1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 131 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB=03.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( ).（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AX=b 一定有
2、无穷多个解D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 0)4.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示B. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示法不唯一C. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法唯一D. 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示不能确定5.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关
3、，B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关6.设有方程组 Ax=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B) (4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解 以上命题正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(3)C.
4、(2)(4)D.(3)(4)7.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)=rN，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等8.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.A=0B.A0C.A0D.以上都不对二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 A 为三阶正交矩阵，且A0，BA=4，则EAB T = 1（分数：2.00）填空项 1
5、:_10.设 A，B 都是三阶矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_11.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_15.设矩阵 A 满足(2EC 1 B)A T =C 1 ，且 （分数：2.00）_16.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n=1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =k
6、A * （分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ t ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：4.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：2.00）_(2).设 （分数：2.00）_18.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 （分数：2.00）_19.问 a，b，c 取何值时，()，()为同解方程组? （分数：2.00）_20.设
7、A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r(A)=rn证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 nr+1 个（分数：2.00）_设 （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角阵；（分数：2.00）_(3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ 为对角阵（分数：2.00）_设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：4.00）(1).证明：，A 线性无关；（分数：2.00）_(2).若 A 2 +A 一 6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.00）_21.设 （分数：
8、2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 （分数：2.00）_24.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 2y 3 2 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 131 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2
9、.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0 C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB=0解析：解析：AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且 r(AB)minr(A)， r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)nm，于是AB=0，选 B3.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( ).（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解 D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 0)解析：解析
10、：显然由 r(A)=mn，得 r(A)=r(A)=mn，所以方程组 AX=b 有无穷多个解选 C4.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示B. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示法不唯一C. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法唯一 D. 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示不能确定解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 ，
11、 4 线性相关，所以 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，又 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经过有限次初等行变换化为B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，所以方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 与 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 是同解方程组，因为方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 有唯一解，所以方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 有唯一解，即 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，选C5.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，
12、B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解析：设 A，B 分别为 mn 及 nc 矩阵，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A，B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 A6.设有方程组 Ax=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B)，
13、则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B) (4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解 以上命题正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(3) C.(2)(4)D.(3)(4)解析：解析：若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则 nr(A)nr(B)，从而 r(A)r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选 B7.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩
14、阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)=rN，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等 解析：解析：A 不对，如 ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1；B 不对，因为 AB 不一定保证 AB可以对角化；C 不对，如 A 经过有限次行变换化为 经过行变换不能化为 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P使得 于是 r(A)=8.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.A=0 B.A0C.A0D.以上都不对解
15、析：解析：设二次型 f=X T AX = 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + 3 y 3 2 ，其中 Q 为正交矩阵取 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 A 为三阶正交矩阵，且A0，BA=4，则EAB T = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：A0=A=1EAB T =AA T AB T =A(AB) T =AB =BA=410.设 A，B 都是三阶矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=3，A * =A 1 A=3A 1 ，则(A * ) 1 B=ABA+2A 2 化为 AB=ABA+2A
