1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 99 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶非零矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 A 3 =0，则( )（分数：2.00）A.E 一 A 不可逆，E+A 不可逆B.EA 不可逆，E+A 可逆C.EA 可逆，E+A 可逆D.E 一 A 可逆，E+A 不可逆3.A 是 4 阶实对称矩阵，A 2 +2A=0，r(A)=3，则 A 相似于( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00
2、)4.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，如果2A=一 48，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_5.A 是 3 阶矩阵，特征值为 1，2，2则4A -1 一 E= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.A 是 3 阶矩阵，它的特征值互不相等，并且A=0，则 r(A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：64.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_8.已知 3 阶矩阵 A 满足A+E=AE=4E 一 2A=0，求A 3 一 5A 2 （分数：2.00）_9.设 =(1，2，一 1) T ，=(一 2，1，一 2) T ，A=E 一
3、T 求A 2 2A+2E（分数：2.00）_10.设 =(1，0，一 1) T ，A= T ，求aEA n （分数：2.00）_11.计算 （分数：2.00）_12.已知 n 阶矩阵 A 满足 A 3 =E (1)证明 A 2 2A 一 3E 可逆 (2)证明 A 2 +A+2E 可逆（分数：2.00）_13.设 n 阶矩阵 A 满足 A 4 +2A 3 一 5A 2 +2A+5E=0证明 A 一 2E 可逆（分数：2.00）_14.设 （分数：2.00）_15.设 A 和 B 都是可相似对角化的 n 阶矩阵，证明 A 和 B 相似 （分数：2.00）_16.已知 3 阶矩阵 （分数：2.00
4、）_设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性的无关 3 维列向量组，满足 A 1 = 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 + 2 +2 3 ，A 3 =2 1 +2 2 + 3 （分数：4.00）(1).求 A 的特征值（分数：2.00）_(2).判断 A 是否相似于对角矩阵?（分数：2.00）_17.求 A 的特征值判断 a，b 取什么值时 A 相似于对角矩阵? （分数：2.00）_已知 （分数：4.00）(1).求 x，y（分数：2.00）_(2).求作可逆矩阵 U，使得 U 一 1 A U=B（分数：2.00）_（分数：4.00）(1).问 k 为何值时 A 可相似对
5、角化?（分数：2.00）_(2).此时作可逆矩阵 U，使得 U 一 1 A U 是对角矩阵（分数：2.00）_已知 （分数：4.00）(1).求作可逆矩阵 U，使得 U 一 1 AU 是对角矩阵（分数：2.00）_(2).计算AE（分数：2.00）_18.设 ， 都是 n 维非零列向量，A= T 证明：A 相似于对角矩阵 （分数：2.00）_设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 （分数：6.00）(1).求作矩阵 B，使得 A( 1 , 2 , 3 )=( 1
6、, 2 , 3 )B（分数：2.00）_(2).求 A 的特征值（分数：2.00）_(3).求作可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_19.已知 n 阶矩阵 A 满足(AaE)(A 一 bE)=0，其中 ab，证明 A 可对角化（分数：2.00）_20.A 是 n 阶矩阵，数 ab证明下面 3 个断言互相等价：(1)(A 一 aE)(A 一 6E)=0(2)r(AaE)+r(A 一bE)=n(3)A 相似于对角矩阵，并且特征值满足( 一 a)( 一 b)=0（分数：2.00）_21.构造正交矩阵 Q使得 Q T AQ 是对角矩阵 （分数：2.00）_设 3 阶实对
7、称矩阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1 =(一 1，2，一 1) T ， 2 =(0，一 1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解（分数：6.00）(1).求 A 的特征值和特征向量（分数：2.00）_(2).求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A（分数：2.00）_(3).求 A 及A 一(32)E 6 （分数：2.00）_22. 正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 是对角矩阵，并且 Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_23.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，3， 1 =(一 1，一 1，1) T 和 2 =(1，一 2，一 1) T 分别是属于
