1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 133 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.若AB=0，则 A=0 或 B=0C.AB=A BD.AB=AB3.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A *C.(AB) * =A * B *D.(A+B) * 一定可逆4.设 （分数：2.00
2、）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1D.P 2 A 1 P 15.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关B.若向量 1 ， 2 ， n 线性相关，则 1 ， 2 ， n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，则 1 2 ， 2 + 3 ， n + 1 一定线性无关D.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，且 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，则 A 一定可逆6.
3、设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示7.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不对二、填空题(总题数：3，分数：6.00)8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 n 为非零向量， （分数：2.00）填空项 1:_10.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方
4、阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 1 = 2 + 3 ， A 3 = 3 + 1 ，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.计算 （分数：2.00）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数， （分数：4.00）(1).计算 PQ；（分数：2.00）_(2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A 1 b（分数：2.00）_13.设 是 n 维单位列向量，A=E T 证明：rn（分数：2.00）_14.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：
5、r(A)+r(B)n（分数：2.00）_15.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组()与向量组 ()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 的秩为 4（分数：2.00）_16.设 A 为 n 阶矩阵，若 A k1 0，而 A k =0证明：向量组 ，A，A k1 线性无关（分数：2.00）_17.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解（分数：2.00）_18.设 写出 （分数：2.00）_设 A，B，C，D 都是 n
6、 阶矩阵，r(CA+DB)=n.（分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_(2).设 1 ， 2 ， r 与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 Ax=0 与 Bx=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_19.设 A 为 n 阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0（分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r(0rn)求5E+A（分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_设 A 为三阶矩阵， 1
7、， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 = 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 2 2 3 ，A 3 =2 1 2 2 3 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的全部特征值；（分数：2.00）_(2).求A * +2E（分数：2.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T （分数：4.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求 A（分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P
8、，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_25.设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 133 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.若AB=0，则 A=0 或 B=0C.AB=A BD.AB=AB 解析：解析：A，C 显然不对，设3.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A
9、.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A * C.(AB) * =A * B *D.(A+B) * 一定可逆解析：解析：因为(AB) * =AB(AB) 1 =ABB 1 A 1 =BB 1 AA 1 =B * A * ，所以选 B4.设 （分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1 D.P 2 A 1 P 1解析：解析：B=AE 14 E 23 或 B=AE 23 E 14 即 B=AP 1 P 2 或 B=AP 2 P 1 ，所以 B 1 =P 2 1 P 1 1 A 1 或 B 1 =P 1 1 P 2 1 A
10、 1 ，注意到 E ij 1 =E ij ，于是 B 1 =P 2 P 1 A 1 或 B 1 =P 1 P 2 A 1 ，选 C5.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关B.若向量 1 ， 2 ， n 线性相关，则 1 ， 2 ， n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，则 1 2 ， 2 + 3 ， n + 1 一定线性无关D.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，且 A 1 ，A 2 ，A n 线性无
11、关，则 A 一定可逆 解析：解析：(A 1 ，A 2 ，A n )=A( 1 ， 2 ， n )，因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以矩阵( 1 ， 2 ， n )可逆，于是 r(A 1 ，A 2 ，A n )=r(A)，而A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选 D6.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析：解析：方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表
12、示，在方程组 Ax=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，选 D7.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不对 解析：解析：令二、填空题(总题数：3，分数：6.00)8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 因为 E ij 1 =E ij ，所以 E ij 2 =E，于是 9.设 n 为非零向量， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=3，k(3，1，2) T）
13、解析：解析：AX=0 有非零解，所以A=0，解得 a=3，于是 10.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 1 = 2 + 3 ， A 3 = 3 + 1 ，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 可逆，由AP=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 得 三、解答题(总题数：19，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.计算 （分数：2.00）_正
14、确答案：(正确答案： =a 1 a 2 a n1 +a n (a 2 a 2 a n2 +a n1 D n2 )=a 1 a 2 a n1 1+a 1 a n a n2 a n +a n a n1 D n2 )解析：设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数， （分数：4.00）(1).计算 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A 1 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PQ=A 2 (b T A 1 )，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0，即 T A 1 b)解析：13.设 是 n 维单位列向量，A=
