1、考研数学二-116 (1)及答案解析(总分：145.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设曲线 y=y(x)上点 P(0,4)处的切线垂直于直线 x-2y+5=0，且满足微分方程 y“+2y+y=0，则此曲线方程为 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A 为 3 阶矩阵，且 A0，A 2=0，则线性非齐次方程组 Ax=b 的线性无关解向量的个数为（分数：4.00）A.4B.3C.2D.13.设在(-，+)内不恒为零的函数 f(x)， （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A 是 n 阶矩阵，则|A|=0 的充分必要条件为（分数：4.00）A.A
2、中有一行元素全为 0B.A 中有两行元素对应成比例C.A 中有一行向量是其余行向量的线性组合D.A 中任一行向量是其余行向量的线性组合5.设有由方程组 所确定的函数 u 和 v下列四个结论中错误的是 （分数：4.00）A.B.C.D.6.下列命题正确的是（分数：4.00）A.设当 x0，有 f(x)g(x)，则当 x0，有 f(x)g(x)B.设当 x0，有 f(x)g(x)，且 f(0)=g(0)，则当 x0，有 f(x)g(x)C.设 f(x)在(a,b)内有唯一驻点，则该点必为极值点D.单调函数的导函数必为单调函数7.设 f(x,y)连续，且 ，其中 D 是由 x=y2，x=1，y=0
3、所围成的平面区域，则 f(x,y)为 (A) 2xy (B) 2xy-1 （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.平行于直线 6x+2y+1=0 且与曲线 y=x3+3x2-5 相切的直线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设三阶常系数线性齐次微分方程具有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x，则该方程为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设三阶矩阵 A 有特征值 （分
4、数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：89.00)15. （分数：10.00）_16. （分数：10.00）_17.设函数 f(x)在(-,0)内可微， （分数：10.00）_18. （分数：10.00）_19.求曲线 y=lnx 在区间(2,6)内的一条切线，使该切线与直线 x=2，x=6 及曲线 y=lnx 所围图形的面积最小（分数：10.00）_20.设 f(x)在0,1上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=0，当 x(0,1)，f(x)0证明： （分数：10.00）_21.设函数 f(x)处处可导， 试证： （分数：10.00）_（分数：11.00）(1).求
5、参数 x；（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B（分数：5.50）_若 n 阶矩阵 A=( 1， 2， n-1， n)的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，= 1+ 2+ n，证明：（分数：8.00）(1).方程组 AX= 必有无穷多解；（分数：4.00）_(2).若(k 1，k 2，k n)T是 AX= 的任一解，则 kn=-1（分数：4.00）_考研数学二-116 (1)答案解析(总分：145.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设曲线 y=y(x)上点 P(0,4)处的切线垂直于直线 x-2y+5=0，
6、且满足微分方程 y“+2y+y=0，则此曲线方程为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 y“+2y+y=0(二阶常系数线性齐次方程) *y=e-x(C1x+C2)(通解) 由题意知 y(0)=4，y(0)=-2， 于是可得 C2=4，C 1=2 故 y=e-x(2x+4)，即 y=2(x+2)e-x2.设 A 为 3 阶矩阵，且 A0，A 2=0，则线性非齐次方程组 Ax=b 的线性无关解向量的个数为（分数：4.00）A.4B.3 C.2D.1解析：分析 由 A 为 3 阶矩阵，A 2=AA，故 r(A)+r(A)=2r(A)3，*1，于是知 r(A)=1 因此，线性齐次方程组 A
