1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 145 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 4 阶方阵 A 的行列式|A|=0，则 A 中( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合D.任一列向量是其余列向量的线性组合3.设向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线
2、性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关4.设 A，B 为同阶方阵，则 A 与 B 相似的充分条件是( )（分数：2.00）A.秩(A)=秩(B)B.|A|=|B|C.A 与 B 有相同的特征多项式D.A、B 有相同的特征值 1 ， 2 ， n ，且 1 ， 2 ， n 两两不同二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.方程 f(z)= （分数：2.00）填空项 1:_6.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 =(1，0，1) T ，矩阵 A= T ，n 为正整数，a 为常数，则|aEA n |= 1（分数：2.00）填空项 1:_
3、8.设 1 ， 2 ， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 ) 如果|A|=1，则|B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 a i b i 0(i=1，2，n)，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 2x 2 xy+4y 2 =1 的名称是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设实对称矩阵 A 满足 A 2 =
4、O，证明：A=O（分数：2.00）_14.已知 AP=PB，其中 （分数：2.00）_15.已知向量组()： 1 =(0，1，1) T ， 2 (a，2，1) T ， 3 =(b，1，0) T 与向量组()： 1 =(1，2，3) T ， 2 =(3，0，1) T ， 3 =(9，6，7) T 具有相同的秩，且 3 可由向量组()线性表示，求 a、b 的值（分数：2.00）_16.问 a、b 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_17.设矩阵 A=(a ij ) nn 的秩为 n，a ij 的代数余子式为 A ij (i，j=12，n)记 A 的前 r 行组成的 rn 矩阵为 B，证明：向
5、量组 1 =(A r+1，1 ，A r+1，n ) T 2 =(A r+2，1 ，A r+2，n ) T nr =(A n1 ，A nn ) T （分数：2.00）_18.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_19.设 3 阶矩阵 A 与对角矩阵 D= （分数：2.00）_下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_20.设矩阵 A= （分数：2.00）_设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3（分数：
6、6.00）(1).求矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_(3).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_21.设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩r(B)=n（分数：2.00）_22.设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a、b 为常数，证明：A+B 的特征值全大于 a+b（分数：2.00）_23.设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1 ，x 2
7、 ，x n ) T 证明：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n ) （分数：2.00）_24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +ax 3 2 +2bx 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 (b0)通过正交变换 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 145 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 4 阶方阵 A 的行列式|A|=0，则 A 中( )（分数：2.00）A.必有一列元素全
8、为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合 D.任一列向量是其余列向量的线性组合解析：3.设向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关 解析：解析：由条件知秩()秩()，而秩()s，故秩()s，当 rs 时，有秩()sr，故()必线性相关4.设 A，B 为同阶方阵，则 A 与 B 相似的充分条件是( )（分数：2.00）A.秩(A)=秩(B)B.|A|
9、=|B|C.A 与 B 有相同的特征多项式D.A、B 有相同的特征值 1 ， 2 ， n ，且 1 ， 2 ， n 两两不同 解析：解析：在选项 D 的条件下，存在适当的可逆矩阵 P、Q，使 P 1 AP=diag( 1 ， 2 ， n )=Q 1 BQ， QP 1 APQ 1 =B， 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.方程 f(z)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，2，3）解析：解析：利用范德蒙行列式得 f(z)=(21)(31)(x1)(32)(x2)(x3)6.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：7.设
10、 =(1，0，1) T ，矩阵 A= T ，n 为正整数，a 为常数，则|aEA n |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2 (a2 n )）解析：解析：A n =( T )( T )( T )=( T )( T ) T = 2 n1 T 8.设 1 ， 2 ， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 ) 如果|A|=1，则|B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：利用矩阵乘法，可将 B 写为 两端取行列式，得9.
