1、考研数学二-109 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：20，分数：100.00)1.设 f(x)在a，b上连续，且 ax 1 x 2 x n b，C i (i=1，2，3，n)为任意正数，则在(a，b)内至少存在一个 ，使 （分数：5.00）_2.设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)a，f(b)b，试证在(a，b)内至少存在一个 ，使 f()= （分数：5.00）_3.设 f(x)在0，1上连续，且 0f(x)1，证明：在0，1上，至少存在一个 ，使得 f()= （分数：5.00）_4.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，而且 f(a)g(a)，f
2、(b)g(b)，则在(a，b)内存在一个 ，使得 f()=g() （分数：5.00）_5.证明方程 x 5 -3x-2=0 在(1，2)内至少有一个实根 （分数：5.00）_6.设函数 f(x)在闭区间0，1上可微，对于0，1上每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f“(x)1，证明：在(0，1)内有且仅有一个 x，使 f(x)=x （分数：5.00）_7.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：5.00）_8.设函数 f(x)在1，2上有二阶导数，且 f(1)=f(2)=0，又 F(x)=(x-1) 2 f(x)，证明：在(1，2)内至少存在一个 ，使
3、 F“()=0 （分数：5.00）_9.设 f(x)在0，x(x0)上连续，在(0，x)内可导，且 f(0)=0，试证：在(0，x)内存在一个 ，使 f(x)=(1+)ln(1+x)f“() （分数：5.00）_10.设 f(x)在a，b上可导，且 ab0，试证：存在一个 (a，b)，使 （分数：5.00）_11.设 f(x)，g(x)，h(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明：存在一个 (a，b)，使 （分数：5.00）_12.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)，试证：至少存在一个 (0，1)，使 （分数：5.00）_13.设 f(x)在x 1 ，x 2 上可导，
4、且 0x 1 x 2 ，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少存在一个 ，使 （分数：5.00）_14.若 x 1 x 2 0，证明，存在一个 (x 1 ，x 2 )或(x 2 ，x 1 )，使 x 1 e x2 -x 2 e x1 =(1-)e (x 1 -x 2 ) （分数：5.00）_15.函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，试证：至少存在一个(a，b)使 f“()g()=g“()f() （分数：5.00）_16.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，试证：至少存在一个 (a，b)使 （分数：5.00）_1
5、7.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内有二阶连续导数，试证：至少存在一个 (a，b)使 （分数：5.00）_18.设 f(x)在a，b上连续(0ab)，在(a，b)内可导，证明：在(a，b)内， ，使 （分数：5.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，试证： （分数：5.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0试证：，(a，b)，使得 （分数：5.00）_考研数学二-109 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：20，分数：100.00)1.设 f(x)在a，b上
6、连续，且 ax 1 x 2 x n b，C i (i=1，2，3，n)为任意正数，则在(a，b)内至少存在一个 ，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 所以存在 (a，b)，使得 2.设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)a，f(b)b，试证在(a，b)内至少存在一个 ，使 f()= （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：假设 F(x)=f(x)-x，则 F(a)=f(a)-a0，F(b)=f(b)-b0，于是由介值定理，在(a，b)内至少存在一个 ，使 f()=.3.设 f(x)在0，1上连续，且 0f(x)1，证明：在0，1上，至少存在一个 ，使得 f()= （分
7、数：5.00）_正确答案：()解析：证明：(反证法)设 x0，1，(x)=f(x)-x0则 (x)=f(x)-x 恒正或恒负不妨设 x0，1，(x)=f(x)-x0令 ，则 m0 因此 4.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，而且 f(a)g(a)，f(b)g(b)，则在(a，b)内存在一个 ，使得 f()=g() （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：假设 F(x)=f(x)-g(x)，则 F(a)=f(a)-g(a)0，F(b)=f(b)-g(b)0，于是由介值定理，在(a，b)内至少存在一个 ，使 f()=g()5.证明方程 x 5 -3x-2=0 在(1，2)内至少有一个实根
