1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 104 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 1 ），B=（ 3 ， 1 ， 2 ， 2 ），且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=（ ）（分数：2.00）A.9B.6C.3D.13.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且（A+B） 2 =E，则（E+BA 1 ） 1 =（ ）（分数：2.00）A.（A+B）BB.E+AB 1C.A（A
2、+B）D.（A+B）A4.已知 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.1 或 35.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r（A）=rn，那么在 A 的 n 个行向量中（ ）（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示6.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 一 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 。则 r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ）=（
3、 ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 一 2 ， 1 + 2 一 2 3 ， （分数：2.00）A.4B.3C.2D.18.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是（ ）（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 （ 1 + 2 ）+ B.k 1 1 +k 2 （ 1 2 ）+ C.k 1 1 +k 2 （ 1 + 2 ）+ D.k 1 1 +k 2 （ 1
4、一 2 ）+ 9.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是（ ）（分数：2.00）A. 1 |A| nB. 1 |A|C.|A|D.A|A| n10.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA； A 2 B 2 ； A 2 B T ； A 1 B 1 。 正确的个数为（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.411.下列矩阵中，正定矩阵是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 （分数：2.00）填空项 1
5、:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.与 1 =（1，2，3，一 1） T ， 2 =（0，1，1，2） T ， 3 =（2，1，3，0） T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r（A * ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.已知 =12 是 （分数：2.00）填空项 1:_18.设矩阵 A 与 B= （分数：2.00）填空项 1:_19.已知正、负惯性指数均为 1 的二次型
6、f=x T Ax 通过合同变换 x=Py 化为 f=y T By，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.计算 D 2n = （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，证明：（A * ） T =（A T ） * 。（分数：2.00）_24.已知 r（ 1 ， 2 ， 3 ）=2，r（ 2 ， 3 ， 4 ）=3，证明： （） 1 能由 2 ， 3 线性表示； （） 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性
7、表示。（分数：2.00）_25.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_26.已知三阶矩阵 A 的第一行是（a，b，c），a，b，c 不全为零，矩阵 （分数：2.00）_27.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_28.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 。（分数：2.00）_29.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =一 1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为p 1 =（1，2，2） T ，p 2 =（2，1，一 2）
8、T ，求 A。（分数：2.00）_30.在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n （x n +y n =1）。 （）求关系式 中的矩阵 A； （）设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_31.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x T Ax 在正交变换 x=Q），下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第三列为 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 104 答案解析(总分：62.00，
9、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 1 ），B=（ 3 ， 1 ， 2 ， 2 ），且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=（ ）（分数：2.00）A.9B.6 C.3D.1解析：解析：由矩阵加法公式，得 A+B=（ 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 ），结合行列式的性质有 |A+B|=| 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =|2（
10、1 + 2 + 3 ）， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =2| 1 + 2 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =2| 1 + 2 + 3 ，一 3 ，一 1 ， 1 + 2 | =2| 1 ，一 3 ，一 1 ， 1 + 2 | =2| 2 ，一 3 ，一 1 ， 1 + 2 | =2| 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 | =2（|A|+|B|）=6。3.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且（A+B） 2 =E，则（E+BA 1 ） 1 =（ ）（分数：2.00）A.（A+B）BB.E+AB 1C.A（A+B） D.（A+B）A解析：解析：因为
11、（E+BA 1 ） 1 =（AA 1 +BA 1 ） 1 =（A+B）A 1 1 =（A 1 ） 1 （A+B） 1 =A（A+B）， 所以应选 C。 注意，由（A+B） 2 =E，即（A+B）（A+B）=E，按可逆矩阵的定义知（A+B） 1 =（A+B）。4.已知 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.1 或 3 解析：解析：伴随矩阵秩的公式为 可见 r（A * ） r（A）=3。 对矩阵 A 作初等变换，有 5.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r（A）=rn，那么在 A 的 n 个行向量中（ ）（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r
