1、考研数学二-111 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A，B 为 n 阶矩阵，其中 A 可逆，B 不可逆，A *，B *分别是 A、B 的伴随矩阵，则 ( )（分数：4.00）A.A*+B*必可逆B.A*+B*必不可逆C.A*B*必可逆D.A*B*必不可逆2.设 ，则 = ( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)和 (x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数且 f(x)0，(x)有间断点，则 ( )（分数：4.00）A.f(x)必有间断点B.(x) 2必有间断点C.f(x)必有间断点D.必有间断点4
2、.设函数 f(x)对任意实数 x 满足 f(1+x)=f(x)，且 f(0)=，其中 、 为非零常数，则 ( )（分数：4.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=C.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=D.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=5.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 y=y(x)由方程组 确定，则 等于 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知(xy 3-y2cosx)dx+(1+ysinx+3x 2y2)dy 是某 u(x，y)的全微分，
3、则常数 ， 的值分别是 ( )（分数：4.00）A.=-2，=2B.=2，=-2C.=-3，=3D.-3，=-38.已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第 2 列与第 3 列交换得 B，再把 B 的第 1 列的-2 倍加至第 3 列得 C，则满足 PA-1=C-1的矩阵 P 为 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.为了使函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 （分数：4.00）填空项 1:_11.不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.定积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 yy“=2(y2-y)满足初始条件
4、 y(0)=1，y(0)=2 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_14.向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，4) T， 3=(-3，2，3，-11) T， 4=(1，3，10，0) T的一个极大线性无关组是_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设(1)求 du； (2)求 （分数：9.00）_16.设 f(x)在a，b上具有三阶连续导数，试证：存在 (a，b)，使得（分数：11.00）_17.计算二重积分： （分数：10.00）_18.用微分学知识作出函数 （分数：11.00）_19.设曲线 r=r()上任意一点 M(r
5、，)，一定点 M0(2，0)，由此曲线与矢径 OM0，OM 围成的曲边扇形的面积等于两点 M0与 M 之间弧长的一半，求此曲线的方程（分数：10.00）_20.设 f(x)在(-，x 0)可导， （分数：10.00）_21.设 （分数：11.00）_22.设矩阵 （分数：11.00）_23.设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，其中 A 是正定矩阵，证明存在实数 t 使得 tA+B 是正定矩阵（分数：11.00）_考研数学二-111 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A，B 为 n 阶矩阵，其中 A 可逆，B 不可逆，A
6、*，B *分别是 A、B 的伴随矩阵，则 ( )（分数：4.00）A.A*+B*必可逆B.A*+B*必不可逆C.A*B*必可逆D.A*B*必不可逆 解析：考点 伴随矩阵的和或积的可逆性答案解析 (A)不正确，反例：*则*(D)正确，B 不可逆，即|B|=0，此时 B*必不可逆，即有|B *|=0；事实上，若不然，B *可逆，在 BB*=|B|E 两端右乘(B *)-1，则 B=|B|(B*)-1=O，于是 B*=O 与 B*可逆矛盾因此，|A *B*|=|A*|B*|=0，即 A*B*必不可逆，从而(C)不正确2.设 ，则 = ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 数列的极限答