8、 1 和 2 的特征向量，求属于 3 的特征向量，并且求 A（分数：2.00）_3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，一 2， 1 =(1，一 1，1) T 是 A 的属于 1 的特征向量记 B=A 5 一4A 3 +E（分数：4.00）(1).求 B 的特征值和特征向量（分数：2.00）_(2).求 B（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 99 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 n 阶非零矩阵，E 是 n 阶单位矩阵
9、，若 A 3 =0，则( )（分数：2.00）A.E 一 A 不可逆，E+A 不可逆B.EA 不可逆，E+A 可逆C.EA 可逆，E+A 可逆 D.E 一 A 可逆，E+A 不可逆解析：3.A 是 4 阶实对称矩阵，A 2 +2A=0，r(A)=3，则 A 相似于( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：用排除法 由于 A 2 +2A=0，A 的特征值满足 2 +2=0，因此只可能是 0 或一 2于是和它相似的矩阵的特征值也只可能是 0 或一 2AB 中的矩阵的特征值中都有 2 因此不可能相似于 A，都可排除又 r(A)=3，和它相似的矩阵的秩也应该是 3，C 中矩阵的秩为 2，也
10、可排除二、填空题(总题数：3，分数：6.00)4.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，如果2A=一 48，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：2A=8A，得A=一 6又A=23得 =一 15.A 是 3 阶矩阵，特征值为 1，2，2则4A -1 一 E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：A 一 1 的特征值为 1，12，124A 一 1 一 E 的特征值为 3，1，1，4A 一 1 一 E=36.A 是 3 阶矩阵，它的特征值互不相等，并且A=0，则 r(A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_
11、（正确答案：正确答案：2）解析：解析：A 的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是 A 的特征值，为 3 个互不相等数其中有一个为 0(因为A=0)，则 r(A)=2三、解答题(总题数：24，分数：64.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：8.已知 3 阶矩阵 A 满足A+E=AE=4E 一 2A=0，求A 3 一 5A 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：条件说明一 1，1，2 是 A 的特征值 得出 A 3 5A 2 的 3 个特征值：记 f(x)=x 3 5x 2 ，则 A 3 5A 2 的 3 个特征值为 f(一 1) =一 6
12、，f(1)=一 4，f(2)=一 12 A 3 5A 2 =(一 4)(一 6)(一 12)=一 288)解析：9.设 =(1，2，一 1) T ，=(一 2，1，一 2) T ，A=E 一 T 求A 2 2A+2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用特征值计算 T =2，于是 T 的特征值为 0，0，2，从而 A 的特征值为 1，1，一 1，A 2 2A+2E 的特征值为 1，1，5于是A 2 -2A+2E=115=5)解析：10.设 =(1，0，一 1) T ，A= T ，求aEA n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用特征值计算 T 的特征值为 0，0，2 A n 的
13、特征值为 0，0，2 n aEA n 的特征值为 g，g，a 一 2 n aEA n =a 2 (a2 n )解析：11.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记矩阵 则所求为AA=B+cE，而 )解析：12.已知 n 阶矩阵 A 满足 A 3 =E (1)证明 A 2 2A 一 3E 可逆 (2)证明 A 2 +A+2E 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是 0 不是它的特征值 由于 A 3 =E，A的特征值都满足 3 =1 (1)A 2 一 2A 一 3E=(A 一 3E)(A+E)，3 和一 1 都不满足 3 =1，因此都不是A
14、的特征值于是(A 一 3E)和(A+E)都可逆，从而 A 2 一 2A 一 3E 可逆 (2)设 A 的全体特征值为 1 ， 2 ， n ，则 A 2 +A+2E 的特征值 i 2 + i +2，i=1，2，n 由于 i 3 =1， i 或者为 1，或者满足 i 2 + i +1=0于是 i 2 + i +2 或者为 4，或者为 1，总之都不是 0因此A 2 +A+2E 可逆)解析：13.设 n 阶矩阵 A 满足 A 4 +2A 3 一 5A 2 +2A+5E=0证明 A 一 2E 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由定理 51 的推论的，A 一 2E 可逆 )解析：14.设 （分
15、数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可先求出 B+2E(先求 A * ，再求 B，再求 B+2E)，然后求它的特征值与特征向量，这样做计算量大一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算 求特征值 A=C+E，其中 则 c 的特征值为 0，0，6，从而 A 的特征值为 1，1，7A=17=7 根据定理 55的，A * 的特征值为 7，7，1 BA * ，从而 B 和 A * 特征值完全一样，也是 7，7，1 用定理55 的，B+2E 的特征值为 9，9，3 求特征向量 A * 与 A 的对应特征值(指 1 与 7，7 与 1)的特征向量一样，B+2E 与 B 对应特征值(指 7 与