12、个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示解析：解析：由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A。6.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 一 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 。则 r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ）=（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：将表示关系合并成矩阵形式有 （ 1 ， 2
13、， 3 ， 4 ， 5 ）=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ） （ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）C。 因四个四维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，故| 1 ， 2 ， 3 ， 4 |0，即 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）是可逆矩阵。A左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r（C）=r（AC）=r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ），而 7.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 一 2 ， 1 + 2 一 2 3 ， （分数：2.00）A.4 B.3C.2D.1解析：解析：由 A i =b（i=1，2，3）有 A（
14、 1 一 2 ）=A 1 A 2 =b 一 b=0， A（ 1 + 2 2 3 ）=A 1 +A 2 2A 3 =b+b 一 2b=0， A（ 1 3 2 +2 3 ）=A 1 3A 2 +2A 3 =b 一 3b+2b=0， 即 1 一 2 ， 1 + 2 一 2 3 ， 8.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是（ ）（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 （ 1 + 2 ）+ B.k 1 1 +k 2 （ 1 2 ）+ C.k 1 1 +k 2
15、 （ 1 + 2 ）+ D.k 1 1 +k 2 （ 1 一 2 ）+ 解析：解析：对于 A、C 选项，因为 所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确。 对于选项 D，虽然 1 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D 也不正确，所以应选 B。 事实上，对于选项 B，由于 1 ， 1 一 2 与 1 ， 2 等价（显然它们能够互相线性表示），故 1 ， 1 一 2 也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由 可知 9.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是（ ）（分数：2.00）
16、A. 1 |A| nB. 1 |A| C.|A|D.A|A| n解析：解析：设向量 x（x0）是与 对应的特征向量，则 Ax=x。两边左乘 A * ，结合 A * A=|A|E 得 A * Ax=A * （x）， 即 |A|x=A * x， 从而 A * x= 可见 A * 有特征值 10.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA； A 2 B 2 ； A 2 B T ； A 1 B 1 。 正确的个数为（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：因 AB，可知存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B，于是 P 1 A 2 P=B 2 ，P T
17、 A T （P T ） 1 =B T ，P 1 A 1 P=B 1 ， 故 A 2 B 2 ，A T B T ，A 1 B 1 。 又由于 A 可逆，可知 A 1 （AB）A=BA，即 ABBA。故正确的命题有四个，所以选 D。11.下列矩阵中，正定矩阵是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：二次型正定的必要条件是：a ij 0。 在选项 D 中，由于 a 33 =0，易知 f（0，0，1）=0，与 x0，x T Ax0 相矛盾。 因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，二阶主子式 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.已知 A，B，C
18、都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据拉普拉斯展开式 D=（一 1） 33 |A| 13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 B+E=（E+A） 1 EA）+E =（E+A） 1 （EA）+（E+A） 1 （E+A）=（E+A） 1 （EA）+（E+A） =2（E+A） 1 ， 可得 14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：依矩阵乘法直接计算得 15.与 1 =（1，2，3，一 1） T ， 2 =（0，1，1，2） T ， 3 =
19、（2，1，3，0） T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 =（x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ） T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，则 对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是（一 1，一 1，1，0） T ，将这个向量单位化得 16.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r（A * ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无
20、关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得 nr（A）2，即 r（A）3。又因为 A 是五阶矩阵，所以|A|的四阶子式一定全部为零，则代数余子式 A ij 恒为零，即 A * =D，所以 r（A * ）=0。17.已知 =12 是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为 =12 是 A 的特征值，因此|12EA|=0，即18.设矩阵 A 与 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：矩阵 A 与 B 相似，则 A 一 2E 与 B 一 2E 相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以 r（A）+r（A 一
