1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 97 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.AX=0 和 BX=0 都是 n 元方程组，下列断言正确的是( )（分数：2.00）A.AX=0 和 BX=0 同解B.AX=0 的解都是 BX=0 的解r(A)r(B)C.AX=0 的解都是 BX=0 的解r(A)r(B)D.r(A)r(B)AX=0 的解都是 BX=0 的解3.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=r则方程组 Ax=（分数：2.00）A.在 r=m 时有解B.在
2、 m=n 时有唯一解C.在 rn 时有无穷多解D.在 r=n 时有唯一解4.的一个基础解系为 （分数：2.00）A.(0，一 1，0，2) TB.(0，一 1，0，2) T ，(0，12，0，1) TC.(1，0，一 1，0) T ，(一 2，0，2，0) TD.(0，一 1，0，2) T ，(1，0，一 1，0) T5.当 A=( )时，(0，1，一 1)和(1，0，2)构成齐次方程组 AX=0 的基础解系（分数：2.00）A.(一 2，1，1)B.C.D.6. （分数：2.00）A.(1，一 1，0) T ，(0，0，1) TB.(1，一 1，0) TC.(1，一 1，0) T ，(2，一
3、 2，a) TD.(2，一 2，a) T ，(3，一 3，b) T7.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是 4 阶矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组AX=0 的一个基础解系，则 A * X=0 的基础解系可为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 1 ， 2 C. 1 ， 2 ， 3 D. 2 ， 3 ， 4 8.线性方程组 （分数：2.00）A.(1，一 1，0，0) T +c(0，1，一 1，0) T ，c 任意B.(0，1，1，1) T +c 1 (0，一 2，2，0) T +c 2 (0，1，一 1，0) T ，c 1 ，c 2 任意C
4、.(1，一 2，1，0) T +c 1 (一 1，2，1，1) T +c 2 (0，1，一 1，0) T ，c 1 ，c 2 任意D.(1，一 1，0，0) T +c 1 (1，一 2，1，0) T +c 2 (0，1，一 1，0) T ，c 1 ，c 2 任意9.设 1 ， 2 是非齐次方程组 AX= 的两个不同的解， 1 ， 2 为它的导出组 AX=0 的一个基础解系，则它的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 2 +( 1 一 2 )2B.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+( 1 + 2 )2C.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+( 1 一 2 )2D.
5、k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+( 1 + 2 )210.设线性方程组 AX= 有 3 个不同的解 1 ， 2 ， 3 ，r(A)=n 一 2，n 是未知数个数，则( )正确（分数：2.00）A.对任何数 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 1 1 +c 2 2 +c 3 3 都是 AX= 的解；B.2 1 一 3 2 + 3 是导出组 AX=0 的解；C. 1 ， 2 ， 3 线性相关；D. 1 2 ， 2 一 3 是 AX=0 的基础解系二、解答题(总题数：17，分数：38.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.已知(1，a，2) T ，(一 1，4，b
6、) T 构成齐次线性方程组 （分数：2.00）_13.求此齐次方程组的一个基础解系和通解 （分数：2.00）_14.讨论 p，t 为何值时，方程组 （分数：2.00）_15.已知线性方程组 AX= 存在两个不同的解求 ，a求 AX= 的通解 （分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_设 n1，n 元齐次方程组 AX=0 的系数矩阵为 （分数：4.00）(1).讨论 a 为什么数时 AX=0 有非零解?（分数：2.00）_(2).在有非零解时求通解（分数：2.00）_17.已知线性方程组 （分数：2.00）_已知非齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明此方程组的系数矩阵 A 的秩
7、为 2（分数：2.00）_(2).求 a，b 的值和方程组的通解（分数：2.00）_18.已知 =(0，1，0) T 是方程组 （分数：2.00）_设线性方程组为 （分数：4.00）(1).讨论 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 取值对解的情况的影响（分数：2.00）_(2).设 a 1 =a 3 =k，a 2 =a 4 =一 k(k0)，并且(一 1，1，1) T 和(1，1，一 1) T 都是解，求此方程组的通解（分数：2.00）_19.设非齐次方程组 AX= 有解 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，r(A)=3求通解
8、（分数：2.00）_20.已知 4 阶矩阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 又设 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求 AX= 的通解（分数：2.00）_21.已知 3 阶矩阵 A 的第一行为(a，b，c)，a，b，c 不全为 0，矩阵 （分数：2.00）_22.设(I)和()是两个四元齐次线性方程组，(I)为 （分数：2.00）_23.设(I)和()都是 4 元齐次线性方程组，已知 1 =(1，0，1，1) T ， 2 =(一 1，0，10) T ， 3 =(0，l，1，0)。是(I)的一个基础解系， 1 =(0，1，0，1
9、) T ，=(1，1 一 1，0) T 是()的一个基础解系求(I)和()公共解（分数：2.00）_24.设(I)和()都是 3 元非齐次线性方程组，(I)有通解 1 +c 1 1 +c 2 2 ， 1 =(1，0，1，)， 1 =(1，1，0)， 2 =(1，2，1)；()有通解 2 +c， 2 =(0，1，2)，=(1，1，2)求(I)和()的公共解（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 97 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.