11、设 a i b i 0(i=1，2，n)，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：10.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 可见，Ax=b 无解11.曲线 2x 2 xy+4y 2 =1 的名称是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：椭圆）解析：解析：二次型 2x 2 xy+4y 2 的矩阵 三、解答题(总题数：15，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设实对称矩阵 A 满足 A 2 =O，证明：A=O（分数：2.00）_正确答案：(正
12、确答案：A 2 =AA T =O 的(i，i)元素为：0= a ij 2 ， )解析：14.已知 AP=PB，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 P 可逆，得 A=PBP 1 )解析：15.已知向量组()： 1 =(0，1，1) T ， 2 (a，2，1) T ， 3 =(b，1，0) T 与向量组()： 1 =(1，2，3) T ， 2 =(3，0，1) T ， 3 =(9，6，7) T 具有相同的秩，且 3 可由向量组()线性表示，求 a、b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 是向量组()的一个极大无关组，()的秩为 2，故()的秩为2故()线性相
13、关，从而行列式| 1 ， 2 ， 3 |=0，由此解得 a=3b又 3 可由()线性表示，从而 3 可由 1 ， 2 线性表示，所以向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，于是，行列式| 1 2 3 |=0，解之得 b=5，所以 a=15，b=5)解析：16.问 a、b 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a1 时有唯一解；当 a=1 且 b1 时无解；当 a=1 且 b=1 时有无穷多解，通解为 x=(1，1，0，0) T +c 1 (1，2，1，0) T +c 2 (1，2，0，1) T )解析：17.设矩阵 A=(a ij ) nn 的秩为 n，a ij 的
14、代数余子式为 A ij (i，j=12，n)记 A 的前 r 行组成的 rn 矩阵为 B，证明：向量组 1 =(A r+1，1 ，A r+1，n ) T 2 =(A r+2，1 ，A r+2，n ) T nr =(A n1 ，A nn ) T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(B)=r， 方程组 Bx=0 的基础解系含 nr 个向量，故只要证明 1 ， 2 ， nr 是方程组 Bx=0 的线性无关解向量即可首先，由行列式的性质，有 )解析：18.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换： (1)当 a=0 时，r(A)=
15、1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0，由此得基础解系为 1 =(1，1，0，0) T ， 2 =(1，0，1，0) T ， n1 =(1，0，0，1) T ，于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k n1 n1 ，其中 k 1 ，k n1 为任意常数 (2)当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换： 可知 a= 时，r(A)=n1n，故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为 x 2 =2x 1 ，x 3 =3x 1 ，x n =nx 1 (x 1 任意)， 由此得基础解系为=(1，2，3，n) T ，于是方程组用基础解系表示的通解
16、为 x=k，其中 k 为任意常数 2 方程组的系数行列式为 当|A|=0，即 a=0 或 a= 时，方程组有非零解 当 a=0 时，对系数矩阵 A作初等行变换，有 故方程组的同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0，以下同解 1 当 a= 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 )解析：19.设 3 阶矩阵 A 与对角矩阵 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=PDP 1 ，C=(PDP 1 1 PP 1 )(PDP 1 2 PP 1 )(PDP 1 3 PP 1 ) =P(D 1 E)P 1 P(D 2 E)P 1 P(D 3 E)P 1 =P(D 1 E)(D 2 E)(
17、D 3 E)P 1 )解析：下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：是，因该方阵只有单特征值；)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：否，因 A 的特征值为 1 = 2 = 2 = 3 = 4 =1，而对应的线性无关特征向量却只有 2 个)解析：20.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为 =(2)( 2 8+18+3a) (1)若 =2 是 f()的二重根，则有( 2 8+18+3a)| =2 =2 2 16+18+3a=3a+6=0，解得 a=2 当 a=2 时，A 的
18、特征值为 2，2，6，矩阵 的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化 (2)若 =2 不是 f()的二重根，则 2 8+18+3a 为完全平方，从而 18+3a=16，解得a=23 当 a=23 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 )解析：设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3（分数：6.00）(1).求矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设
19、条件并利用矩阵乘法，可得 A( 1 ， 2 ， 3 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 ) )解析：(2).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，可知矩阵 C=( 1 ， 2 ， 3 )可逆，且由 AC=CB 可得 C 1 AC=B，即矩阵 A 与 B 相似由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值 由 )解析：(3).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应于 1 = 2 =1，解齐次线性方程组(EB)x
20、=0，得基础解系 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，0，1) T 对应于 3 =4，解齐次线性方程组(4EB)x=0，得基础解系 3 =(0，1，1) T 令矩阵 Q=( 1 ， 2 ， 3 ) 则有 Q 1 BQ 因 Q 1 BQ=Q 1 C 1 ACQ=(CQ) 1 A(CQ)，记矩阵 P=CQ )解析：21.设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性设 B T AB 正定，则对任意 n 维非零列向量 x， 有 x T (B T AB)x0，即(Bx)
21、T A(Bx)0，于是 Bx0因此，Bx=0 只有零解，从而有 rB=n 充分性因(B T AB) T =B T A T B=B T AB，故 B T AB 为实对称矩阵，若 rB=n，则齐次线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意 n 维非零列向量 x，有 Bx0，又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) T A(Bx)0，于是当 x0 时，x T (B T AB)x=(Bx) T A(Bx)0，故 B T AB 为正定矩阵)解析：22.设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a、b 为常数，证明：A+B 的特征值全大于 a+b（分数：2.00
22、）_正确答案：(正确答案：1 设 为 A+B 的任一特征值，则有 X0，使 (A+B)X=X， 故有(A+B)X(a+b)X=X(a+b)X 即(AaE)+(BbE)X=(a+b)X 故 (a+b)为(AaE)+(BbE)的特征值，由已知条件易知 AaE 及 BbE 都是正定矩阵故(AaE)+(BbE)正定，因而它的特征值全大于 0，因此有(a+b)0， a+b 2 设 s 为 A+B 的最小特征值，对应的特征向量为 X 1 ； 1 、 1 分别是 A、B 的最小特征值，则有 )解析：23.设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 证明：二次型 f(x 1 ，x 2
23、，x n ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两端取行列式，得 f(X)= =|A|X T A 1 X 由于 A 正定，有|A|0，且 A 1 正定，故对于任意 X0，XR n ，有 X T A 1 X0， )解析：24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +ax 3 2 +2bx 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 (b0)通过正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵 A= 由 1 + 2 + 3 =6+3+(2)=1+1+a，解得 a=5，由 1 2 3 =36=|A|=5b 2 2b+3，解得 b=3所用正交矩阵可取为 )解析：
