1、考研数学二-117 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有_（分数：4.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关2.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为_（分数：4.00）A.1+sinxB.1-sinxC.1+cosxD.1-cosx3.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)|x
2、 2+y22y，则 (xy)dxdy 等于_（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 BA *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则_（分数：4.00）A.交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*B.交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*C.交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *D.交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *5.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是_（分数：4.00）A.
3、若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0B.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0C.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0D.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)06.设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有|f(x)|x 2，则 x=0 必是 f(x)的_（分数：4.00）A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且 f(0)=0D.可导的点，且 f(0)07.具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex的 3 阶常系数齐次线性微分方程是_（分数：4.00）A.y“-y“-y+y=
4、0B.y“+y“-y-y=0C.y“-6y“+11y-6y=0D.y“-2y“-y+2y=08.设 g(x)= f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 上对应于 t （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 1， 2， 3均为 3 维列向量，记矩阵A=( 1， 2， 3)，B=( 1+ 2+ 3， 1+2 2+4 3， 1+3 2+9 3)如果|A|=1，那么|B|=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵 A= （分数：4.00）填空项 1:_14.
5、已知向量组 1=(1，2，-1，1)， 2=(2，0，t，0)， 3=(0，-4，5，-2)的秩为 2，则 t=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_16.设函数 y=y(x)由方程 y-xey=1 所确定，求 （分数：9.00）_17.求 （分数：11.00）_18.设 z=f(x2-y2，e xy)，其中 f 具有连续二阶偏导数求 （分数：11.00）_19.求二重积分 （分数：10.00）_20.设(2E-C -1B)AT=C-1，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，（分数：11.00）_
6、21.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 3满足 A 3= 2+ 3(1) 证明 1， 2， 3线性无关；(2) 令 P=( 1， 2， 3)，求 P-1AP（分数：11.00）_22.设线性方程组（分数：11.00）_23.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为其上任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点若极径 OM0，OM与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程（分数：11.00）_考研数学二-117 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(
7、总题数：8，分数：32.00)1.设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有_（分数：4.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：考点提示 线性相关性、线性齐次方程组的非零解解题分析 由题设 AB=0，且 A0，B0，则线性齐次方程组 AX=0 有非零解，则 A 的列向量组线性相关；同时由 AB=0，知 BTAT=0，且 BT0，A T0同理线性齐次方程组 BTY=0 也有非零解，因而 BT的列向量组，也就是
8、 B 的行向量组线性相关综上，选 A2.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为_（分数：4.00）A.1+sinxB.1-sinx C.1+cosxD.1-cosx解析：考点提示 三角函数的导数解题分析 对 sinx 积分两次得到 f(x)的原函数，即可得到正确选项由题设 f(x)=sinx，所以*于是 f(x)的原函数*=sinx+C1x+C2令 C1=0，C 2=1，得 f(x)的一个原函数为 1-sinx，故应选 B3.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)|x 2+y22y，则 (xy)dxdy 等于_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 二重积
9、分解题分析 由题设*从而 A 不成立由于仅知 f(u)连续，题设并未指出 f(xy)是否具有关于坐标轴的对称性，因此 B 不一定成立将原积分化为极坐标下二次积分，有*所以选择 D4.设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 BA *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则_（分数：4.00）A.交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*B.交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*C.交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B * D.交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *解析：考点提示 初等矩阵左乘右乘问题解题分析 设 A 为三阶矩阵，根据题意有*因为|A
10、|=-|B|，所以*所以选 C5.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是_（分数：4.00）A.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0B.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0C.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0D.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0 解析：考点提示 二元函数的条件极值解题分析 用拉格朗日乘数法判断令 F(x，y，)=f(x，y)+(x，y)，则(x 0，y 0)满足：Fx(x