10、AX=0 和 BX=0 都是 n 元方程组，下列断言正确的是( )（分数：2.00）A.AX=0 和 BX=0 同解B.AX=0 的解都是 BX=0 的解r(A)r(B)C.AX=0 的解都是 BX=0 的解r(A)r(B) D.r(A)r(B)AX=0 的解都是 BX=0 的解解析：解析：AX=0 和 BX=0 同解r(A)=r(B)，但 r(A)=r(B)推不出 AX=0 和 BX=0 同解，排除 AAX=0 的解都是 BX=0 的解，则 AX=0 的解集合 的解集合，于是 nr(A)nr(B)，即 r(A)r(B)(C)对，(B)不对nr(A)n 一 r(B)推不出 AX=0 的解集合3
11、.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=r则方程组 Ax=（分数：2.00）A.在 r=m 时有解 B.在 m=n 时有唯一解C.在 rn 时有无穷多解D.在 r=n 时有唯一解解析：4.的一个基础解系为 （分数：2.00）A.(0，一 1，0，2) TB.(0，一 1，0，2) T ，(0，12，0，1) TC.(1，0，一 1，0) T ，(一 2，0，2，0) TD.(0，一 1，0，2) T ，(1，0，一 1，0) T 解析：解析：用基础解系的条件来衡量 4 个选项 先看包含解的个数 因为 n=4，系数矩阵为 5.当 A=( )时，(0，1，一 1)和(1，0，2)构成齐次方程组 AX=
12、0 的基础解系（分数：2.00）A.(一 2，1，1) B.C.D.解析：解析：由解是 3 维向量知 n=3，由基础解系含有两个解得到 3 一 r(A)=2，从而 r(A)=1由此着眼，只有(A)中的矩阵符合此要求6. （分数：2.00）A.(1，一 1，0) T ，(0，0，1) T B.(1，一 1，0) TC.(1，一 1，0) T ，(2，一 2，a) TD.(2，一 2，a) T ，(3，一 3，b) T解析：7.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是 4 阶矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组AX=0 的一个基础解系，则 A * X=0 的基础
13、解系可为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 1 ， 2 C. 1 ， 2 ， 3 D. 2 ， 3 ， 4 解析：解析：AX=0 的一个基础解系由一个向量构成，说明 4 一 r(A)=1，r(A)=3，从而 r(A * )=1则 A * X=0 的基础解系应该包含 3 个解排除(A)和(B) 由于(1，0，1，0) T 是 AX=0 的解，有 1 + 3 =0，从而 1 , 2 , 3 线性相关，排除(C)8.线性方程组 （分数：2.00）A.(1，一 1，0，0) T +c(0，1，一 1，0) T ，c 任意B.(0，1，1，1) T +c 1 (0，一 2，2，0) T +c
14、 2 (0，1，一 1，0) T ，c 1 ，c 2 任意C.(1，一 2，1，0) T +c 1 (一 1，2，1，1) T +c 2 (0，1，一 1，0) T ，c 1 ，c 2 任意 D.(1，一 1，0，0) T +c 1 (1，一 2，1，0) T +c 2 (0，1，一 1，0) T ，c 1 ，c 2 任意解析：9.设 1 ， 2 是非齐次方程组 AX= 的两个不同的解， 1 ， 2 为它的导出组 AX=0 的一个基础解系，则它的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 2 +( 1 一 2 )2B.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+( 1 + 2 )2
