1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 118 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A 1 ， 2 ， 3 ， 1 m，B 1 ， 2 ， 2 ， 3 n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 为( )（分数：2.00）A.mnB.mnC.(mn)D.nm3.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.AOB.AEC.若 A 不可逆，则 AOD.若 A 可逆，则 AE4.
2、若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 线性相关5.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.A T A 可逆的充分必要条件是 r(A)n6.设有方程组 AX0 与 BX0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若
3、 AX0 的解都是BX0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX0 的解都是 BX0 的解(3)若 AX0 与 BX0 同解，则 r(A)r(B)(4)若 r(A)r(B)，则 AX0 与 BX0 同解以上命题正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)7.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 E，则1 一定是矩阵 A 的特征值B.若 r(EA)n，则1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的
4、特征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值8.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX0，则( )（分数：2.00）A.A0B.A0C.A0D.以上都不对二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EAE2AE3A0，则B 1 2E 1（分数：2.00）填空项 1:_10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 为非零向量，A （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 (a,a,1) T 是方程组 AX0 的解， 2 (a，1，1a) T 是方程组(AE)X0 的解，则 a 1（分数：
5、2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.设 D （分数：2.00）_15.设 ， 是 n 维非零列向量，A T T 证明：r(A)2（分数：2.00）_16.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * A n2 A（分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， t 为 AX0 的一个基础解系， 不是 AX0 的解，证明：， 1 ， 2 ， t 线性无关（分数：2.00）_18.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.设 A，B，C，D 都是 n 阶
6、矩阵，r(CA+DB)n (1)证明 r （分数：2.00）_21.讨论方程组 （分数：2.00）_22.设 A （分数：2.00）_23.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 1 2 2 2 3 ，A 2 2 1 2 2 3 ，A 3 2 1 2 2 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A * 2E（分数：2.00）_24.设 A，B 为三阶矩阵，且 ABAB，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)ABBA； (2)存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP，P 1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_25.设 A
7、（分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.三元二次型 fX T AX 经过正交变换化为标准形 fy 1 2 y 2 2 2y 3 3 ，且 A * 2E 的非零特 征值对应的特征向量为 1 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 118 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A 1 ， 2 ， 3 ， 1 m，B 1 ， 2 ， 2 ， 3 n，则 3 ， 2 ， 1
8、 ， 1 2 为( )（分数：2.00）A.mnB.mnC.(mn)D.nm 解析：解析： 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 3 ， 2 ， 1 ， 1 3 ， 2 ， 1 ， 2 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 3 ， 2 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 2 ， 3 nm， 选(D)3.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.AOB.AEC.若 A 不可逆，则 AOD.若 A 可逆，则 AE 解析：解析：因为 A 2 A，所以 A(EA)0，由矩阵秩的性质得，r(A)r(EA)n，若 A 可 逆，则r(A)n，所以 r(EA)0，A
9、E，选(D)4.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关 C. 1 ， 2 ， 3 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 线性相关解析：解析：若 1 ， 2 ， 3 线性无关，因为 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所 以 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无 关，矛盾，故 1 ， 2 ， 3 线性相关，选(B)5.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组一定线性无关B
10、.非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.A T A 可逆的充分必要条件是 r(A)n 解析：解析：若 A T A 可逆，则 r(A T A)n，因为 r(A T A)r(A)，所以 r(A)n；反之，若 r(A)n， 因为 r(A T A)r(A)，所以 A T A 可逆，选(D)6.设有方程组 AX0 与 BX0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX0 的解都是BX0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX0 的解都是 BX0 的解(3)若 AX0 与 BX0 同解，则 r(A)r(B)(4)若 r(A)r(B
11、)，则 AX0 与 BX0 同解以上命题正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(3) C.(2)(4)D.(3)(4)解析：解析：若方程组 AX0 的解都是方程组 BX0 的解，则 nr(A)nr(B)，从而 r(A) r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不 对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选(B)7.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 E，则1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(EA)n，则1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩
12、阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值解析：解析：若 r(EA)n，则EA0，于是1 为 A 的特征值； 若 A 的每行元素之和为1，则A 8.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX0，则( )（分数：2.00）A.A0 B.A0C.A0D.以上都不对解析：解析：设二次型 fX T AX 1 y 1 2 2 y 2 2 3 y 3 2 ，其中 Q 为正交矩阵取Y 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EAE2AE3A0，则B 1 2E 1（分数：2.00）填空
