1、考研数学二-117 及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.设 1 =(2，-1，0，5)， 2 =(-4，-2，3，0)， 3 =(-1，0，1，K)， 4 =(-1，0，2，1)，则K= 1 时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （分数：2.00）2.设 1 =(2，-1，3，0)， 2 =(1，2，0，-2)， 3 =(0，-5，3，4)， 4 =(-1，3，t，0)，则 1时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （分数：2.00）3.已知 =(3，5，7，9)，=(-1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x= 1
2、 （分数：2.00）4.当 k= 1 时，向量 =(1，k，5)能由向量 1 =(1，-3，2)， 2 =(2，-1，1)线性表示 （分数：2.00）5.已知 1 =(1，1，2，2，1)， 2 =(0，2，1，5，-1)， 3 =(2，0，3，-1，3)， 4 =(1，1，0，4，1)，则秩( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= 1 （分数：2.00）6.设 （分数：2.00）7.设 =(1，0，-1，2) T ，=(0，1，0，2)矩阵 A=，则秩(A)= 1 （分数：2.00）8.已知向量组 1 =(1，2，3，4)， 2 =(2，3，4，5)， 3 =(3，4，5，6)， 4 =(4，5
3、，6，t)，且秩( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=2，则 t= 1 （分数：2.00）二、选择题(总题数：5，分数：10.00)9.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是_（分数：2.00）A.1+2，2+3，3+1B.1，2+2，1+2+3C.1-2，2-3，3-1D.1+2，22+3，33+110.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是_（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0D.A 通过初等行变换，必可以化为(Em，
4、0)的形式11.： 1 =(a 11 ，a 21 ，a 31 ) T ， 2 =(a 12 ，a 22 ，a 32 ) T ， 3 =(a 13 ，a 23 ，a 33 ) T ，向量组 ()： 1 =(a 11 ，a 21 ，a 31 ，a 41 ) T . 2 =(a 12 ，a 22 ，a 32 ，a 42 ) T ， 3 =(a 13 ，a 23 ，a 33 ，a 43 ) T ，则_ A()相关 ()相关 B()无关 ()无关 C()无关 ()无关 D()无关 （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 ， 1 ， 2 线性相关， 2 ， 3 线性无关，则_（分数：2.00）A.1，
5、2，3 线性相关B.1，2，3 线性无关C.1 可以用 ，2，3 线性表示D. 可以用 1，2 线性表示13.设 A，B 为 n 阶方阵，且秩(A)=秩(B)，则_（分数：2.00）A.秩(A-B)=0B.秩(A+B)=2秩(A)C.秩(AB)=2秩(A)D.秩(AB)秩(A)+秩(B)三、计算证明题(总题数：13，分数：74.00)14.已知向量组 1 =(t，2，1)， 2 =(2，t，0)， 3 =(1，-1，1)，试求出 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关或线性无关 （分数：5.00）_15.设有三维列向量 （分数：5.00）_设向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向
6、量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，问：（分数：4.00）(1). 1 能否由 2 ， 3 线性表出?证明你的结论（分数：2.00）_(2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出?证明你的结论（分数：2.00）_已知 m 个向量 1 ， 2 ， m 线性相关，但其中任意 n-1 个都线性无关，证明：（分数：9.00）(1).如果存在等式 k 1 1 +k 2 2 +k m m =0， 则这些系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零（分数：4.50）_(2).如果存在两个等式 k 1 1 +k m m =0， l 1 1 +l m m =0， 其中 l 1 0，则 （分数：4.50
7、）_16.设向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，问常数 a，b，c 满足什么条件时，a 1 - 2 ，b 2 - 3 ，c 3 - 1 线性相关 （分数：5.00）_17.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k-1 0证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的 （分数：5.00）_求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示（分数：10.00）(1). 1 =(1，2，1，3)， 2 =(4，-1，-5，-6)， 3 =(-1，-3，-4，-7)， 4 (2，1，2，0)（分数：5.00）_(2). 1 =(1