15、C.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+( 1 一 2 )2D.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+( 1 + 2 )2解析：10.设线性方程组 AX= 有 3 个不同的解 1 ， 2 ， 3 ，r(A)=n 一 2，n 是未知数个数，则( )正确（分数：2.00）A.对任何数 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 1 1 +c 2 2 +c 3 3 都是 AX= 的解；B.2 1 一 3 2 + 3 是导出组 AX=0 的解； C. 1 ， 2 ， 3 线性相关；D. 1 2 ， 2 一 3 是 AX=0 的基础解系解析：解析：A i =，因此 A(2 1 一 3 2 + 3 )=2
16、 一 3+=0，即 2 1 一 3 2 + 3 是AX=0 的解，B 正确 c 1 1 +c 2 2 +c 3 3 都是 AX= 的解 二、解答题(总题数：17，分数：38.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.已知(1，a，2) T ，(一 1，4，b) T 构成齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此齐次线性方程组的基础解系包含 2 个解，未知数有 3 个，则系数矩阵 的秩为 1，立刻得到 s=2，t=一 1于是方程组为 )解析：13.求此齐次方程组的一个基础解系和通解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用初等行变换将系数矩阵化
17、为阶梯形矩阵 则系数矩阵的秩为 2，小于未知数个数 4，此齐次方程组有非零解 进一步把阶梯形矩阵化为简单阶梯形矩阵： 选定自由未知量 x 2 ，x 4 ，x 5 ，用它们表示出待定未知量，得到同解方程组： )解析：14.讨论 p，t 为何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵 于是，当 t一 2 时，有r(A)r(A)，此时方程组无解 当 t=一 2 时(p 任意)，r(A)=r(A)34，此时有无穷多解 当 t=一 2，p=一 8 时， 得同解方程组 令 x 3 =x 4 =0，得一特解(一 1，1，0，0) T 导出组有同解方程组 对
18、x 3 ，x 4 赋值得基础解系(4，一 2，1，0) T ，(一 1，一 2，0，1) T 此时全部解为(一 1，1，0，0) T +c 1 (4，一 2，1，0)T+c 2 (一 1，一 2，0，1) T ，其中 c 1 ，c 2 可取任何数 当 t=一 2，p一 8 时， 得同解方程组 令 x 4 =0，得一特解(一 1，1，0，0) T 导出组有同解方程组 )解析：15.已知线性方程组 AX= 存在两个不同的解求 ，a求 AX= 的通解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AX= 存在两个不同的解(即有无穷多个解) r(A)=r(A)3用矩阵消元法： 则 1 一 2 =a 一 +
19、1=0，而 一 10(否则第二个方程为 0=1，无解)得 =一1，a=一 2 得 AX= 的同解方程组 )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果顺题目要求，先做，算得A=1 一 a 4 ，再做时，由无穷多解A=0，a=1 或一 1然后分别就这两种情况用矩阵消元法进行讨论和求解这个过程工作量大下面的解法要简单些 解两个小题可以一起进行：把增广矩阵用第 3 类初等行变换化阶梯形 A=B=1a 4 Ax= 有无穷多解的条件是 1 一 a 4 =一 a 一 a 2 =0，即 a=一 1 此时 )解析：设 n1，n 元齐次方程组 AX=0 的系数矩阵为 （分数：4.00）(1).
