1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 98 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：27，分数：58.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设(I)和()是两个四元齐次线性方程组，(I)的系数矩阵为 （分数：4.00）(1).求(I)的一个基础解系；（分数：2.00）_(2).a 为什么值时(I)和()有公共非零解?此时求出全部公共非零解（分数：2.00）_2.已知齐次方程组(I) （分数：2.00）_3.已知两个线性方程组 （分数：2.00）_4.已知齐次方程组 （分数：2.00）_5.设齐次方程组(I) 有一个基础解系 1 =(b 11 ，b
2、12 ，b 12n ) T ， 2 (b 11 ，b 22 ，b 22n ) T ， n =(b n1 ，b n2 ，b n2n ) T 证明 A 的行向量组是齐次方程组() （分数：2.00）_6.构造齐次方程组，使得 1 =(1，1，0，一 1) T ， 2 =(0，2，1，1) T 构成它的基础解系（分数：2.00）_7.设 1 , 2 ， s ， 1 2 ， t 线性无关，其中 1 , 2 ， s 是齐次方程组 AX=0 的基础解系证明 A 1 ，A 2 ，A t 线性无关（分数：2.00）_8.设 1 ， 2 ， 3 为 3 个 n 维向量，已知 n 元齐次方程组 Ax=0 的每个解
3、都可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，并且 r(A)=n 一 3，证明 1 ， 2 ， 3 为 AX=0 的一个基础解系（分数：2.00）_9.n 元非齐次线性方程组 AX= 如果有解，则解集合的秩为=nr(A)+1（分数：2.00）_10.设 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，a+2，一 3a) T ， 3 =(一 1，一 b 一 2，a+2b) T ，=(1，3，一 3) T 试讨论当 a，b 为何值时， (1) 不能用 1 , 2 , 3 线性表示； (2) 能用 1 , 2 , 3 唯一地线性表示，求表示式； (3) 能用 1 , 2 , 3 线性表示，且表示式不唯一，求表示
4、式的一般形式（分数：2.00）_11.已知平面上三条直线的方程为 l 1 ：ax+2by+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0， l 3 ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+C=0（分数：2.00）_12.设 （分数：2.00）_13.设 （分数：2.00）_14.如果 n 阶矩阵 A 的秩 r(A)1，(n1)，则 A 的特征值为 0，0，0，tr(A)（分数：2.00）_15.设 ， 都是 n 维列向量时，证明 T 的特征值为 0，0，0， T 如果 不是零向量，则 是 T 的特征向量，特征值为 T （分数：2.00）_16.已知 =(1，1，
5、一 1) T 是 （分数：2.00）_17.已知 是可逆矩阵 （分数：2.00）_18.设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，一 2，1) T ， 3 =(一 2，一 1，2) T ，它们的特征值依次为 1，2，3，求 A（分数：2.00）_19.设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T ，它们的特征值依次为 1，2，3又设 =(1，1，3) T ，求 A n （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.求 A 的特征值 （分数：2.00）_22.设 （分
6、数：2.00）_23.A 是 2 阶矩阵，2 维列向量 1 ， 2 线性无关，A 1 = 1 + 2 ，A 2 =4 1 + 2 求 A的特征值和A（分数：2.00）_设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，又 1 =(1，2，2) T 和 2 =(0，2，1) T 分别是(A 一 E)X=0 的(A+E)X=0 的解（分数：4.00）(1).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：4.00）(1).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_24.设 4 阶矩阵 A 满足 A 3 =A (1)证明 A 的特征值不能为 0，1，和-1 以外的数 (2)如果 A 还满足A+2E=8，确定 A 的特征值（分数：2.00）_
