1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 129及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m，B= 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 为( )（分数：2.00）A.m+nB.mnC.(m+n)D.nm3.设 A为 n阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n1 A *D.k
2、n(n1) A *4.设 （分数：2.00）A.当 t=6时，r(Q)=1B.当 t=6时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1D.当 t6 时，r(Q)=25.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例B. 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组C.设 A=( 1 ， 2 ， m )，方程组 AX=0只有零解D. 1 ， 2 ， m 中向量的个数小于向量的维数6.设 A是 ms阶矩阵，B 为 sn阶矩阵，则方程组 BX=0与 ABX=0同解的充分条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=sB.rA)
3、=mC.r(B)=sD.r(B)=n7.设 A是 n阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则1 一定是矩阵 A的特征值B.若 r(E+A)n，则1 一定是矩阵 A的特征值C.若矩阵 A的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A的特征值D.若 A是正交矩阵，且 A的特征值之积小于零，则1 一定是 A的特征值二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A为三阶实对称矩阵， 1 =(a，a，1) T 是方程组 AX=0的解， 2 =(a，1，
4、1a) T 是方程组(A+E)X=0的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX的正惯性指数是 2，且 A 2 2A=0，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设 D= （分数：2.00）_15.设 A为 n阶矩阵，证明： （分数：2.00）_16.设 1 ， 2 ， n 为 n个 n维线性无关的向量，A 是 n阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 A可逆（分数：2.00）_17
5、.设向量组 1 ， 2 ， n1 为 n维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求()，()的基础解系；（分数：2.00）_(2).求()，()的公共解（分数：2.00）_18.设 A是 ms阶矩阵，B 是 sn阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0与 ABX=0是同解方程组（分数：2.00）_19.证明：r(AB)minr(A)，r(B)（分数：2.00）_20.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_设矩阵 （分数：4.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值；
6、（分数：2.00）_(2).判断 A可否对角化（分数：2.00）_设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=AB，若 1 ， 2 ， 3 为 A的三个不同的特征值，证明：（分数：4.00）(1).AB=BA；（分数：2.00）_(2).存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP，P 1 BP同时为对角矩阵（分数：2.00）_21.设 P为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_22.设 A为实对称矩阵，且 A的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 129答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14
7、.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m，B= 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 为( )（分数：2.00）A.m+nB.mnC.(m+n)D.nm 解析：解析： 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 = 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 3 ， 2 ， 1 ， 2 = 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 3 ， 2 = 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 1 ， 2 ， 2 ， 3 =nm，选 D3
8、.设 A为 n阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n1 A * D.k n(n1) A *解析：解析：因为(kA) * 的每个元素都是 kA的代数余子式，而余子式为 n1 阶子式，所以(kA) * =k n1 A * ，选 C4.设 （分数：2.00）A.当 t=6时，r(Q)=1B.当 t=6时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1 D.当 t6 时，r(Q)=2解析：解析：因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQ=O得，r(P)+r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选 C5.向量组
9、 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例B. 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组C.设 A=( 1 ， 2 ， m )，方程组 AX=0只有零解 D. 1 ， 2 ， m 中向量的个数小于向量的维数解析：解析：向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，则 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故 A不对；若 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组，则 1 ， 2 ， m 一定线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不一定两两正交，B 不对； 1 ， 2 ， m 中向量个数小于向量的维数不一定
10、线性无关，D 不对，选 C6.设 A是 ms阶矩阵，B 为 sn阶矩阵，则方程组 BX=0与 ABX=0同解的充分条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=s B.rA)=mC.r(B)=sD.r(B)=n解析：解析：设 r(A)=s，显然方程组 BX=O的解一定为方程组 ABX=0的解，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0只有零解，故 BX=0，即方程组 BX=0与方程组 ABX=0同解，选 A7.设 A是 n阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则1 一定是矩阵 A的特征值 B.若 r(E+A)n，则1 一定是矩阵 A的特征值C.
