1、考研数学二-110 及答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：15，分数：100.00)求解下列微分方程：（分数：7.00）(1).y“-e x-y +e x =0；（分数：3.50）_(2). （分数：3.50）_求解下列微分方程：（分数：7.00）(1). （分数：3.50）_(2). （分数：3.50）_求解下列微分方程：（分数：10.50）(1). （分数：3.50）_(2).(x-2xy-y 2 )dy+y 2 dx=0；（分数：3.50）_(3).xy“sinylnx+cosy(1-xcosy)=0（分数：3.50）_求解下列微分方程：（分数：11.
2、01）(1).e y dx+(xe y -2y)dy=0；（分数：3.67）_(2). （分数：3.67）_(3).(x 2 +y 2 +2x)dx+2ydy=0（分数：3.67）_1.设函数 (x)在实轴上连续，“(0)存在，且具有性质 (x+y)=(x)(y)，试求出 (x) （分数：5.00）_2.证明： （分数：5.00）_求解下列方程：（分数：7.00）(1).ydx+(y-x)dy=0，y(0)=1；（分数：3.50）_(2).x(y“+1)+sin(x+y)=0， （分数：3.50）_求解下列方程：（分数：10.50）(1).(1+x 2 )y“+(y“) 2 +1=0；（分数：
3、3.50）_(2).xy“+x(y“) 2 -y“=0，y(2)=2，y“(2)=1；（分数：3.50）_(3).2y“+(y“) 2 =y，y(0)=2，y“(0)=1（分数：3.50）_求解下列微分方程：（分数：7.00）(1).y (5) +y (4) +2y“+2y“+y“+y=0；（分数：3.50）_(2).y (4) -5y“+10y“-6y=0，y(0)=1，y“(0)=0，y“(0)=6，y“(0)=-14（分数：3.50）_求解下列微分方程：（分数：10.50）(1).y“+y=x+3sin2x+2cosx；（分数：3.50）_(2).y“+y=2xe x +4sinx，y(
4、0)=y“(0)=0；（分数：3.50）_(3).y“+4y“+4y=e ax （分数：3.50）_3.求 xOy 平面上一曲线，使其过每点的切线同该点的向径及 Oy 轴构成一个等腰三角形 （分数：3.50）_4.一质量为 m 的物体，在黏性液体中静止自由下落，假如液体阻力与运动速度成正比，试求物体运动的规律 （分数：3.50）_5.有一盛满了水的圆锥形漏斗，高 10cm，顶角 =60，漏斗尖处有面积为 0.5cm 2 的小孔，求水流出时漏斗内水深的变化规律，并求出水全部流出所需的时间(提示：水从深处为 h 的孔流出的速度 （分数：3.50）_6.设经过原点的曲线簇上任一点 P 处的切线交 x
5、 轴于点 T，从点 P 向 x 轴作垂线，其垂足为 Q，已知PT，PQ 与 x 轴所围成的三角形的面积与曲边三角形 OPQ 的面积之比等于常数 k，k （分数：5.50）_7.有一房间容积为 100m 3 ，开始时房间空气中含有二氧化碳 0.12%，为了改善房间的空气质量，用一台风量为 10m 3 /min 的排风扇通入含 0.04%的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出 10min 后，房间中二氧化碳的含量的百分比 （分数：3.50）_考研数学二-110 答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：15，分数：100.00)求解下列微分
6、方程：（分数：7.00）(1).y“-e x-y +e x =0；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 求解下列微分方程：（分数：7.00）(1). （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 ，x=yu(将 y 看成自变量) (2). （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 求解下列微分方程：（分数：10.50）(1). （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 u=sin 2 y，则 u“=y“sin2y于是 为一阶线性方程， 解得 (2).(x-2xy-y 2 )dy+y 2 dx=0；（分数：3.50）_正确
7、答案：()解析：解 原方程可化为 即 为一阶线性方程(把 y 看成自变量，x 看成因变量) 解得： (3).xy“sinylnx+cosy(1-xcosy)=0（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 cosy=u，则 u“=-y“siny -u“xlnx+u(1-xu)=0，即 为伯努利方程 为一阶线性方程 解得 求解下列微分方程：（分数：11.01）(1).e y dx+(xe y -2y)dy=0；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 e y dx+xe y dy-2ydy=0 于是 d(xe y )-dy 2 =0两边积分得 xe y -y 2 =C，即方程的解为 xe y
8、 -y 2 =C(2). （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 设函数 u(x，y)满足 所以 ，两边积分得 即原方程的解为 (3).(x 2 +y 2 +2x)dx+2ydy=0（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由原方程可得(x 2 +y 2 )dx+d(x 2 +y 2 )=0， 即 1.设函数 (x)在实轴上连续，“(0)存在，且具有性质 (x+y)=(x)(y)，试求出 (x) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 (0+0)=(0)(0)，(0)= 2 (0)，(0)=0，(0)=1 若 (0)=0，对任何 x 有 (x+x)=(x)(x)， 所以 即 (x)=