16、2 ，注意到 A 可逆，得 B=BA+2A 或B=3BA+6A，则 B=6A(E+3A) 1 ， 11.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P 1 (A 1 +2E)P=P 1 A 1 P+2E，而 P 1 A 1 P= 12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由EA=0 得 A 的特征值为 1 =2， 2 = 3 =6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)=1，解得 a=0三、解答题(总题数：15，分数：36.00)13.解答题解答应写出
17、文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则A=a k1 A k1 +a k2 A k2 +a kn A kn =a k1 2 +a k2 2 +a kn 2 0)解析：15.设矩阵 A 满足(2EC 1 B)A T =C 1 ，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2EC 1 B)A T =C 1 ，得 A t =(2EC 1 B 1 ) 1 C 1
18、=C(2EC 1 B 1 ) 1 =(2CB 1 ) 1 ， )解析：16.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n=1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=n1，所以 r(A * )=1，于是 其中 为非零向量，故 )解析：17.设 1 ， 2 ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ t ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 ， 2 ， t 线性无关=， 1 ， 2 ， t 线性无关令 k+k 1 (+ 1 )+k 2 (+ 2 )+k t (+
19、t )=0即(k+k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0， 1 ， 2 ， t 线性无关 )解析：设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：4.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 1 ， 2 线性相关所以存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0，或 k 1 1 +k 1 2 =l 1 1 l 2 2 令 =k 1 1 +k 2
20、2 =l 1 1 l 2 2 因为 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关所以 k 1 ，k 2 及 l 1 ，l 2 都不全为零所以 0)解析：(2).设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0，A=( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )= )解析：18.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1 (1)当 k9 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，
21、显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k 1 ，k 2 为任意常数)； (2)当 k=9 时，r(B)=1，1r(A)2， 当 r(A)=2 时，方程组 AX=0 的通解为 (C 为任意常数)； 当 r(A)=1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0， 由 )解析：19.问 a，b，c 取何值时，()，()为同解方程组? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为()，()同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，()的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关， )解析：20.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r(A)=rn证明：方程组
22、 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 nr+1 个（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 nr 个线性无关的解向量，设为 1 ， 2 ， nr . 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解， 令 0 = 0 ， 1 = 1 + 1 ， 2 = 2 + 2 ， nr = nr + 0 ，显然 0 ， 1 ， 2 ， nr 为方程组 AX=b 的一组解 令 k 1 1 +k 2 2 +k nr nr =0，即 (k 1 ，k 2 ，k nr ) 0 +k 1 1 +k 2 2 +k nr nr =0， 上式两边左乘 A 得(
23、k 1 ，k 2 ，k nr )b=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k 1 ，k 2 ，k nr =0，于是 k 1 1 +k 2 2 +k nr nr =0，注意到 1 ， 2 ， nr 线性无关，所以 k 1 =k 2 =k nr =0，故 0 ， 1 ， 2 ， nr 线性无关，即方程组 AX=b 存在由 nr+1 个线性无关的解向量构成的向量组设 1 ， 2 ， nr+2 为方程组 AX=b 的一组线性无关解，令 1 = 3 1 ， 2 = 3 1 ， nr+1 = nr+2 1 ，根据定义，易证 1 ， 2 ， nr+1 线性无关，又 1 ， 2 ， nr+1 为齐次线性方程组
24、AX=0 的一组解，即方程组 AX=0 含有 nr+1 个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意 nr+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为nr+1 个)解析：设 （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组 AX= 有解但不唯一，所以A=0，从而 a=2 或 a=1 当 a=2时， 方程组有无穷多解； 当 a=1 时， )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA=(+3)(3)=0 得 1 =0， 2 =3， 3 =3 由(0EA)X=0 得
25、 1 =0 对应的线性无关的特征向量为 由(3EA)X=0 得 2 =3 对应的线性无关的特征向量为 由(3EA)X=0 得 3 =3 对应的线性无关的特征向量为 令 )解析：(3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ 为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：4.00）(1).证明：，A 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 +k 2 A=0，显然 k 2 0，所以 )解析：(2).若 A 2 +A 一 6=0，求 A 的特征值，讨论
26、A 可否对角化；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +A6=0，得(A 2 +A6E)=0， 因为 0，所以 r(A 2 +A6E)2，从而A 2 +A6E=0，即 3E+A.2EA=0，则3E+A=0 或2EA=0 若3E+A0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2EA)=0，得 (2EA)=0，即 A=2，矛盾； 若2EA0，则 2EA 可逆，由(2EA)(3E+A)=0，得 (3E+A)=0，即 A=3，矛盾，所以有3E+A=0 且2EA=0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值3，2，故 A 可对角化)解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 1
27、= 2 =1 3 =2 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(EA)=1即 a=1，故 由 =1 时，由(EA)X=0，得 由=2 时，由(2EA)X=0，得 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= 两边 n 次幂得 )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，A=B，即 解得 a=1，b=0，则 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1 =1， 2 =0， 3 =6 当 =1 时，由(EA)X=0，得 1 = 当 =0 时，由(0EA)X=0，得 2 = 当 =6 时，由(6EA)X=0，得 3
28、 = 令 再令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：23.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有一个特征值为 1 =5，其对应的特征向量为 A 1 =5 1 又 AX=0 的通解为 则 r(A)=1= 1 = 2 =0，其对应的特征向量为 A 2 =0，A 3 =0 令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，解得 x 1 =8，x 2 =1，x 3 =2， 则 A=8A 2 A 2 2A 3 =8A 1 = )解析：24.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换
29、化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 2y 3 2 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f=X T AX 经过正交变换后的标准形为 f=y 1 2 +y 2 2 2y 3 2 ，所以矩阵 A的特征值为 1 2 =1， 3 =2由A= 1 2 3 =2 得 A * 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =1，从而 A * +2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A * +2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3 =2 的特征向量 令 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 因为 A 为实对称矩阵，所以有 1 T =0，即 x 1 +x 2 =0 故矩阵 A 的属于 1 = 2 =1 的特征向量为 令 P=( 2 ， 3 ， 1 )= 得 所求的二次型为 f=X T AX= )解析：