7、案解析 *由于*，所以*应选(B)3.设 f(x)和 (x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数且 f(x)0，(x)有间断点，则 ( )（分数：4.00）A.f(x)必有间断点B.(x) 2必有间断点C.f(x)必有间断点D.必有间断点 解析：考点 非零连续函数与间断函数复合之后连续性答案解析 取 f(x)=1(x(-，+)，则 f(x)是连续函数；*则 (x)在 x=0 处有间断点，可是f(x)=(1)=1 (x(-，+)是连续函数，(A)不正确(x) 2*1(x(-，+)是连续函数，(B)不正确f(x)*1(x(-，+)是连续函数，(C)不正确由排除法知应选(D)4.设函数 f(x)
8、对任意实数 x 满足 f(1+x)=f(x)，且 f(0)=，其中 、 为非零常数，则 ( )（分数：4.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=C.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=D.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)= 解析：考点 函数在一点可导概念答案解析 在 f(1+x)=df(x)中取 x=0，则 f(1)=f(0)*即 f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=应选(D)5.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为 ( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 定积分的几何意义答案解析 y=x
9、(x-1)(2-x)图形如上图从而曲线与 x 轴所围图形面积记为 S，则*6.设 y=y(x)由方程组 确定，则 等于 ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 参数方程所确定函数的导数答案解析 x=3t 2+2t+3 对 t 求导，得 xt=6t+2=2(3t+1)又在 eysint-y+1=0 两边对 t 求导(注意 y=y(t)，得*从而*，由第二个方程，有 y|t=0=1，故*应选(A)7.已知(xy 3-y2cosx)dx+(1+ysinx+3x 2y2)dy 是某 u(x，y)的全微分，则常数 ， 的值分别是 ( )（分数：4.00）A.=-2，=2B.=2，=-2 C
10、.=-3，=3D.-3，=-3解析：考点 确定二元函数的全微分中的参数答案解析 *即有*，于是*由*与*的表达式可知它们都是连续函数，从而*于是3axy2-2ycosx=ycosx+6xy 2从而得*应选(B)8.已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第 2 列与第 3 列交换得 B，再把 B 的第 1 列的-2 倍加至第 3 列得 C，则满足 PA-1=C-1的矩阵 P 为 ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵的初等变换与初等矩阵答案解析 对 A 作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘 A，故*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.为了使函数 （分数：4.0
11、0）填空项 1:_ （正确答案：a=0，b=e）解析：考点 由间断点类型确定函数中的参数答案解析 为使 x=0 为 f(x)的无穷间断点，必须有*，因而 a=0，b1将 a=0 代入，*，进一步为了使 x=1 为可去间断点，则必须有*由*知，必须有*，即 b=e，因此*时 f(x)有无穷间断点 x=0，可去间断点 x=110.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求函数的 n 阶导数答案解析 分 n 为奇数，偶数两种情形讨论n 为奇数时，x n+1=(x+1)(xn-1-xn-2-xn-3-x+1)*总之无论 n 为奇数或偶数，*11.不定积分 （分数：4.00）
12、填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求不定积分答案解析 *12.定积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 用换元等技巧计算定积分答案解析 *则*注意到*将它代入(*)式中，得*13.微分方程 yy“=2(y2-y)满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求不显含 x 的可降阶的二阶微分方程特解答案解析 方程不显含 x，令 p=y，则*原方程可化为*，当 p0 时，进一步有：*-1)即*解为：p-1=c 1y2，代入 y(0)=1，p(0)=2，得c1=1，于是方程化为 y=1+y2其通