11、0，y 0)=fx(x0，y 0)+ x(x0，y 0)=0， Fy(x0，y 0)=fy(x0，y 0)+ y(x0，y 00)=0 若 fx(x0，y 0)=0，则式*=0 或 x(x0，y 0)0，而当 =0 时，由式得 fy(x0，y 0)=0；当 0时，由式及 y(x0，y 0)0*f y(x0，y 0)0所以排除 A，B若 fx(x0，y 0)0，则由式*0，再由式及 y(x0，y 0)0*f y(x0，y 0)0，即 fx(x0，y 0)0 时，f y(x0，y 0)0故选 D6.设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有|f(x)|x 2，则 x=0 必是
12、 f(x)的_（分数：4.00）A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且 f(0)=0 D.可导的点，且 f(0)0解析：考点提示 函数的连续性、间断点解题分析 由题设必有 f(0)=0，根据定义，*因此 f(0)=0故应选 C评注 用排除法：取 f(x)= *x2，则 f(0)=0，可排除 A，B，D7.具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex的 3 阶常系数齐次线性微分方程是_（分数：4.00）A.y“-y“-y+y=0B.y“+y“-y-y=0 C.y“-6y“+11y-6y=0D.y“-2y“-y+2y=0解析：考点提示 微分方程解题分析 由题设条件，可知该微分
13、方程存在的特征根为 1=-1， 2=-1， 3=1，即特征方程为(+1)2(-1)=0，展开得 3+ 2-1=0，因此所求微分方程必为y“+y“-y-y=0所以选 B8.设 g(x)= f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 分段函数，复合函数解题分析 由已知*由 f(x)0，知 x0 且 f(x)=-x；由 f(x)0，知 x0 且 f(x)=x2；从而 gf(x)=*选 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点提示 复合函数求极限解题分析*评注 当 x0 时，(1+x) a-1ax10.曲线 上对
14、应于 t （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y= ）解析：考点提示 参数方程求导数解题分析 利用参数方程的求导得切线斜率曲线上对应于 t=*的点的直角坐标为*对应于 t=*点处的切线的斜率*因此对应于 t=*点处法线的斜率 k=*故曲线上对应于 t=*点处的法线方程为*即 y=*-111. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 凑微分法解题分析 将 tanx 写成*，再利用凑微分法积分*12.设 1， 2， 3均为 3 维列向量，记矩阵A=( 1， 2， 3)，B=( 1+ 2+ 3， 1+2 2+4 3， 1+3 2+9 3)如果|A|=1，那么|B|
15、=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 矩阵计算、范德蒙行列式计算解题分析 由题意，我们对矩阵 B 分块，得*于是有*所以|B|=213.设矩阵 A= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 矩阵的秩解题分析 矩阵*则*故 A3的秩 r(A3)=114.已知向量组 1=(1，2，-1，1)， 2=(2，0，t，0)， 3=(0，-4，5，-2)的秩为 2，则 t=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：考点提示 向量组的秩解题分析 由题设可知，矩阵*的秩也为 2，从而*的秩为 2，因此 3-t=0，即 t=3或者，由矩阵
16、秩的定义知矩阵的任-3 阶子式为 0，因而*，同样可解出t=3三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_正确答案：( )解析：考点提示 复合函数求极限16.设函数 y=y(x)由方程 y-xey=1 所确定，求 （分数：9.00）_正确答案：(详解 1 在原方程两边对 x 求导，得 y-ey-xeyy=0，解得 把 x=0，y=1 代入式，得 y(0)=e式两边对 x 求导，得将 x=0，y=1，y(0)=e 代入式，得详解 2 在方程两边对 x 求导，得 y-ey-xeyy=0在上式两边再对 x 求导，得y“-eyy-(eyy+xeyy2+xeyy“)=0由题设
17、知 x=0，y=1，代入上面两式，解得y(0)=e，y“(0)=2e 2从而)解析：考点提示 隐函数求导数17.求 （分数：11.00）_正确答案：(详解 1详解 2 令 x=tant，则 dx=sec2tdt，于是详解 3 令 t=x2，则 dt=2xdx，因此)解析：考点提示 用凑微分法积分即可，被积函数中含有根式，也可考虑作变量代换去掉根号，再积分评注 被积函数中含有根式，一般考虑引进一新变量，去掉根式，然后再积分18.设 z=f(x2-y2，e xy)，其中 f 具有连续二阶偏导数求 （分数：11.00）_正确答案：(由已知 z=f(x2-y2，e xy)，则)解析：考点提示 多元复合
18、函数的偏导数19.求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(因为 maxxy，1= 所以有)解析：考点提示 求二重积分20.设(2E-C -1B)AT=C-1，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，（分数：11.00）_正确答案：(由题设(2E-C -1B)AT=C-1，上式左乘 C 矩阵，得(2C-B)A T=E，由已知 B，C 可求得且|2C-B|=1，因此 2C-B 可逆，由此 AT=(2C-B)-1不难由初等变换求得从而)解析：考点提示 矩阵运算21.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 3满足 A 3=
19、 2+ 3(1) 证明 1， 2， 3线性无关；(2) 令 P=( 1， 2， 3)，求 P-1AP（分数：11.00）_正确答案：(1) 假设口 1， 2， 3线性相关，则 3可由 1， 2线性表出，可设 3=k1 1+k2 2，其中 k1，k 2不全为 0，否则由等式 A 3= 2+ 3得到 2=0，不符合题设因为 1， 2为矩阵 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，所以 1， 2线性无关，且有 A 1=- 1，A 2= 2，则A 3=A(k1 1+k2 2)=-k1 1+k2 2= 2+k1 1+k2 2又 1， 2相互独立，等式中 1， 2的对应系数相等，即：显然此方程组无解故假
20、设不成立，从而可知 1， 2， 3线性无关(2) 因为 1， 2， 3线性无关，所以矩阵 P=( 1， 2， 3)可逆由于等式两边同时左乘矩阵 P 的逆矩阵 P-1，可得)解析：考点提示 向量的线性相关性和矩阵的特征值与特征向量22.设线性方程组（分数：11.00）_正确答案：(因为方程组、有公共解，则可组成如下方程组因为方程的增广矩阵是所以当 a=1 或 a=2 时，与有公共解当 a=1 时，方程组化为 公共解为 x=k当 a=2 时，方程组化为 公共解为 x= )解析：考点提示 线性方程组的解23.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为其上任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点若极径 OM0，OM与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程（分数：11.00）_正确答案：(根据题意，由面积与弧长的计算公式，得将上式两边对 求导，得 r2= 即 r=r 此为可分离变量方程，从而 =d对此式两边积分，得即 由已知 r(0)=2，代入上式得 C= ，故曲线 L 的方程为 rsin =1，由于 rcos=x，rsin=y，于是所求直线为 x )解析：考点提示 定积分的几何应用、微分方程