16、9，1 与 3)的特征向量也一样，根据定理 58 的，A * = )解析：15.设 A 和 B 都是可相似对角化的 n 阶矩阵，证明 A 和 B 相似 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“”是相似的重要性质“”设 A 和 B 的特征值完全相同记全部特征值为 1 ， 2 ， n ，构造对角矩阵 A，使得其对角线是的元素依次 1 ， 2 ， n 由于A 和 B 都是可相似对角化，有 A 一 A，和 BA，再从相似关系的传递性，得到 AB)解析：16.已知 3 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 a A 的特征多项式为 要使得它有二重根，有两种可能的情况： 2 是二重
17、根，即 2 是 2 一 8+18+3a 的根，即 4 一 16+1 8+3a=0，求出 a=一 2，此时三个特征值为2，2，6 2 是一重根，则 2 一 8+18+3a 有二重根， 2 一 8+18+3a=(x 一 4) 2 ，求出 a=一23此时三个特征值为 2，4，4 (2)讨论 A 是否相似于对角化矩阵 当 a=一 2 时，对二重特征值2，考察 3 一 r(A 一 2E)是否为 2 7 即 r(A 一 2E)是否为 1 当 a=一 23 时，对二二重特征值 4，考察 3 一 r(A 一 4E)是否为 2?即 r(A 一 4E)是否为 1 )解析：设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 ,
18、3 是线性的无关 3 维列向量组，满足 A 1 = 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 + 2 +2 3 ，A 3 =2 1 +2 2 + 3 （分数：4.00）(1).求 A 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用矩阵分解： A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 +2 2 +2 3 ，2 1 + 2 +2 3 ，2 1 +2 2 + 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B， 这里 从 1 , 2 , 3 线性无关的条件知道，( 1 , 2 , 3 )是可逆矩阵于是 A 相似于 B )解析：(2).判断 A 是否相似于对角矩阵?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B
19、是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A 也相似于对角矩阵)解析：17.求 A 的特征值判断 a，b 取什么值时 A 相似于对角矩阵? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： A 的特征值 0，5，b 如果 b0 和 5，则 A 的特征值两两不同，A 相似于对角矩阵 如果 b=0，则 A 的特征值 0，0，5 此时 A 相似于对角矩阵 特征值 0 的重数2=3 一 r(A) r(A)=1 a=0 于是 a=0 且 b=0 时 A 相似于对角矩阵；a0 且 b=0 时 A 不相似于对角矩阵； 如果 b=5，则 A 的特征值 0，5，5 此时 )解析：已知 （分数：4.00）(1)
20、.求 x，y（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 与 B 相似，从而有相同的特征值 2，2，y 2 是二重特征值，于是 )解析：(2).求作可逆矩阵 U，使得 U 一 1 A U=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求属于 2 的两个线性无关的特征向量：即求(A 一 2E)X=0 的基础解系： 得(A 一 2E)X=0 的同解方程组 x 1 =一 x 2 +x 3 ，得基础解系 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1) T 求属于 6 的一个特征向量：即求(A 一 6E)X=0 的一个非零解： 得(A 一 6E)X=0 的同解方程组 得解 3 =(1，一 2，3)
21、 T 令 U=( 1 ， 2 ， 3 )，则 )解析：（分数：4.00）(1).问 k 为何值时 A 可相似对角化?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求 A 的特征值： 于是 A 的特征值为 1(一重)和一 1(二重) 要使 A 可对角化，只需看特征值一 1要满足 3 一 r(a+E)=2，即 r(A+E)=1， 得 k=0， )解析：(2).此时作可逆矩阵 U，使得 U 一 1 A U 是对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求属于一 1 的两个线性无关的特征向量，即求(A+E)X=0 的基础解系： 得(A+E)X=0 的同解方程组 2x 1 +x 2 一 x 3 =0
22、得基础解系 1 =(1，0，2) T ， 2 =(0，1，1) T 求属于 1 的一个特征向量，即求(AE)X=0 的一个非零解： 得(AE)X=0 的同解方程组 得解 3 =(1，0，1) T 令 U=( 1 ， 2 ， 3 )，则 )解析：已知 （分数：4.00）(1).求作可逆矩阵 U，使得 U 一 1 AU 是对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 A 的特征值 A 的特征值为 a+1(二重)和 a2(一重) 求属于 a+1 的两个线性无关的特征向量，即求A 一(a+1)EX=0 的基础解系： 得A 一(a+1)EX=0 的同解方程组 x 1 =x 2 +x 3 ， 得