13、项 1:_ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：因为EAE2AE3A0，所以 A 的三个特征值为 ，1，又 AB，所 以 B 的特征值为 10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ，因为 E ij 1 E ij ，所以 E ij 2 E， 11.设 为非零向量，A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(3，1，2) T）解析：解析：AX0 有非零解，所以A0，解得 a3，于是 A 12.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 (a,a,1) T 是方程组 AX0 的解， 2 (a，1，1a) T 是方程组(AE)X0 的解，则 a
14、1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交， 因为 AX0 及(AE)X0 有非零解，所以 1 0， 2 1 为矩阵 A 的特征值， 1 (a， a，1) T ， 2 (a，1，1a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1 T 2 a 2 a1a 0，解得 a1三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.设 D （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： A(1) n1 n！， 得 A * AA 1 (1) n1 n!A 1
15、 ，所以 A k1 A k2 A kn )解析：15.设 ， 是 n 维非零列向量，A T T 证明：r(A)2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)r( T T )r( T )r( T )，而 r( T )r()1，r( T )r()1，所 以 r(A)r( T )r( T )2)解析：16.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * A n2 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) * A * A * EA n1 E，当 r(A)n 时，r(A * )n，A * AA 1 ，则 (A * ) * A * (A * ) * AA 1 A n1 E，故(
16、A * ) * A n2 A当r(A)n1 时，A 0，r(A * )1，r(A * ) * 0，即(A * ) * O，原式显然成立当 r(A)n1 时，A 0，r(A * )0，(A * ) * O，原式也成立)解析：17.设 1 ， 2 ， t 为 AX0 的一个基础解系， 不是 AX0 的解，证明：， 1 ， 2 ， t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 ， 2 ， t 线性无关 ， 1 ， 2 ， n 线性无关， 令 kk 1 ( 1 )k 2 ( 2 )k t ( t )0， 即(kk 1 k t )k 1 1 k t t 0， ， 1 ， 2 ， t 线性
17、无关 )解析：18.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D a(n1)b(ab) n1 (1)当 ab，a(1n)b 时，方程组只有零解； (2)当 ab 时，方程组的同解方程组为 x 1 x 2 x n 0，其通解为 Xk 1 (1，1，0，0) T k 2 (1，0，1，0) T k n1 (1，0，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k n1 为任意常数)； (3)令 A )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 1 ()的基础解系为 1 ， A 2 ()的基础解系为 1 )解析：20.设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+D
18、B)n (1)证明 r （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 nr(CADB)r ； (2)因为 r n，所以方程组 )解析：21.讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 a1，b2 时，因为 D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得 (2)当 a1，b2 时， 当 b1 时，方程组无解 当 b1 时， 方程组的通解为 Xk (k 为任意常数) (3)当 a1，b2 时， 方程组的通解为 Xk (k 为任意常数) 当 a1 时，显然 r(A)2r )解析：22.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以
19、2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2EA)1， 而 2EA ，所以 x2，y2 由EA (2) 2 (6)0 得 1 2 2， 3 6 由(2EA)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为 1 ， 由(6EA)X0 得 6 对应的线性无关的特征向量为 3 ， )解析：23.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 1 2 2 2 3 ，A 2 2 1 2 2 3 ，A 3 2 1 2 2 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A * 2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) 因为
20、 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 ( 1 ， 2 ， 3 )可逆，故 A )解析：24.设 A，B 为三阶矩阵，且 ABAB，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)ABBA； (2)存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP，P 1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 ABAB；得 ABABEE，(EA)(EB)E， 即 EB 与 EA 互为逆矩阵，于是(EB)(EA)E(EA)(EB)， 故 ABBA (2)因为 A 有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，所以 A 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征 向量为 1 ， 2
21、， 3 ，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， BA( 1 ， 2 ， 3 )B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， AB( 1 ， 2 ， 3 )B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i B i ，i1，2，3 若 B i 0，则 B i 是A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 B i i i ； 若 B i 0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P( 1 ， 2 ，
22、 3 )，则 P 1 AP，P 1 BP 同为对角阵)解析：25.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)tr(B)，AB，即 解得 a1，b0，则 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1 1， 2 0， 3 6 当 1 时，由(EA)X0，得 1 ； 当 0 时，由(0EA)X0，得 2 ； 当 6 时，由(6EA)X0，得 3 再令 P( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EA (a1)(a)(a1)0，得矩阵 A 的特征值为 1 1a， 2 a， 3 a (1)当 1aa，1a1a，a1a，即
23、 a0 且 a 时，因为矩阵 A 有三个不 同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1 1a 时，由(1a)EAX0 得 1 ； 2 a 时，由(aEA)X0 得 2 ； 3 1a 时，由(1a)EAX0 得 3 (2)当 a0 时， 1 3 1， 因为 r(EA)2，所以方程组(EA)X0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量， 故矩阵 A 不可以对角化 (3)当 a 时， 1 2 ， 因为 r( EA)2，所以方程组( )解析：27.三元二次型 fX T AX 经过正交变换化为标准形 fy 1 2 y 2 2 2y 3 3 ，且 A * 2E 的非零特 征值对应的特征向量为 1 （分数：2.
24、00）_正确答案：(正确答案：因为 fX T AX 经过正交变换后的标准形为 fy 1 2 y 2 2 2yy 3 2 ，所以矩阵 A 的特征值 为 1 2 1， 3 2由A 2 2 3 2 得 A * 的特征值为 1 2 2， 3 1， 从而 A * 2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A * 2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的 属于特征值 3 2 的特征向量 令 A 的属于特征值 1 2 1 的特征向量为 因为 A 为实对称矩阵，所以有 1 T 0，即 x 1 x 3 0 故矩阵 A 的属于 1 2 1 的特征向量为 令 P( 2 ， 3 ， 1 ) ，得 ，所求的二次型为 fX T AX x 1 2 x 2 2 )解析：