20、讨论 a 为什么数时 AX=0 有非零解?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用矩阵消元法，把第 n 行除以 n 移到第一行，其他行往下顺移再 i 行减第一行的 j 倍(i1) a=0 时 r(A)=1，有非零解 下面设 a0，对右边的矩阵继续进行行变换：把第 2 至n 各行都除以 a，然后把第 1 行减下面各行后换到最下面，得 )解析：(2).在有非零解时求通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=0 时 AX=0 与 x 1 +x 2 +x n =0 同解，通解为 c 1 (1，一 1，0，0) T +c 2 (1，0，一 1，1) T +c n-1 (1，0，0，一 1)
21、T ，c i ，任意 a=一 n(n+1)2 时，通解为 c(1，2，3，n) T ，c 任意)解析：17.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1，一 1，1，一 1) T 代入方程组，可得到 =u，但是不能求得它们的值 (1)此方程组已有了特解(1，一 1，1，一 1) T ，只用再求出导出组的基础解系就可写出通解对系数矩阵作初等行变换： 如果 21=0，则 (1，一 3，1，0) T 和(一 12，一 1，0，1) T 为导出组的基础解系，通解为(1，一 1，1，一 1) T +c 1 (1，一 3，1，0) T +c 2 (一 12，一 1，0，1) T ，c 1
22、 ，c 2 任意 如果 2 一 10，则用 2 一 1 除 B 的第三行： )解析：已知非齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为 2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， 2 ， 3 是 AX= 的 3 个线性无关的解，则， 2 一 1 ， 3 一 1 是 AX=0 的 2 个线性无关的解于是 AX=0 的解集合的秩不小于 2，即 4 一 r(A)2，r(A)2， 又因为 A 的行向量是两两线性无关的，所以 r(A)2 两个不等式说明了 r(A)=2)解析：(2).求 a，b 的值和方程组的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由
23、r(A)=2，得出 a=2，b=一 3 代入后继续作初等行变换化为简单阶梯形矩阵： 得同解方程组 )解析：18.已知 =(0，1，0) T 是方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 =(0，1，0) T 代入方程组可求得 b=1，d=3，但是 a 和 c 不能确定于是要对它们的取值对解的影响进行讨论 记系数矩阵为 A看 r(A)，一定有 r(A)2(因为 1，2 两行无关) 则当 a+c3 时 r(A)=3，则方程组唯一解 则当 a+c=3 时 r(A)=2，有方程组有无穷多解，并且它的导出组有同解方程组 )解析：设线性方程组为 （分数：4.00）(1).讨论 a 1 ，a 2
24、，a 3 ，a 4 取值对解的情况的影响（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于 于是，当 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 两两不同时，增广矩阵的行列式不为 0，秩为 4，而系数矩阵的秩为 3因此，方程组无解 如果 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 不是两两不同，则相同参数对应一样的方程于是只要看有几个不同，就只留下几个方程 如果有 3 个不同，不妨设 a 1 ，a 2 ，a 3 两两不同，a 4 等于其中之一，则可去掉第 4个方程，得原方程组的同解方程组 )解析：(2).设 a 1 =a 3 =k，a 2 =a 4 =一 k(k0)，并
25、且(一 1，1，1) T 和(1，1，一 1) T 都是解，求此方程组的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此时第 3，4 两个方程分别就是第 1，2 方程，可抛弃，得 (一 1，1，1) T 和(1，1，一 1) T 都是解，它们的差(一 2，0，2) T 是导出组的一个非零解本题未知数个数为 3，而系数矩阵 )解析：19.设非齐次方程组 AX= 有解 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，r(A)=3求通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 是 AX= 的一个特解，只用再找 AX=0 的基础解系从解是 4