11、若矩阵 A的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A的特征值D.若 A是正交矩阵，且 A的特征值之积小于零，则1 一定是 A的特征值解析：解析：若 r(E+A)n，则E+A=0，于是1 为 A的特征值；若 A的每行元素之和为1，则 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 31 +A 32 +A 33 =A 31 +A 32 +A 33 +0A 34 +0A 0=35 9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 r(B * )=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所
12、以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=610.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 ， 2 ，且 ）解析：解析：( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= 则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组为 1 ， 2 ，且 11.设 A为三阶实对称矩阵， 1 =(a，a，1) T 是方程组 AX=0的解， 2 =(a，1，1a) T 是方程组(A+E)X=0的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为 AX=0
13、及(A+EX)=0 有非零解，所以 1 =0， 2 =1 为矩阵 A的特征值， 1 =(a， a，1) T ， 2 =(a，1，1a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1 T 2 =a 2 a+1a= 0，解得 a=112.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX的正惯性指数是 2，且 A 2 2A=0，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 1 +y 2 2）解析：解析：A 2 2A=O=r(A)+r(BA)=4=A 可以对角化， 1 =2， 2 =0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1 =2， 2 =0分别都是二重，所以该
14、二次型的规范形为 y 1 1 +y 2 2 三、解答题(总题数：13，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 C=(n)，A=(1) n+1 n!， 则 得 A * =AA 1 =(1) n+1 n!A 1 ，所以 A k1 +A k2 +A kn = )解析：15.设 A为 n阶矩阵，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =A * A=AE当 r(A)=n时，A 0，因为A * =A n1 ，所以A * 0，从而 r(A * )=n；当 r(A)=n1 时，由于 A至少有
15、一个 n1 阶子式不为零，所以存在一个 M ij 0，进而 A ij 0，于是 A * O，故 r(A * )1，又因为A=0，所以 AA * =AE=O，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A * )n，而 r(A)=n1，于是得 r(A * )1，故 r(A * =1；当 r(A)n1 时，由于 A的所有 n1 阶子式都为零，所以 A * =O，故 r(A * )=0)解析：16.设 1 ， 2 ， n 为 n个 n维线性无关的向量，A 是 n阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 A可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=( 1 ， 2 ， n )，
16、因为 1 ， 2 ， n 为 n个 n维线性无关的向量，所以 r(B)=n(A 1 ，A 2 ，A n )=AB，因为 r(AB)=r(A)所以 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A可逆)解析：17.设向量组 1 ， 2 ， n1 为 n维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：设 （分数：4.00）(1).求()，()的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =()的基础解系为 =()的基础解系为 )解析：(2).求()，()的公共解（分数：2.00
17、）_正确答案：(正确答案：()的通解 )解析：18.设 A是 ms阶矩阵，B 是 sn阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0与 ABX=0是同解方程组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先，方程组 BX=0的解一定是方程组 ABX=0的解令 r(B)=r且 1 ， 2 ， nr 是方程组 BX=0的基础解系，现设方程组 ABX=0有一个解 1 不是方程组 BX=0的解，即B 0 0，显然 1 ， 2 ， nr ， 0 线性无关，若 1 ， 2 ， nr ， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k nr ，k 0 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k
18、 nr nr ，k 0 0 =0，若 k 0 =0，则 k 1 1 +k 2 2 +k nr nr ，=0，因为 1 ， 2 ， nr 线性无关，所以 k 1 =k 2 =k nr =0，从而 1 ， 2 ， nr ， 0 线性无关，所以 k 0 0，故 0 可由 1 ， 2 ， nr 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有B 0 =0，矛盾，所以 1 ， 2 ， nr ， 0 线性无关，且为方程组 ABX=0的解，从而nr(AB)n=r+1，r(AB)r1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0与 ABX=0同解)解析：19.证明：r(AB)minr(A)，r(B)（分数：2.0
19、0）_正确答案：(正确答案：令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有 nr 个线性无关的解向量，因为 BX=0的解一定是 ABX=0的解，所以 ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 nr(AB)nr(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB) T =r(AB)=r(B T A T )R(A T )=r(A)，所以 r(AB)Minr(A)，r(B)解析：20.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 a1 且 ab 时，方程组有唯一解； (2)当 a=6时， 因为所以方程组有无
20、数个解， 再由 得原方程组的通解为 (3)当 a=1 时， 当 a=1，b36时，方程组无解； 当 a=1，b=36 时，方程组有无数个解，由 )解析：设矩阵 （分数：4.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 也是矩阵 A的特征向量，令 A= 1 ，则有 A=12，设 A的另外两个特征值为 2 ， 3 ，由 得 2 = 3 =2 对应的 A * 的特征值为 )解析：(2).判断 A可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=AB，若 1 ， 2 ， 3 为 A的三个不同的特征值
21、，证明：（分数：4.00）(1).AB=BA；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=AB 得 ABAB+E=E，(E+A)(EB)=E， 即 EB 与 E+A互为逆矩阵，于是(EB)(B+A)E=(E+A)(EB)， 故 AB=BA)解析：(2).存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP，P 1 BP同时为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 所以 A可以对角化，设 A的三个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，BA( 1
22、 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，AB( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i = i B i ，i=1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有B i = i i ；若 B i =0，则 i 是 B的属于特征值 0的特征向量无论哪种情况B 都可以对角化，而且 i 是 B的特征向量，因此，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P 1 AP，P 1 BP同为对角阵)解析：21.设 P为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 A T =A，对任意的 X0，X T Ax=(PX) T (PX)，因为 X0 且 P可逆，所以PX0，于是 X T AX=(PX) T (PX)=PX 2 0，即 X T AX为正定二次型，故 A为正定矩阵)解析：22.设 A为实对称矩阵，且 A的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 所对应的二次型为 f=X T AX， 因为 A是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=X T AX )解析：
