1、考研数学三（微积分）模拟试卷 202 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 x dt 0 t tln(1+u 2 )du，g(x)= 0 sinx2 (1cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小3.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x
2、 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导4.设函数 f(x)满足关系 f(x)+f 2 (x)=x，且 f(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 f(x)连续，x(0)=0，f(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx1=0 确定，求 dy
3、x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.求 （分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.设 （分数：2.00）_设 f(x)在(1，1)内二阶连续可导，且 f(x)0证明：（分数：4.00）(1).对(1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)E(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_1
4、4.证明：当 x0 时，(x 2 1)lnx(x1) 2 （分数：2.00）_15.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_16.设 f(x)连续，且 f(x)=2 0 x f(xt)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： ftx 1 +(1t)x 2 tf(x 1 )+(1t)f(x 2 )
5、证明： （分数：2.00）_19.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 =2402p 1 ，q 2 =10005p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 )，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?（分数：2.00）_20.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_21.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 f(x)在区间a，b
6、上满足 af(x)b，且有f(x)q1，令 u n =f(u n1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）_设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy+y=e x 的满足 （分数：4.00）(1).求 F(x)关于 x 的幂级数；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_26.设函数 f
7、(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f(x)+3 0 x f(t)dt+2x 0 1 f(tx)dt+e x =0，求f(x)（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 202 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 x dt 0 t tln(1+u 2 )du，g(x)= 0 sinx2 (1cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.低阶无穷小 B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但
8、非等价的无穷小解析：解析： 得 m=6 且 g(x) 3.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导 解析：解析：令4.设函数 f(x)满足关系 f(x)+f 2 (x)=x，且 f(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 y=
9、f(x)的拐点解析：解析：由 f(0)=0 得 f(0)=0，f(x)=12f(x)f(x)，f(0)=10，由极限保号性，存在0，当 0x 时，f(x)0，再由 f(0)=0，得二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 f(x)连续，x(0)=0，f(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 0 x lncos(xt)dt= 0 x lncos(xt)d(xt)=一 x 0 lncosudu= 0 x lncosudu， 6.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx1=0 确定，求 dy x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_
10、 （正确答案：正确答案：2dx）解析：解析：当 x=0 时，y=1，将 ye xy +xcosx1=0 两边对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入上式得 7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnx+C）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.求 （分数：
11、2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x=0，1，2，及 x=1 当 x=0 时， 则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x=1 时 ， 则 x=1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 x=k(k=2，3，)时， 则 x=k(k=2，3，)为函数 f(x)的第二类间断点 当 x=1 时，因为 )解析：13.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ln(1+x)(ax+bx 2 )=x +o(x 2 )(ax+bx 2 ) =(1a)x(b+ )x 2 +o(x 2 ) 由 得 0 x2 e t2 dtx 2 ， 于是 )解析：设 f(x)
12、在(1，1)内二阶连续可导，且 f(x)0证明：（分数：4.00）(1).对(1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)E(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意 x(1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf(x)x，其中0(x)1 因为 f(x)C(1，1)且 f(x)0，所以 f(x)在(1，1)内保号，不妨设 f(x)0，则 f(x)在(1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ x 2 ，其中
13、 介于 0 与 x 之间，而f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有 令 x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得 )解析：14.证明：当 x0 时，(x 2 1)lnx(x1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x 2 1)lnx(x1) 2 ，(1)=0 (x)=2x lnxx+2 (1)=0(x)=21nx+1+ (1)=20 故 x=1 为 (x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值 点，而最小值为 (1)=2v0，故 (x)0(x0) 由 )解析：15.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0
14、)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Yf(x)=f(x)(Xx)， 令 Y=0 得 由泰勒公式得 f(u)= f ( 1 )u 2 其中 1 介于 0 与 u 之间， f(x)= f ( 2 )x 2 其中 2 介于 0 与 x 之间， 于是 )解析：16.设 f(x)连续，且 f(x)=2 0 x f(xt)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(xt)dt )解析：17.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(
15、正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令 根据积分中值定理， a b f(x)dx=f()，其中 a，b 由积分基本定理，f(c)=f()+ c f(x)dx，取绝对值得 f(c)f()+ c f(x)dxf()+ a b f(x)dx，即 )解析：18.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： ftx 1 +(1t)x 2 tf(x 1 )+(1t)f(x 2 )证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a b f(x)dx (ba) 0 1 fat+(1t)bdt(ba)f(a) 0 1 tdt+f
16、(b) 0 1 (1t)dt= 所以 )解析：19.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 =2402p 1 ，q 2 =10005p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 )，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：p 1 =1205q 1 ，p 2 =20020q 2 ，收入函数为 R=p 1 q 1 +p 2 q 2 ，总利润函数为 L=RC=(1205q 1 )q 1 +(20020q 2 )q 2 35+
17、40(q 1 +q 2 )， 由 )解析：20.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 F(t)= 0 2 d 0 t rf(r 2 )dr=2 0 t rf(r 2 )dr= 0 t2 f(u)du， 得 F(t)=2tf(t 2 )，F(0)=0， )解析：21.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为积分区域关于直线 y=x 对称， )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1) n a n 不一定收敛，如 发散； 不一定收敛，
18、如 不一定收敛，如 一定收敛由 )解析：23.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f(x)q1，令 u n =f(u n1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由u n+1 u n =f(u n )f(u n1 )=f( 1 ) u n u n1 qu n u n1 q 2 u n1 u n2 q n u 1 u 0 且 )解析：设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy+y=e x 的满足 （分数：4.00）(1).求 F(x)关于 x 的幂级数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xy+y=e
19、 x 得 解得 因为 所以 C=1，于是 )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(1)=0，f (1)=2，令 或 rf(r)+f(r)=0， 解得 rf(r)=C 1 ，由 f(1)=2 得 C 1 =2，于是 )解析：25.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对曲线 L 1 ，由题意得 解得 y
20、=x(2x+C 1 )， 因为曲线 L 1 过点(1，1)，所以 C 1 =1，故 L 1 ：y=2x 2 x 对曲线 L 2 ，由题意得 因为曲线 L 2 过点(1，1)，所以 C 1 =1，故 由 得两条曲线的交点为 及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为 )解析：26.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f(x)+3 0 x f(t)dt+2x 0 1 f(tx)dt+e x =0，求f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x 0 1 f(tx)dt= 0 x f(u)du，所以 f(x)+3 0 x f(t)dt+2x 0 1 f(tx)dt+e x =0 可化为 f(x)+3 0 x f(t)dt+2 0 x f(t)dt+e x =0，两边对 x 求导得 f(x)+3f(x)+2f(x)=e x ，由 2 +3+2=0 得 1 =1， 2 =2，则方程 f(x)+3f(x)+2f(x)=0 的通解为 C 1 e x +C 2 e 2x 令 f(x)+3f(x)+2f(x)=e x 的一个特解为 y 0 =axe x ，代入得a=1，则原方程的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x +xe x 由 f(0)=1，f(0)=1 得 C 1 =0，C 2 =1，故原方程的解为 f(x)=e 2x +xe x )解析：
