
13、2f(x)+xf(x)0，所以 h(x)在0，1上为单调函数，所以(1)中的 f 是唯一的)解析：15.求由圆 x 2 +y 2 =2y 与抛物线 y=x 2 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 一 y 2 )所围成的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令 ，则双纽线的极坐标形式为 r 2 =a 2 cos 2 (0 )，第一卦限的面积为 )解析：17.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积
14、之比（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设左边的面积为 S 1 ，右边的面积为 S 2 ， )解析：18.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 和 C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 y= ，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件：C：y=x 2 ，C 1 ：y= ，令 C 2 ：x=f(y)，P 点坐标为(x，y)，)解析：19.设曲线 y=a+xx 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线
15、在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=a+xx 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得一 0 a (a+x 一 x 3 )dx= (a+x 一 x 3 )dx，移项得 0 a (a+xx 3 )dx+ (a+xx 3 )dx= 0 (a+xx 3 )dx=0(4a+2 一 3 )=0， 因为 0，所以 4a+2 一 3 =0 又因为(，0)为曲线 y=a+x 一 x 3 与 x 轴的交点，所以有 a+ 一 3 =0，从而有 =一 3aa 一 3a 一 27a 3 =
16、0a=一 )解析：20.曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求曲线 y=3 一x 3 一 1与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+dx 0，1， dv 1 =3 2 一(x 2 一 1) 2 dx=(8+2x 2 一 x
17、4 )dx， V 1 = 0 1 dv= 0 1 (8+2x 2 一 x 4 )dx， x，x+dx 1，2， dv 2 =3 2 一(1一 x 2 ) 2 dx=(8+2x 2 一 x 4 )dx， V 2 = 1 2 dv2= 1 2 (8+2x 2 一 x 4 )dx， 则所求体积为V=2(V 1 +V 2 )=2 0 2 (8+2x 2 x 4 )dx= )解析：23.求由曲线 y=4 一 x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围
18、成的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为(a，a 2 )(a0)，则切线方程为 y 一 a 2 =2a(x 一 a)_，即 y=2ax一 a 2 ， 由题意得 ，解得 a=1， 则切线方程为 y=2x 一 1，旋转体的体积为 )解析：25.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4 一 a曲线可化为 )解析：26.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2 一 a 因为a0，所以 b0，抛物线与 z 轴的两个交点为 0， ，所以 )解析：27.设直线 y=bx 与曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