13、解为：y=tan(x+c 2)，再代入 y(0)=1，得*，从而原方程满足初始条件的特解为：*注意：就解方程而言，从*，还有两个特解：p=0 与 p=1，但它们都不满足初始条件 y(0)=p(0)=214.向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，4) T， 3=(-3，2，3，-11) T， 4=(1，3，10，0) T的一个极大线性无关组是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 1， 2或 1， 3或 1， 4）解析：考点 求向量组的极大线性无关组答案解析 把 i(i=1，2，3，4)写成列向量，构成矩阵 A，再用初等行变换将 A 化为阶梯形*从阶梯形即可看出
14、1， 2(当然也可以是 1， 3； 1， 4)为原向量组的一个极大线性无关组三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设(1)求 du； (2)求 （分数：9.00）_正确答案：(1)*即*(2)*因此*)解析：考点 求复合生成的三元函数的全微分及二阶混合偏导数16.设 f(x)在a，b上具有三阶连续导数，试证：存在 (a，b)，使得（分数：11.00）_正确答案：(将 f(x)在*展成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，有*分别令 x=a 与 x=b，得*其中*即*两式相减，得*因为*介于 f“( 1)与 f“( 2)之间，由闭区间上连续函数性质知，存在 1， 2*(a，b)，使*于是*(其
15、中 (a,b)解析：考点 用泰勒公式证明函数的高阶导数存在满足某种要求的中值17.计算二重积分： （分数：10.00）_解析：18.用微分学知识作出函数 （分数：11.00）_正确答案：(定义域 x1，零点 x=0，是奇函数；*令 y=0，得驻点 x=0，*；令 y“=0，得 x=0列表*，即 x=1 为垂直渐近线；*=0，即 y=x 是斜渐近线；无水平渐近线*综上作函数图形如上方)解析：考点 用微分学知识作函数图形19.设曲线 r=r()上任意一点 M(r，)，一定点 M0(2，0)，由此曲线与矢径 OM0，OM 围成的曲边扇形的面积等于两点 M0与 M 之间弧长的一半，求此曲线的方程（分数
16、：10.00）_正确答案：(设曲线方程为 r=r()，依题意有*两边对 求导，得*，再平方整理得r2()=r 2()(r 2()-1)即有*，亦即*，即 t=+c，从而*代入 r(0)=2，得*，所求曲线方程为*)解析：考点 列微分方程解几何应用题20.设 f(x)在(-，x 0)可导， （分数：10.00）_正确答案：(因为*，依极限不等式性质，知存在 0，当 x1(x 0-，x 0)使*，即 f(x1)0*又因为*，存在 bx 0-，当 xb 时，f(x)*，当 xb 时，在x，b上对 f(x)用拉格朗日中值定理，存在 (x，b)，使得*因此*，于是存在 x2x 0-，使 f(x2)0，在
17、x 2，x 1上依闭区间上连续函数零值定理，f(x)在(x 2，x 1)*(-，x 0)至少存在一个零点)解析：考点 讨论函数的零点21.设 （分数：11.00）_正确答案：(1)*又知 f(0)=a，为使 f(x)在 x=0 连续，必须 a=g(0)(2)x0 时，*，x=0 时，*(3)因为*故 f(x)在 x=0 连续)解析：考点 一元函数连续，可导，导函数在一点连续22.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(1)A 有 3 个线性无关的特征向量，=2 是二重特征值，故 A 属于 =2 的线性无关特征向量有 2 个，即方程组(2E-A)X=0 的系数矩阵满足 3-r(2E-A)=2，
18、亦即r(2E-A)=1*于是*即*(2)由于 1+ 2+ 3=1+4+5，从而 3=6当 1= 2=2 时，*特征向量为 1=(1，-1，0) T， 2=(1，0，1) T当 =6 时*特征向量为 3=(1，-2，3) T令*，则*)解析：考点 使带有参数的矩阵相似对角化23.设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，其中 A 是正定矩阵，证明存在实数 t 使得 tA+B 是正定矩阵（分数：11.00）_正确答案：(对实数 t，(tA+B) T=tAT+BT=tA+B，即 tA+B 是对称矩阵，由于 A 是正定矩阵，则 A 与 E 合同，即存在可逆矩阵 C，使 CTAC=E又因为(C TBC)T=CTBC，于是实对称矩阵 CTBC，可经过正交变换化为对角形 A，即存在正交矩阵 Q，使QT(CTBC)Q=Q-1(CTBC)Q=A令 P=CQ，则|P|=|C|Q|0，即 P 可逆，且PT(tA+B)P=tQTCTACQ+QTCTBCQ=tQTEQ+=tE+ 于是*由于存在 t 使得 t+ i0(i=1，2，n)即存在 t 使 tA+B 与对角矩阵相似且其特征值都大于零从而 tA+B是正定矩阵考点 证明矩阵的正定性)解析：