7、x=0 基础解系中线性无关解向量个数为 n-1=3-1=2，故线性非齐次方程组 Ax=b 的线性无关解向量的个数为 3即选项(B)正确3.设在(-，+)内不恒为零的函数 f(x)， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 3f(x+y)+f(x-y)=2f(2x)+f(2y) 令 x=y，上式就变为 3f(2x)+f(0)=2f(2x)+f(2x) 从而得到 f(0)=0 再令 x=-y，则原题所给等式变为 3f(0)+f(-2y)=2f(-2y)+f(2y)， 即有 f(-2y)=-f(2y)，所以 f(x)必为奇函数。4.设 A 是 n 阶矩阵，则|A|=0 的充分必要条件为（分数
8、：4.00）A.A 中有一行元素全为 0B.A 中有两行元素对应成比例C.A 中有一行向量是其余行向量的线性组合 D.A 中任一行向量是其余行向量的线性组合解析：分析 |A|=0*r(A)n*A 的行向量线性相关*中有一行向量是其余行向量的线性组合故选项(C)正确 易知选项(A)、(B)、(D)皆仅为|A|=0 的充分条件，不是必要条件5.设有由方程组 所确定的函数 u 和 v下列四个结论中错误的是 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 对方程组中方程的两端分别求全微分，得 * 由此解出 * 故选项(D)是错的6.下列命题正确的是（分数：4.00）A.设当 x0，有 f(x)g(x)
9、，则当 x0，有 f(x)g(x)B.设当 x0，有 f(x)g(x)，且 f(0)=g(0)，则当 x0，有 f(x)g(x) C.设 f(x)在(a,b)内有唯一驻点，则该点必为极值点D.单调函数的导函数必为单调函数解析：分析 (A)的反例：f(x)=cosx，g(x)=sinx，*内，有 f(x)g(x)，但 f(x)g(x)不成立 (C)的反例：f(x)=x 3在(-,+)内有唯一驻点，但该点不是极值点 (D)的反例：f(x)=x+sinx 在(-,+)内单调增加，但 f(x)=1+cosx 就不是单调函数 (B)正确事实上，令 F(x)=f(x)-g(x)(x0)，F(x)=f(x)
10、-g(x)0，F(0)=f(0)-g(0)=0，F(x)单调增加，当 x0，有 F(x)F(0)=0，即 f(x)-g(x)0，故有 f(x)g(x)7.设 f(x,y)连续，且 ，其中 D 是由 x=y2，x=1，y=0 所围成的平面区域，则 f(x,y)为 (A) 2xy (B) 2xy-1 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 对*，再代入上式即得 * *8. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 因 * 故*(因若 5，则原极限为零，若 5，则原极限不存在)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析
11、* 注：本题考查定积分的定义以及定积分的基本运算方法10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 方法一 * 方法二 *11.平行于直线 6x+2y+1=0 且与曲线 y=x3+3x2-5 相切的直线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3x+y+6=0）解析：分析 解决本题的关键在于求出曲线 y=x3+3x2-5 的切点坐标，显然直线的斜率为-3，由于所求的切线平行于直线，故其斜率 k=-3，又 k=y=3x2+6x，于是有 3x2+6x=-3， 则 3(x+1) 2=0， 即 x=-1 将 x=-1 代入曲线方程，有 y=(-1)3+3(-1)2-5
12、=-3 故切点坐标为(-1，-3)从而所求直线方程为 y+3=-3(x+1)， 即 3x+y+6=012. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 利用对称性，知第一项积分为零 * *13.设三阶常系数线性齐次微分方程具有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x，则该方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y“-y“-y+y=0）解析：分析 由题设知其特征方程的特征根：为 r1=r2=1，r 3=-1 特征方程：(r-1) 2(r+1)=O， 即 r 3-r2-r+1=0， 故所求的齐次微分方程为 y“-y“-y+y=014.设三阶矩阵 A 有特