23、基础解系 1 =(1，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T 求属于 a 一 2 的一个特征向量，即求A 一(a 一 2)EX=0 的一个非零解： 得A 一(a 一 2)EX=0 的同解方程组 得解 3 =(一 1，1，1) T 令 U=( 1 ， 2 ， 3 )，则 )解析：(2).计算AE（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AE 的特征值为 a(二重)和 a 一 3，于是AE=a(a3)解析：18.设 ， 都是 n 维非零列向量，A= T 证明：A 相似于对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 0，0，0， T 由相似对角化的判别法则二，只用对重数大于
24、 1 的特征值 0，检查其重数是否等于 nr(A0E)=n 一 r(A)=n1 当 T =0 时，0 的重数是n，A 不能相似对角化 当 T 0 时，0 的重数是 n1，A 可相似对角化)解析：设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 （分数：6.00）(1).求作矩阵 B，使得 A( 1 , 2 , 3 )=( 1 , 2 , 3 )B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已经用矩阵分解求出 )解析：(2).求 A 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确
25、答案：由于 1 , 2 , 3 线性无关，( 1 , 2 , 3 )是可逆矩阵，并且( 1 , 2 , 3 ) 一 1 A( 1 , 2 , 3 )=B，因 此 A 和 B 相似，特征值相同 )解析：(3).求作可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先把 B 对角化求出 B 的属于 1 的两个无关的特征向量(1，一 1，0) T ，(0，2，一 1) T ；求出 B 的属于 4 的一个特征向量(0，1，1) T 构造矩阵 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )D=( 1 一 2 ，2 2 一 3 ， 2 + 3 )，则 )解析：19.已知 n 阶
26、矩阵 A 满足(AaE)(A 一 bE)=0，其中 ab，证明 A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 A 的特征值只能是 a 或 b 设 A 是 A 的特征值，则(a)( 一 b)=0，即 =a 或 =b 如果 6 不是 A 的特征值，则 A 一 6E 可逆，于是由(A 一 aE)(A 一 bE)=0 推出 AaE=0，即 A=aE 是对角矩阵 如果 b 是 A 的特征值，则A 一 bE=0设 1 ， 2 ， t 是齐次方程组(A 一 6E)X=0 的一个基础解系(这里 t=n 一 r(A 一 bE)，它们都是属于 b 的特征向量取 A 一 bE的列向量组的一个最大无
27、关组 1 ， 2 ， k ，这里 k=r(A 一 6E)则 1 ， 2 ， k 是属于 a 的一组特征向量则有 A 的 k+t=n 个线性无关的特征向量组 1 ， 2 ， k ； 1 ， 2 ， t ，因此 A 可对角化)解析：20.A 是 n 阶矩阵，数 ab证明下面 3 个断言互相等价：(1)(A 一 aE)(A 一 6E)=0(2)r(AaE)+r(A 一bE)=n(3)A 相似于对角矩阵，并且特征值满足( 一 a)( 一 b)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 a 和 b 都是 A 的特征值(因为如果 a 不是 A 的特征值，则 3 个断言都推出A=bE如果 b 不是
28、 A 的特征值，则 3 个断言都推出 A=aE) (1)(2) 用关于矩阵的秩的性质，由(A 一 aE)(A 一 bE)=0得到： r(A 一 aE)+r(A 一 bE)n， r(A 一 aE)+r(A 一 bE)r(A 一 aE)一(A 一 bE)=r(b一 a)E)=n， 从而 r(A 一 aE)+r(A 一 bE)=n (2)(3) 记 k a ，k b 分别是 a，b 的重数，则有 k a nr(A 一 aE) k b n 一 r(A 一 bk) 两式相加得 nk a +k b nr(A 一 aE)+nr(A 一 bE)=n，于是其中“”都为”=”，从而 和都是等式，并且 k a +k
29、 b =n k a +k b =n，说明 A 的特征值只有 a 和 b，它们都满足( 一 a)( 一 b)=0 和都是等式，说明 A 相似于对角矩阵 (3)(1) 4 的特征值满足( 一 a)( 一 b)=0，说明 A 的特征值只有 cz 和 6设 B 是和 A 相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是 a 或 b，于是(B 一 aE)(B 一 bE)=0而(A 一 aE)(A 一 bE)相似于(B 一 aE)(B 一 bE)，因此(AaE)(A 一 bE)=0)解析：21.构造正交矩阵 Q使得 Q T AQ 是对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先求特征值 A 的特征值为 0，2，6 再求单位正交特征向量组 属于 0的特征向量是齐次方程组 AX=0 的非零解， 得 AX=0 的同解方程组 求得一个非零解为(1，1，一 1) T ，单位化得 属于 2 的特征向量是齐次方程组(A 一 2E)X=0 的非零解，