15、E T 证明：rn（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =(E T )(E T )=E2 T + T . T ，因为 为单位列向量，所以 T =1，于是 A 2 =A由 A(EA)=O 得 r(A)+r(EA)N，又由 r(A)+r(EA) rA+(EA)=r(E)=n，得 r(A)+r(EA)=n因为 EA= T O，所以 r(EA)=r( T )=r()=1，故 r(A)=n1n)解析：14.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=( 1 ， 2 ， s )，因为 AB=O，所以 B 的
16、列向量组 1 ， 2 ， s 为方程组 AX=0 的一组解，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为nr(A)，所以向量组 1 ， 2 ， s 的秩不超过 nr(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)+r(B)n)解析：15.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组()与向量组 ()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 的秩为 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组()的秩为 3，所以 1 ， 2 ，
17、 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示因为向量组()的秩为 4，所以 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，故向量 5 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 线性无关，于是向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 的秩为 4)解析：16.设 A 为 n 阶矩阵，若 A k1 0，而 A k =0证明：向量组 ，A，A k1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 l 0 +l 1 A+l k1 A k1 =0(*)(*)两边
18、同时左乘 A k1 得 l 0 A k1 =0因为 A k1 0。所以 l 0 =0；(*)两边同时左乘 A k2 得 l 1 A k1 =0因为 A k1 0所以 l 1 =0依次类推可得 l 2 =l k1 =0所以 ，A，A k1 线性无关)解析：17.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解因为 )解析：18.设 写出 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则()可写为 AX=0， )解析：设 A，B，C，D 都是 n 阶矩
19、阵，r(CA+DB)=n.（分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 n=r(CA+DB)= )解析：(2).设 1 ， 2 ， r 与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 Ax=0 与 Bx=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：19.设 A 为 n 阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则，r(A)n，从而A =0，于是
20、 A * b=A * AX=A X=0 反之，设 A * b=0，因为 b0，所以方程组 A * X=0 有非零解，从而 r(A * )n，又 A 11 0，所以 r(A * )=1，且 r(A)=n1 因为 r(A * )=1，所以方程组 A * X=0 的基础解系含有n1 个线性无关的解向量，而 A * A=0，所以 A 的列向量组 1 ， 2 ， n 为方程组 A * X=0 的一组解向量 由 A 11 0，得 2 ， n 线性无关，所以 2 ， n 是方程组 A * X=0 的基础解系 因为 A * b=0，所以 b 可由 2 ， n 线性表示，也可由 1 ， 2 ， n 线性表示，故
21、 r(A)= )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X=(X 1 ，X 2 ，X 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，方程组 AX=B 等价于 则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(AB)， 由 r(A)=r(AB)得 a=1，b=2，c=2，此时 AX 1 = 1 的通解为 AX 2 = 2 的通解为 AX 3 = 3 的通解为 则 X=(X 1 ，X 2 ，X 3 )= )解析：21.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r(0rn)求5E+A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =A=A(EA)=O=r(A)+
22、r(BA)=n=A 可以对角化由 A 2 =A，得A.EA=0所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 1因为 r(A)=r 且 0rn，所以 0 和 1 都为 A 的特征值且 =l 为 r 重特征值=0 为 nr 重特征值，所以 5E+A 的特征值为 =6(r 重)=5(nr重)故5E+A=5 nr 6 r )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为上三角矩阵所以 A 的特征值为 1 = 2 =1 3 = 4 =1因为A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 于是 a=0，b=0当 =1 时，由(EA)X=0 得 当 =1 时，由(EA)X=0 得 令
23、 )解析：设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 = 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 2 2 3 ，A 3 =2 1 2 2 3 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以( 1 ， 2 ， 3 )可逆，故 )解析：(2).求A * +2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为A=5，所以 A * 的特征值为 1，5，故 A * +2E 的特征值为3，33从而A * +2E=27)解析：设
24、 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T （分数：4.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有特征值 2 =5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为 )解析：(2).求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：23.设 （分数：2.00）
25、_正确答案：(正确答案： =(+a1)(a)(a1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1 =1a， 2 =a， 3 =1+a (1)当 1aa，1a1+a，a1+n，即 a0 且 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1 =1a 时，由(1a)EAX=0 得 2 =a 时，由(aEA)X=0得 2 = 3 =1+a 时，由(1+a)EAX=0 得 (2)当 a=0 时， 1 = 3 =1， 因为 r(EA)=2，所以方程组(EA)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3)当 因为 )解析：24.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可
26、逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T =A，因为(P T AP) T =P T A T (P T ) T =P T AP，所以 P T AP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T (P T AP)X=(PX) T A(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为A 为正定矩阵，所以 T A0，即 X T (P T AP)X0，故 X T (P T AP)X 为正定二次型，于是 P T AP为正定矩阵)解析：25.设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有非零解，所以 =
27、a(a+1)(a3)=0，即 a=1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 a ij 0(i=1，2，3)，所以 a=3当 a=3 时，由 =(1)(4)(10)=0 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 f=X T AX y 1 2 +4y 2 2 +10y 3 2 10(y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 ) 而当 时， y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 =Y T Y=Y T Q T QY=(QY) T (QY)=X T X=X 2 =2 所以当 时，X 2 2 AX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y 1 =y 2 =0，y 3 = )解析：