8、，-1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，-2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)（分数：5.00）_18.已知三阶矩阵 （分数：5.00）_19.设 A 为 n 阶方阵且 A 2 =A，证明：若 A 的秩为 r，则 A-E 的秩为 n-r，其中 E 是 n 阶单位矩阵 （分数：3.00）_20.设 A 为 n 阶方阵，证明：如果 A 2 =E，则秩(A+E)+秩(A-E)=n. （分数：3.00）_21.设 （分数：5.00）_设 （分数：9.99）(1).a，b，c 满足什么条件时，矩阵 A 的秩为 3；（分数：3.33）_(2).a，b
9、，c 取何值时，A 是对称矩阵；（分数：3.33）_(3).取一组 a，b，c 使得 A 为正交矩阵（分数：3.33）_22.设 A=(a ij ) mn ，秩(A)=n-1，证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：5.00）_考研数学二-117 答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.设 1 =(2，-1，0，5)， 2 =(-4，-2，3，0)， 3 =(-1，0，1，K)， 4 =(-1，0，2，1)，则K= 1 时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （分数：2.00）解析：2.设 1 =(2，-1，3，
10、0)， 2 =(1，2，0，-2)， 3 =(0，-5，3，4)， 4 =(-1，3，t，0)，则 1时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （分数：2.00）解析：任意实数；3.已知 =(3，5，7，9)，=(-1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x= 1 （分数：2.00）解析：4.当 k= 1 时，向量 =(1，k，5)能由向量 1 =(1，-3，2)， 2 =(2，-1，1)线性表示 （分数：2.00）解析：-8；5.已知 1 =(1，1，2，2，1)， 2 =(0，2，1，5，-1)， 3 =(2，0，3，-1，3)， 4 =(1，1，0，4，1)，则秩( 1 ， 2 ，
11、 3 ， 4 )= 1 （分数：2.00）解析：3；6.设 （分数：2.00）解析：3；7.设 =(1，0，-1，2) T ，=(0，1，0，2)矩阵 A=，则秩(A)= 1 （分数：2.00）解析：1；8.已知向量组 1 =(1，2，3，4)， 2 =(2，3，4，5)， 3 =(3，4，5，6)， 4 =(4，5，6，t)，且秩( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=2，则 t= 1 （分数：2.00）解析：7二、选择题(总题数：5，分数：10.00)9.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是_（分数：2.00）A.1+2，2+3，3+1B.1，2+2，1+2+3C.
12、1-2，2-3，3-1 D.1+2，22+3，33+1解析：10.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是_（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0 D.A 通过初等行变换，必可以化为(Em，0)的形式解析：11.： 1 =(a 11 ，a 21 ，a 31 ) T ， 2 =(a 12 ，a 22 ，a 32 ) T ， 3 =(a 13 ，a 23 ，a 33 ) T ，向量组 ()： 1 =(a 11 ，a 21 ，a 31 ，a 41 ) T
13、. 2 =(a 12 ，a 22 ，a 32 ，a 42 ) T ， 3 =(a 13 ，a 23 ，a 33 ，a 43 ) T ，则_ A()相关 ()相关 B()无关 ()无关 C()无关 ()无关 D()无关 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：12.设 ， 1 ， 2 线性相关， 2 ， 3 线性无关，则_（分数：2.00）A.1，2，3 线性相关B.1，2，3 线性无关C.1 可以用 ，2，3 线性表示 D. 可以用 1，2 线性表示解析：13.设 A，B 为 n 阶方阵，且秩(A)=秩(B)，则_（分数：2.00）A.秩(A-B)=0B.秩(A+B)=2秩(A)C.秩(AB
14、)=2秩(A)D.秩(AB)秩(A)+秩(B) 解析：三、计算证明题(总题数：13，分数：74.00)14.已知向量组 1 =(t，2，1)， 2 =(2，t，0)， 3 =(1，-1，1)，试求出 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关或线性无关 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 当|A|=0 时， 2 3 线性相关，即 15.设有三维列向量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由题可知 1 ， 2 ， 3 ， 为三维向量，则四个三维向量一定线性相关，所以，令 k0 且 k1 时， 1 ， 2 ， 3 ，线性无关，又 1 ， 2 ， 3 ， 线性相关，所以 可由
15、 1 ， 2 ， 3 线性表示，由克莱姆法则知表达式唯一 令系数矩阵为 增广矩阵为 当 k=1 时， 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即等于 2所以 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示不唯一 当 k=0 时， 设向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，问：（分数：4.00）(1). 1 能否由 2 ， 3 线性表出?证明你的结论（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 1 能由 2 ， 3 线性表出因为 2 ， 3 ， 4 线性无关，由原向量组线性无关推出 1 ， 2 ， 3 线性无关而 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以 1 能由 2 ， 3 线性