9、0 若 (0)=1 2.证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 显然 y(x 0 )=y 0 因为 求解下列方程：（分数：7.00）(1).ydx+(y-x)dy=0，y(0)=1；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 原方程可化为 (2).x(y“+1)+sin(x+y)=0， （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 x+y=u则 u“=1+y“于是原方程变为 求解下列方程：（分数：10.50）(1).(1+x 2 )y“+(y“) 2 +1=0；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 y“=p，则 所以 两边积分，得 arctanp=-arctanx+c
10、两边积分，得 (2).xy“+x(y“) 2 -y“=0，y(2)=2，y“(2)=1；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 y“=p，则 于是原方程变为 ，为一阶线性方程 (3).2y“+(y“) 2 =y，y(0)=2，y“(0)=1（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 y“=p，则 原方程化为 令 p 2 =u， 为关于 y 的一阶线性方程且 ，即 u(2)=1 解得 u=y-1+ce -y 所以 1=u(2)=2-1+Ce -2 =1+Ce -2 ，C=0 于是 u=y-1， ，两边积分得， y(0)=2，得到 C 1 =1，得解 求解下列微分方程：（分数：7.00
11、）(1).y (5) +y (4) +2y“+2y“+y“+y=0；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 特征方程为 5 + 4 +2 3 +2 2 +1=0 (2).y (4) -5y“+10y“-6y=0，y(0)=1，y“(0)=0，y“(0)=6，y“(0)=-14（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 特征方程为 4 -5 2 +10-6=0 (-1)(+3)( 2 -2+2)=0 1 =1， 2 =-3， 3,4 =1i 于是 y=c 1 e x +c 2 e -3x +e x (c 3 cosx+c 4 sinx) 由 y(0)=1，y“(0)=0，y“(0)=6，y“
12、(0)=-14， 求解下列微分方程：（分数：10.50）(1).y“+y=x+3sin2x+2cosx；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +1=0 =i 原方程对应的齐次方程通解为 y=c 1 cosx+c 2 sinx (2).y“+y=2xe x +4sinx，y(0)=y“(0)=0；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +1=0，=i 原方程对应的齐次方程通解为 非齐次方程通解 (3).y“+4y“+4y=e ax （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +4+4=0 1 = 2 =-2 原方程对应的齐次方程的通解为
13、=(c 1 +c 2 x)e -2x 当 a=-2 时， 当 a-2 时， 所以 3.求 xOy 平面上一曲线，使其过每点的切线同该点的向径及 Oy 轴构成一个等腰三角形 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 设所求的曲线为 y=f(x)曲线上点(x，y)处的切线方程为 Y-y-f“(x)(X-x) 令 X=0，A 点坐标0，y-xf“(x) (1)若 AB=AC，则 y-xf“(x) 2=x 2 +xf“(x) 2 ，化简，得 令 u=y 2 ，则 为一阶线性方程 得解 u=-x 2 +cx，即 y 2 +x 2 -cx=0 (2)若 AC=BC，则 x 2 +xf“(x) 2 =x
14、2 +y 2 ， 所以 y=cx(舍去)，xy=c (3)若 AB=BC，则 (y-xf“(x) 2 =x 2 +y 2 ，化简得-2yf“(x)+xf“(x) 2 =x， 4.一质量为 m 的物体，在黏性液体中静止自由下落，假如液体阻力与运动速度成正比，试求物体运动的规律 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 取物体的初始位置为坐标原点，取向下为 x 轴正方向x(t)表示在时刻 t 时物体位置物体的重力为 mg，阻力为 (k 为比例系数)由牛顿定律得到： 5.有一盛满了水的圆锥形漏斗，高 10cm，顶角 =60，漏斗尖处有面积为 0.5cm 2 的小孔，求水流出时漏斗内水深的变化规律，
15、并求出水全部流出所需的时间(提示：水从深处为 h 的孔流出的速度 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 高为 h，顶角为 60的圆锥的底圆半径为 ，于是 所以满足初始条件的解为： 当 h=0 时，得 6.设经过原点的曲线簇上任一点 P 处的切线交 x 轴于点 T，从点 P 向 x 轴作垂线，其垂足为 Q，已知PT，PQ 与 x 轴所围成的三角形的面积与曲边三角形 OPQ 的面积之比等于常数 k，k （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 在 P(x，y)处的切线方程为 Y-y=y“(X-x) 则 则 PQT 的面积为 曲边三角形 OPQ 的面积为 ，于是得方程 两边对 x 求导，得到
16、 令 y“=p，则 若 p=0，y=c因为 y(0)=0，则 y=0，不合题意 若 p0， ，lnp=2(1-k)lny+lnc 1 ，p=c 1 y 2(1-k) 7.有一房间容积为 100m 3 ，开始时房间空气中含有二氧化碳 0.12%，为了改善房间的空气质量，用一台风量为 10m 3 /min 的排风扇通入含 0.04%的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出 10min 后，房间中二氧化碳的含量的百分比 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 假设在 t 时刻房间中二氧化碳的含量百分比为 x%，即房中二氧化碳含量为 x设 dt 时刻后二氧化碳含量改变量为 dx则 解之得 于是
