1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 122 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则 （分数：2.00）A.24B.一 24C.48D.一 483.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2 |为( )（分数：2.00）A.0B.54C.一 2D.一 244.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.OB.一 EC.ED.E+ T 5.设 A，B 为 n 阶
2、矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆C.若 A+B 可逆，则 AB 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆6.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵B.设 A，B 可逆，则 A -1 +B -1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵7.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n，则
3、 B=OD.若 AB0，则|A|0 或|B|08.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.|A|B|B.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0D.若|A|0 则|B|09.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a
4、+1，a 一 2，a一 1，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=一 2，则行列式|A 1 一 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2A 1 |= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A 一 2B| 1（分数
5、：2.00）填空项 1:_15.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 = 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_16.设 =(1，一 1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18.设 （分数：2.00）填空项 1:_19.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设 A 是三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.00）填空项
6、 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.计算行列式 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.证明： （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).计算 D；（分数：2.00）_(2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O（分数：2.00）_28.设 AX=A+2X，其中 （分数：2.00）_29.设 （分数：2.00）_30.设四阶矩阵 B 满足
7、（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 122 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则 （分数：2.00）A.24B.一 24C.48D.一 48 解析：解析：3.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2 |为( )（分数：2.00）A.0B.54 C.一 2D.一 24解析：解析：因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值
8、 4，又|E+A|=0，所以 A 有特征值一 1，于是2E+A 2 的特征值为 18，3，于是|2E+A 2 |=54，选(B)4.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.OB.一 EC.E D.E+ T 解析：解析：由 5.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆，则 AB 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析：若 A，B 可逆，则|A|0，I |B|0，又|AB|=|A|B|，所以|AB|0，于是 AB 可逆，选(B)6.设 A，B 为 n 阶对称
9、矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A -1 +B -1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵解析：解析：由(A+B) T =A T +B T =A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1 +B -1 ) T =(A -1 ) T +(B -1 ) T =A -1 +B -1 ，得 A -1 +B -1 为对称矩阵；由(kA) T =kA T =kA，得 kA 为对称矩阵，选(A)7.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO
10、的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n，则 B=O D.若 AB0，则|A|0 或|B|0解析：解析：取 显然 AB=0，故(A)，(B)都不对，取 显然8.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.|A|B|B.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0 D.若|A|0 则|B|0解析：解析：因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t ，使得 B=P s P 1 AQ 1 Q t ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若|A|=0，即 r(
11、A)n，则 r(B)n，即|B|=0，选(C)9.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析：解析：因为 r 1 =r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选(C)二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：按行列式的定义 f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x 2 项的系数为 23）解析：11.设 A 为
12、三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一 2，a一 1，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由(a+1)+2(a 一 2)+3(a 一 1)=0 得 a=1）解析：12.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则 ）解析：13.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3
13、 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=一 2，则行列式|A 1 一 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2A 1 |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由(一 A 1 一 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2A 1 )=(A 1 A 2 ，A 3 ) 得|一 A 1 一 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2A 1 | ）解析：14.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A 一 2B| 1（
14、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 5A 一 2B=(5，5 1 ，5)一(2，2 1 ，2 2 )=(5 一 2，3 1 ，3 2 )，得 |5A 一 2|=|5 一 2，3 1 ，3 2 |=9|5 一2， 1 ， 2 | =9(5|， 1 ， 2 |一 2|， 1 ， 2 |)=63）解析：15.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 = 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 A * =|A|A -1 得 (A * )=|A * |(A * ) - =|A| n-1 (|A|A -1 ) -1 =|A
15、| n-2 A， 故 ）解析：16.设 =(1，一 1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： T =3，A 2 = T T =3 T =3A，则 ）解析：17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 A 2 =2A 得 A n =2 n-1 A，A n-1 =2 n-2 A，所以 A n 一 2A n-1 =O）解析：18.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(A+3E) -1 (A 2 一 9E)=(A+3E) -1 (A+3E)(A 一3E)=A 一 3E=
16、）解析：19.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)=A 2 +BAABB 2 的充分必要条件是 AB=BA）解析：20.设 A 是三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：21.设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 A * =|A|A -1 =4A -1 得 ）解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解
17、析：23.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 （分数：4.00）(1).计算 D；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：M 31 +M 33 +M 34 =1A 31 +0A 32 +1A 33 +(一 1)A 34 )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)|一 2B|=(一 2) 3 |B|=一 8； )解
18、析：27.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 =A，B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 AB+BA=0 或 AB=一BA，AB=-BA 两边左乘 A 得 AB=一 ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A 得 ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=0)解析：28.设 AX=A+2X，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX=A+2X 得(A 一 2E)X=A，其中 因为|A2E|=一 10，所以 X=(A 一 2E) -1 A， )解析：29.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+|A|E=A * +X 得 (AE)X=A * 一|A|E=A * 一 AA * =(EA)A * 因为|EA|=一 30，所以 EA 可逆，于是 X=一 A * ， 由|A|=6 得 X=一 6A -1 ， )解析：30.设四阶矩阵 B 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