8、 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 F(x)=x 5 -3x-2，则 F(1)=-40，F(2)=240，所以在(1，2)内至少有一个 ，满足F()=06.设函数 f(x)在闭区间0，1上可微，对于0，1上每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f“(x)1，证明：在(0，1)内有且仅有一个 x，使 f(x)=x （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：由条件知 0f(x)1令 F(x)=f(x)-x，于是 F(0)0，F(1)0，所以存在 (0，1)，使 F()=0假设存在 1 ， 2 (0，1)，满足 f( 1 )= 1 ，f( 2 )= 2 ，不妨假
9、设 2 1 ，于是 1 - 2 =f( 1 )-f( 2 )=f“()( 1 - 2 )，( 2 1 )，所以 f“()=1，矛盾所以 f(x)仅有一个 x，使 f(x)=x7.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明： ，其中 8.设函数 f(x)在1，2上有二阶导数，且 f(1)=f(2)=0，又 F(x)=(x-1) 2 f(x)，证明：在(1，2)内至少存在一个 ，使 F“()=0 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：由于 F(1)=F(2)=0，所以存在 1 ，1 1 2，满足 F“( 1 )=0，又 F“(1)=0
10、，所以存在 ，满足 1 1 2，且 F“()=09.设 f(x)在0，x(x0)上连续，在(0，x)内可导，且 f(0)=0，试证：在(0，x)内存在一个 ，使 f(x)=(1+)ln(1+x)f“() （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 F(t)=f(t)，G(t)=ln(1+t)，由柯西定理，得 所以 10.设 f(x)在a，b上可导，且 ab0，试证：存在一个 (a，b)，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 F(x)=x n f(x)，由拉格朗日定理，得 b n f(b)-a n f(a)=n n-1 f()+ n f“()(b-a)，(a，b)，即 11
11、.设 f(x)，g(x)，h(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明：存在一个 (a，b)，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 则 F(a)=F(b)=0，所以存在在一个 (a，b)，使 12.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)，试证：至少存在一个 (0，1)，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明： 两边积分可得 lnf“(x)(x-1) 2 =c，所以 f“(x)(x-1) 2 =e c ) 令 F(x)=f“(x)(x-1) 2 ，F“(x)=f“(x)(x-1) 2 +2f“(x)(x-1)，由 f(0)=f(1)=0 知存在 (0
12、，1)，f“()=0，即 F()=0 又 F(1)=0所以存在 (，1)，F“()=0立即可得 13.设 f(x)在x 1 ，x 2 上可导，且 0x 1 x 2 ，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少存在一个 ，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 F(x)=e -x f(x)，G(x)=e -x .由柯西定理， (x 1 ，x 2 )，使得 14.若 x 1 x 2 0，证明，存在一个 (x 1 ，x 2 )或(x 2 ，x 1 )，使 x 1 e x2 -x 2 e x1 =(1-)e (x 1 -x 2 ) （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：不妨假设 0x
13、1 x 2 ，令 ，在x 1 ，x 2 上使用柯西定理， (x 1 ，x 2 )，使得 15.函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，试证：至少存在一个(a，b)使 f“()g()=g“()f() （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令16.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，试证：至少存在一个 (a，b)使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 ，则 ，由拉格朗日中值定理，至少存在一个 a，b)，使 17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内有二阶连续导数，试证：至少存在一个 (a，
14、b)使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明： x，ta，b，有 ，其中 介于 x，t 之间 令 ，分别令 x=b，x=a，得到 两式相加，得 所以存在 (a，b)，使得 18.设 f(x)在a，b上连续(0ab)，在(a，b)内可导，证明：在(a，b)内， ，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 F(x)=f(x)， ，由柯西定理，存在 (a，b)，使得 即 ，由拉格朗日定理知 (a，b)，使得 19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，试证： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：对于 F(x)=e x f(x)，由拉格朗日定理， (a，b)使得 对 G(x)=e x ，在a，b上使用拉格朗日定理，则存在 (a，b)，使得 则 20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0试证：，(a，b)，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 g(x)=e x ，由柯西定理，得存在 (a，b)，使得 所以 由拉格朗日中值定理， (a，b) 使得
