1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 120 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，AB，A 1 B 1 皆为可逆矩阵，则(A 1 B 1 ) 1 等于( )（分数：2.00）A.ABB.A 1 B 1C.A(AB) 1 BD.(AB) 13.设 （分数：2.00）A.m3，n2B.m3，n5C.m2，n3D.m2，n24.设 A( 1 ， 2 ， m )，其中 1 ， 2 ， m 是 n 维列向量，若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k
2、 m ，皆有 k 1 1 k 2 2 k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.mnC.存在 m 阶可逆阵 P，使得 APD.若 ABO，则 BO5.设 1 ， 2 ， M 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )r( 1 ， 2 ， s )r，则( )（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s )rC.若向量组 1 ， 1 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价6.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AXb 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：
3、2.00）A.r(A)mB.r(A)nC.A 为可逆矩阵D.r(A)n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示7.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 A 为 n 阶矩阵，且Aa0，则(kA) * 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A （分数：2.00）填空项 1:_10.设三阶矩阵 A 的特征
4、值为 1 1， 2 ， 3 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 A(a ij ) nm 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_14.设 AE T ，其中 为 n 维非零列向量证明： (1)A 2 A 的充分必要条件是 为单位向量；(2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_15.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * ) （分数：2.00）_16.设向
5、量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ； () 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组(I)与向量组()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 的秩为 4（分数：2.00）_17.设 A 为 n 阶矩阵，若 A k1 0，而 A k 0证明：向量组 ，A，A k1 线性无关（分数：2.00）_18.a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_19.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 （分数：2.00）_20.证明：r(AB)minr(A)，r(B)（分数：2.00）_21.当 a,b 取何值时，方程组 （分数：2
6、.00）_22.设 A （分数：2.00）_23.设 A 的一个特征值为 1 2，其对应的特征向量为 1 （分数：2.00）_24.设 A （分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 2 ，A 2 3 ，A n1 n ，A n 0 (1)证明： 1 ， 2 ， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_26.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_27.设齐次线性方程组 ，有非零解，且 A 为正定矩阵，求 a，并求当X （分数：2.00）_考
7、研数学三（线性代数）模拟试卷 120 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，AB，A 1 B 1 皆为可逆矩阵，则(A 1 B 1 ) 1 等于( )（分数：2.00）A.ABB.A 1 B 1C.A(AB) 1 B D.(AB) 1解析：解析：A(AB) 1 B(A 1 B 1 )(AB)A 1 1 (BA 1 E)(BA 1 E) 1 (BA 1 E) E，选(C)3.设 （分数：2.00）A.m3，n2B.m3，n5 C.m2，n3
8、D.m2，n2解析：解析：P 1 m AP 2 n 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P 1 4.设 A( 1 ， 2 ， m )，其中 1 ， 2 ， m 是 n 维列向量，若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 k 2 2 k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.mnC.存在 m 阶可逆阵 P，使得 APD.若 ABO，则 BO 解析：解析：因为对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，有 k 1 1 k 2 2 k m m 0，所以向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，即方程组 AX0 只有零解，故若 AB
9、O，则 BO，选(D)5.设 1 ， 2 ， M 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )r( 1 ， 2 ， s )r，则( )（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s )rC.若向量组 1 ， 1 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价 D.两向量组构成的矩阵等价解析：解析：不妨设向量组 1 ， 2 ， m 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，向量组 1 ， 2 ， s 的 极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， s 线性表示，
10、则 1 ， 2 ， r ， 也可由 1 ， 2 ， r ，线性表示，若 1 ， 2 ， r ，不可由 1 ， 2 ， r ，线性表示，则 1 ， 2 ， s 也不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)6.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AXb 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)mB.r(A)nC.A 为可逆矩阵D.r(A)n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析：解析：方程组 AXb 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AXb有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)n，选(D)7.设
11、 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等 解析：解析：(A)不对，如 A ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)1； (B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化； (C)不对，如 A ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为 ； 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP ，于是 r(A) 二、填空题(总题数：
12、4，分数：8.00)8.设 A 为 n 阶矩阵，且Aa0，则(kA) * 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k n(n1) a n1 ）解析：解析：因为(kA) * k n1 A * ，且A * A n1 ，所以 (kA) * k n1 A * k n(n1) A n1 k n(n1) a n1 9.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：BAO10.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1， 2 ， 3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P 1 (A 1 2E)P 1 A 1 P2E， 而 P 1