21、 2E）=r（B）+r（B 一 2E）=2+1=3。19.已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=x T Ax 通过合同变换 x=Py 化为 f=y T By，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型 f=x T Ax 的正、负惯性指数均为1 可知，矩阵 B 的秩 r（B）=2，从而有|B|=一（a 一 1） 2 （a+2）=0。 若 a=1，则 r（B）=1，不合题意，舍去。 若 a=一 2，则由 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（分数：2.00）_解析：21.计算 D 2n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该行列式只有两条对角线上元素不为 0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。将以上两个行列式分别按最后一行展开，得 =a n d n D 2n2 b n c n D 2n2 。 由此得递推公式 D 2n =（a n d n 一 b n c n ）D 2n2 。 按递推公式逐层代入得 D 2n = （a i d i 一 b i c i ）D 2 ， 而 D 2 = =a 1 d 1 一 b 1 c 1 ， 因此原行列式 D 2n = )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把矩阵 A
23、作如下拆分： A n =（AE+B） n =C n 0 （AE） n B 0 +C n 1 （AE） n1 B+C n 2 （AE） n2 B 2 )解析：23.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，证明：（A * ） T =（A T ） * 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 可逆，所以|A|=|A T |，且 AA 1 =E。 在 AA 1 =E 两边同时取转置可得（A 1 ） T A T =E，即（A T ） 1 =（A 1 ） T ，所以 （A * ） T =（|A|A 1 ） T =|A|（A 1 ） T =|A T |（A T ） 1 =（A T
24、 ） * 。)解析：24.已知 r（ 1 ， 2 ， 3 ）=2，r（ 2 ， 3 ， 4 ）=3，证明： （） 1 能由 2 ， 3 线性表示； （） 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）r（ 1 ， 2 ， 3 ）=23 1 ， 2 ， 3 线性相关； 假设 1 不能由 2 ， 3 线性表示，则 2 ， 3 线性相关。 而由 r（ 2 ， 3 ， 4 ）=3 2 ， 3 ， 4 线性无关 2 ， 3 线性无关，与假设矛盾。 综上所述， 1 必能由 2 ， 3 线性表示。 （）由（）的结论， 1 可由 2 ， 3 线性表示，则若 4 能由
25、1 ， 2 ， 3 线性表示 )解析：25.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 1 ， 和 A 2 ， 分别表示方程组（1）与（2）的系数矩阵和增广矩阵，则 =A 2 T 。已知方 程组（1）有解，故 r（A 1 ）= 。 又由于（b 1 ，b 2 ，b m ，1）不能由（a 11 ，a 21 ，a m1 ，0），（a 12 ，a 22 ，a m2 ，0），（a 1n ，a 2n ，a mn ，0）线性表示，所以 )解析：26.已知三阶矩阵 A 的第一行是（a，b，c），a，b，c 不全为零，矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB
26、=O 知，B 的每一列均是 Ax=0 的解，且 r（A）+r（B）3。 （1）若 k9，则 r（B）=2，于是 r（A）1，显然，r（A）1，故 r（A）=1。可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3 一 r（A）=2，矩阵 B 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为：x=k 1 （1，2，3） T +k 2 （3，6，k） T ，k 1 ，k 2 为任意常数。 （2）若 k=9，则 r（B）=1，从而1r（A）2。 若 r（A）=2，则 Ax=0 的通解为：x=k 1 （1，2，3） T ，k 1 为任意常数。 若r（A）=1，则 Ax=0 的同解方程
27、组为：ax 1 +bx 2 +cx 3 =0，不妨设 a0，则其通解为 x=k 1 。（ ，1，0） T +k 2 （ )解析：27.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组（2）中“方程个数未知数个数”，所以方程组（2）必有非零解。于是方程组（1）必有非零解，则（1）的系数行列式为 0，即 对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换，有 则方程组（1）的通解是 k（一 1，一 1，1） T 。 因为（一 1，一 1，1） T 是方程组（2）的解，所以 =1，c=2 或 b=0，c=1。 当 b=1，c=2 时，方程组（2）为 其通解是 k（一1，一 1，1） T ，
28、所以方程组（1）与（2）同解。 当 b=0，c=1 时，方程组（2）为 )解析：28.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 + 2 + 3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则 A（ 1 + 2 + 3 ）=A（ 1 + 2 + 3 ）。 又 A（ 1 + 2 + 3 ）=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 2 + 3 3 3 ，于是有 （A 1） 1 +（ 2 ） 2 +（ 3 ） 3 =0。
29、因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 一 1 =0， 一 2 =0， 3 =0，即 1 = 2 = 3 。)解析：29.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =一 1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为p 1 =（1，2，2） T ，p 2 =（2，1，一 2） T ，求 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为实对称矩阵，故必存在正交矩阵 Q=（q 1 ，q 2 ，q 3 ），使 Q T AQ=Q 1 AQ= 将对应于特征值 1 ， 2 的特征向量 p 1 = 单位化，得 由正交矩阵的性质，q 3 可取为 的单位解向量，则由 )解析：30.在某国，
30、每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n （x n +y n =1）。 （）求关系式 中的矩阵 A； （）设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由题意，人口迁移的规律不变 x n+1 =x n +qy n 一 px n =（1p）x n +gy n ， y n+1 =y n +px n 一 qy n =px n +（1 一 q）y n ， 用矩阵表示为 得 A 的特征值为 1 =1， 2 =r，其中
31、r=1 一 Pq。 当 1 =1 时，解方程（AE）x=0，得特征向量 p 1 = 当 2 =r 时，解方程（A 一 rE）x=0，得特征向量 p 2 = 令 P=（p 1 ，p 2 ）= 则 P 1 AP= =A，A=PP 1 ，A n =PP 1 。 于是 )解析：31.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x T Ax 在正交变换 x=Q），下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第三列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由题意知 Q T AQ=，其中 = 则 A=QQ T ，设 Q 的其他任一列向量为（x 1 ，x 2 ，x 3 ） T 。因为 Q 为正交矩阵，所以 （x 1 ，x 2 ，x 3 ） 即 x 1 +x 3 =0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 1 =（一 1，0，1） T ， 2 =（0，1，0） T 。把 1 单位化得 1 = （一 1，0，1） T ，所以 )解析：