26、 维向量知，AX= 的未知数个数 n=4r(A)=3，于是，它的 AX=0 的基础解系由 1 个非零解构成 由解的性质，2 1 一( 2 + 3 )=(2，3，4，5) T 是 AX=0 的解于是，AX= 的通解为(1，2，3，4) T +c(2，3，4，5) T ，c 可取任何常数)解析：20.已知 4 阶矩阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 又设 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求 AX= 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AX= 用向量方程形式写出为 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4
27、=，其导出组为 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =0条件 = 1 + 2 + 3 + 4 说明(1，1，1，1) T 是 AX= 的一个特解 1 =2 2 一 3 说明(1，一 2，1，0) T 是导出组的一个非零解又从 1 ， 3 ， 4 线性无关和 1 =2 2 一 3 ，得到 r(A)=3，从而导出组的基础解系只含 4 一 r(A)=1 个解，从而(1，一 2，1，0) T 为基础解系AX= 的通解为(1，1，1，1) T +c(1，一2，1，0) T ，c 可取任意数)解析：21.已知 3 阶矩阵 A 的第一行为(a，b，c)，a，b，c 不全为 0，矩阵 （分数
28、：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AB=0，r(A)+r(B)3，并且 B 的 3 个列向量都是 AX=0 的解 (1)若 k9，则 r(B)=2，r(A)=1，AX=0 的基础解系应该包含两个解(1，2，3) T 和(3，6，k) T 都是解，并且它们线性无关，从而构成基础解系，通解为： c 1 (1，2，3) T +c 2 (3，6，k) T ，其中 c 1 ，c 2 任意 (2)如果 k=9，则 r(B)=1，r(A)=1 或 2 r(A)=2，则 Ax=0 的基础解系应该包含一个解，(1，2，3) T 构成基础解系，通解为： c(1，2，3) T ，其中 c 任意 r(A)=1
29、，则 Ax=0 的基础解系包含两个解，而此时 B 的 3 个列向量两两相关，不能用其中的两个构成基础解系 由 r(A)=1，A 的行向量组的秩为 1，第一个行向量(a，b，c)(0!)构成最大无关组，因此第：二，三个行向量都是(a，b，c)的倍数，从而AX=0 和方程 ax 1 +bx 2 +cx 3 =0 同解由于(1，2，3) T 是解，有 a+2b+3c=0，则 a，b 不都为 0(否则a，b，c 都为 0)，于是(b，一 a，0) T 也是 ax 1 +bx 2 +cx 3 =0 的一个非零解，它和(1，2，3) T 线性无关，一起构成基础解系，通解为： c 1 (1，2，3) T +
30、c 2 (b，一 a，0) T ，其中 c 1 ，c 2 任意)解析：22.设(I)和()是两个四元齐次线性方程组，(I)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一种思路是构造一个线性方程组()，使得它也以 1 ， 2 为基础解系于是()和()同解，从而(I)和()的公共解也就是(I)和()的公共解，可以解(I)和()的联立方程组来求得例如()可以是： 这种思路的困难在于构造方程组()，在考场上不是每个考生都能很顺利完成的 另一种思路为：(I)和()的公共解都必定是()的解，因此有 c 1 1 +c 2 2 的形式它又满足(I)，由此可决定 c 1 与 c 2 应该满足的条件 具体计算过
31、程：将 c 1 1 +c 2 2 =(一 c 2 ，c 1 +2c 2 ，c 1 +2c 2 ，c 1 ) T ，代入(I)，得到 )解析：23.设(I)和()都是 4 元齐次线性方程组，已知 1 =(1，0，1，1) T ， 2 =(一 1，0，10) T ， 3 =(0，l，1，0)。是(I)的一个基础解系， 1 =(0，1，0，1) T ，=(1，1 一 1，0) T 是()的一个基础解系求(I)和()公共解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：现在(I)也没有给出方程组，(I)有一个基础解系 1 ， 2 ， 3 ，c 1 1 +c 2 2 满足(I)的充分 必要条件为 c 1 1
32、+c 2 2 能用 1 ， 2 ， 3 线性表示，即 r( 1 ， 2 ， 3 ，c 1 1 +c 2 2 )=r( 1 ， 2 ， 3 )于是可以通过计算秩来决定 c 1 ，c 2 应该满足的条件： )解析：24.设(I)和()都是 3 元非齐次线性方程组，(I)有通解 1 +c 1 1 +c 2 2 ， 1 =(1，0，1，)， 1 =(1，1，0)， 2 =(1，2，1)；()有通解 2 +c， 2 =(0，1，2)，=(1，1，2)求(I)和()的公共解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：公共解必须是()的解，有 2 +c 的形式，它又是(I)的解，从而存在 c 1 ，c 2 使得 2 +c=+c 1 1 +c 2 2 ，于是 2 +c 一 1 可用 1 ， 2 线性表示，即r( 1 ， 2 ， 2 +c 一 1 )=r( 1 ， 2 )=2 )解析：