13、征值 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由设，知 * 于是 * 从而 * 故当 D=2 2，- 1，3 3，有 *三、解答题(总题数：9，分数：89.00)15. （分数：10.00）_正确答案：(令 t=x-u，dt=-du， * * 两边对 x 求导，得 * 再求导，得 f(x)=2a2cos2ax)解析：分析 注意到*为一函数，欲从中求出 f(x)，应求导化简，又因 f 中含 x-u 故先要作变量替换16. （分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：分析 化成极坐标形式，*17.设函数 f(x)在(-,0)内可微， （分数：10.00）_正确答案：(因*
14、 由拉格朗日定理，有 * * *)解析：分析 根据极限定义及微分中值定理证明18. （分数：10.00）_正确答案：(任取参数 t0，对应于曲线上的点 M，在该点处曲线的切线斜率为 * 故在点 M 处曲线的法线方程为 * 即 xcost 0+ysint0=a 将圆 x2+y2=a2写为参数式 * 设 t0对应于圆上的点 N，在 N 处圆的切线斜率为 * 故切线方程为 * 即 xcost 0+ysint0=a 因此，曲线上点 M 处的法线恰为圆上点 N 处的切线)解析：分析 已知曲线为圆的渐伸线，即证其法线为圆的切线先求出法线，再把圆的方程写为参数式，求出对应点的切线，比较可知，曲线的法线即圆的
15、切线19.求曲线 y=lnx 在区间(2,6)内的一条切线，使该切线与直线 x=2，x=6 及曲线 y=lnx 所围图形的面积最小（分数：10.00）_正确答案：(曲线为 y=lnx， * 在点(t，lnt)曲线的切线方程为 * 整理得切线方程* 切线与直线 x=2，x=6 及曲线 y=lnx 所围图形的面积为 * 故切线方程为*)解析：分析 先求出在(2,6)内曲线上任意一点(t,lnt)处的切线，然后用定积分表示该切线与直线x=2，x=6 及曲线 y=lnx 所围图形的面积，剩下的问题就是求最小值，最后写出相应的切线方程20.设 f(x)在0,1上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=
16、0，当 x(0,1)，f(x)0证明： （分数：10.00）_正确答案：(由题设，知|f(x)|在0,1上有最大值，记为|f(x 0)|，x 0(0,1) 由拉格朗日微分中值定理，有 * * *)解析：分析 利用连续函数性质及拉格朗日微分中值定理证之21.设函数 f(x)处处可导， 试证： （分数：10.00）_正确答案：(先证x n单调 由 xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=(xn-xn-1)f( n)，其中 n在 xn与 xn-1之间 又由题设，f(x)处处可导，且*，于是知 f( n)0，从而(x n+1-xn)与(x n-xn-1)同号，故x n单凋 再证x n有界 * 综上
17、所述知，x n单调有界故由极限存在准则知，*存在 设*，因 f(x)处处可导，故 f(x)处处连续，而 xn=f(xn-1)，于是有 * 则 A=f(A)，即满足方程 x=f(x)解析：分析 利用极限存在准则证明（分数：11.00）(1).求参数 x；（分数：5.50）_正确答案：(A 与 B 相似，则 2，6 都为 A 的特征值由|A-6E|=0，得 x=5)解析：(2).求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B（分数：5.50）_正确答案：(=2 时，由(A-2E)X=0 得 x1=-x2+x3，则可取 *=6 时，由(A-6E)X=0，得*，则可取 * 于是可逆阵*即为所求)解析：分析 矩阵
18、A 与对角阵相似，则对角阵的对角线上的元素即为 A 的特征值。若 n 阶矩阵 A=( 1， 2， n-1， n)的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，= 1+ 2+ n，证明：（分数：8.00）(1).方程组 AX= 必有无穷多解；（分数：4.00）_正确答案：(A=( 1， 2， n-1， n)的前 n-1 个列向量线性相关，则 1， 2， n-1， n线性相关又后 n-1 个列向量线性无关，故 1可由后 n-1 个列向量线性表示，从而 r(A)=n-1又= 1+ 2+ n，则 r(A|)=r(A)=n-1n 故方程组 AX= 必有无穷多解)解析：(2).若(k 1，k 2，k n)T是 AX= 的任一解，则 kn=-1（分数：4.00）_正确答案：(由 1， 2， n-1线性相关，则存在不全为零的数 1， 2， n-1，使得 1 1+ 2 2+ n-1 n-1+0 n=0， 即( 1， 2， n-1，0) T为 AX=0 的解，又由 = 1+ 2+ n知(1，1，1) T为 AX= 的一个特解 据 r(A)=n-1，得 AX= 的通解为 * 显然，若(k 1，k 2，k n)T是 AX= 的任一解，则 kn=1)解析：分析 AX= 解的情况： * 其中 n 为未知数个数。