13、 A 1 P ，所以 P 1 (A 1 2E)P 11.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由EA0 得 A 的特征值为 1 2， 2 3 6因为 A 有三个线性无关的特 征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)1，解得 a0三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 A(a ij ) nm 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为
14、零，设 A 的第 k 行是非零行，则 Aa k1 A k1 a k2 A k2 a kn Aa kn a k1 2 a k2 2 a kn 2 0)解析：14.设 AE T ，其中 为 n 维非零列向量证明： (1)A 2 A 的充分必要条件是 为单位向量；(2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 T k，则 A 2 (E T )(E T )E2 T k T ，因为 为非零 向量，所以 T O，于是 A 2 A 的充分必要条件是 k1，而 T 2 ，所以 A 2 A 的充要条件是 为单位向量 (2)当 是单位向量时，由 A 2 A 得 r(A)
15、r(EA)n，因为 EA T O，所以 r(EA)1，于是 r(A)n1n，故 A 是不可逆矩阵)解析：15.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * A * AAE 当 r(A)n 时，A0，因为A * A n1 ，所以A * 0，从而 r(A * )n； 当 r(A)n1 时，由于 A 至少有一个 n1 阶子式不为零，所以存在一个 M ij 0，进而 A ij 0，于是 A * O，故 r(A * )1，又因为A0，所以 AA * AEO，根据矩 阵秩的性质有 r(A)r(A * )n，而 r(A)n1，于是得 r(A * )1，故
16、r(A * )1； 当 r(A)n1 时，由于 A 的所有 n1 阶子式都为零，所以 A * O，故 r(A * )0)解析：16.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ； () 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组(I)与向量组()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 的秩为 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组(I)的秩为 3，所以 1 ， 2 ， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示 因为向量组()的秩为 4，所以 1 ， 2 ， 3
17、 ， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，故向量 5 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 线性无关，于 是向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 的秩为 4)解析：17.设 A 为 n 阶矩阵，若 A k1 0，而 A k 0证明：向量组 ，A，A k1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 l 0 l 1 Al k1 A k1 0(*)(*)两边同时左乘 A k1 得 l 0 A k1 0，因 为 A k1 0，所以 l 0 0；(*)两边同时左乘 A k2 得 l 1 A k1 0，因为 A k1
18、 0，所以 l 1 0，依次类推可得 l 2 l k1 0，所以 ，A，A k1 线性无关)解析：18.a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)s1 时，r(A) 4，唯一解为 x 1 ，x 4 0； (2)a1，b1 时，r(A) )解析：19.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A ， 方程组(I)可写为 AXb，方程组()、()可分别写为 A T Y0 及 若方程组(I)有解，则 r(A)r(A B)，从而 r(A T )r 又因为()的解一定为 ()的解，所以()与()同解； 反之，若()与(
19、)同解，则 r(A T )r ，从而 r(A)r(A )解析：20.证明：r(AB)minr(A)，r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 r(B)r，BX0 的基础解系含有 nr 个线性无关的解向量， 因为 BX0 的解一定是 ABX0 的解，所以 ABX0 的基础解系所含的线性无关的解 向量的个数不少于 BX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 nr(AB)nr(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB) T r(AB)r(B T A * )r(A * )r(A)， 所以 r(AB)minr(A)，r(B)解析：21.当 a,b 取何值时，方程组 （分数：2.0
20、0）_正确答案：(正确答案： (1)当 a1 且 a6 时，方程组有唯一解； (2)当 a6 时， 当a1，b36 时，方程组无解； 当 a1，b36 时，方程组有无数个解， )解析：22.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为方程组 AX 有解但不唯一，所以A0，从而 a2 或 a1 当a2 时， 23，方 程组有无穷多解； 当 a1 时， ，方程组无解，故 a2 (2)由EA(3)(3)0 得 1 0， 2 3， 3 3 由(0EA)X0 得 1 0对应的线性无关的特征向量为 1 ； 由(3EA)X0 得 2 3 对应的线性无关的特征向量为 2 由(3EA)X0 得
21、3 3 对应的线性无关的特征向量为 3 )解析：23.设 A 的一个特征值为 1 2，其对应的特征向量为 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A 1 2 1 ，得 (2)由EA 0，得 1 2 2， 3 1由(2EA)X0， 得 由(EA)X0，得 3 显然 A 可对角化，令P )解析：24.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA 0，得 1 2 1， 3 2 因为矩阵 A有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(EA)1， 即 a1，故 A 由 1时，由(EA)X0，得 1 由 2 时，由(2EA)X0，得 3 令 P( 1 ， 2 ，
22、 3 ) ，两边 n 次幂得 )解析：25.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 2 ，A 2 3 ，A n1 n ，A n 0 (1)证明： 1 ， 2 ， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 x 1 1 x 2 2 x n n 0，则 x 1 A 1 x 2 A 2 x n A n 0 x 1 2 x 2 3 x n1 n 0 x 1 A 2 x 2 A 3 x n1 A n 0 x 1 3 x 2 4 x n2 n 0 x 1 n 0 因为 n 0，所以 x 1 0，反推可得
23、 x 2 x n 0，所以 1 ， 2 ， n 线 性无关 (2)A( 1 ， 2 ， n )( 1 ， 2 ， n ) ，令 P 1 ， 2 ， n ，则 P 1 AP B，则 A与 B 相似，由EB0 )解析：26.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A，因为(P T AP) T P T A T (P T ) T P T AP，所以 P T AP 为对称矩阵，对任意 的 X0，X T (P T AP)X(PX) T A(PX)，令 PX，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵
24、，所以 T A0，即 X T (P T AP)X0，故 X T (P T AP)X 为正定二次型，于是 P T AP 为正定矩阵)解析：27.设齐次线性方程组 ，有非零解，且 A 为正定矩阵，求 a，并求当X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有非零解，所以 a(a1)(a3)0，即 a1 或 a0 或a3因为 A 是正定矩阵，所以 a ii 0(i1，2，3)，所以 a3当 a3 时，由 EA (1)(4)(10)0 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 fX T AX y 1 2 4y 2 2 10y 3 2 10(y 1 2 y 2 2 y 3 2 ) 所以当X 时，X T AX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y 1 y 2 0，y 3 )解析：