16、表出；(2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出?证明你的结论（分数：2.00）_正确答案：()解析： 4 不一定能由 1 ， 2 ， 3 线性表出反例： 1 =(4，0，0) T ， 2 =(2，0，0) T ， 3 =(0，1，0) T ， 4 =(0，0，2) T 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，可知 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出已知 m 个向量 1 ， 2 ， m 线性相关，但其中任意 n-1 个都线性无关，证明：（分数：9.00）(1).如果存在等式 k 1 1 +k 2 2 +k m m =0， 则这些系数 k 1 ，k m 或者全
17、为零，或者全不为零（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 假设 k 1 1 +k 2 2 +k m m =0，如果存在某个 k i =0，则 k 1 1 +k i-1 i-1 +k i+1 i+1 +k m m =0 又由题意可知任意 m-1 个都线性无关，所以 k 1 ，k 2 ，k i-1 ，k i+1 ，k m 都等于 0，即这些系数 k 1 ，k 2 ，k m 或者全为零，或者全不为零(2).如果存在两个等式 k 1 1 +k m m =0， l 1 1 +l m m =0， 其中 l 1 0，则 （分数：4.50）_正确答案：()解析：因为 l 1 0，所以由可知 l 1 ，l
18、2 ，l m 全不为零所以 代入第一式得： 即 又因为 2 ， m 线性无关， 所以 取得： 16.设向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，问常数 a，b，c 满足什么条件时，a 1 - 2 ，b 2 - 3 ，c 3 - 1 线性相关 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 假设存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 (a 1 - 2 )+k 2 (b 2 - 3 )+k 3 (c 3 - 1 )=0 成立，则得(k 1 a-k 3 ) 1 +(k 2 b-k 1 ) 2 +(k 3 c-k 2 ) 3 =0 又因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 当行列式 1
19、7.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k-1 0证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 反证法，假设 ，A，A k-1 是线性相关的，即存在不全为 0 的实数 b 0 ，b 1 b k-1 ，使得 b 0 +b 1 A+b k-1 A k-1 =0两边乘以 A k-1 ，又因为 A k-1 0，A k =0，所以 b 0 A k-1 =0，b 0 =0 由 b 1 A+b k-1 A k-1 =0两边乘以 A k-2 得 最后可得 求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性
20、无关组线性表示（分数：10.00）(1). 1 =(1，2，1，3)， 2 =(4，-1，-5，-6)， 3 =(-1，-3，-4，-7)， 4 (2，1，2，0)（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 所以 1 ， 2 ， 3 (或 1 ， 2 ， 4 )是极大线性无关组由 4 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 得方程组 (2). 1 =(1，-1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，-2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)（分数：5.00）_正确答案：()解析： 所以 1 ， 2 ， 4 (或 1 ， 3 ， 4 或 1 ， 2
21、 ， 5 或 1 ， 3 ， 5 )是极大线性无关组由 5 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 4 得方程组 所以 5 =2 1 + 2 +0 4 由 3 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 4 得方程组 18.已知三阶矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 x=y=0 时，r(A)=0 当 x=0，y0 或 x0，y=0 时，r(A)=3 当 x=y0 时，r(A)=1 当 x=-y0 时，r(A)=3 当 x0，y0，xy 时， 19.设 A 为 n 阶方阵且 A 2 =A，证明：若 A 的秩为 r，则 A-E 的秩为 n-r，其中 E 是 n 阶单位矩阵 （分数：3.0
22、0）_正确答案：()解析：解 因为 A 2 =A，所以 A(A-E)=0， 所以 0=r(A(A-E)r(A)+r(A-E)-n， 即得-r(A)+r(A-E)n 又因为 r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)r(A+E-A)=r(E)=n 即 r(A)+r(A-E)n 由得 r(A)+r(A-E)=n所以 r(A-E)=n-r20.设 A 为 n 阶方阵，证明：如果 A 2 =E，则秩(A+E)+秩(A-E)=n. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 2 =E，所以 0=(A-E)(A+E)， 所以 0=r(A+E)(A-E)r(A+E)+r(A-E)-n 所以 r
23、(A+E)+r(A-E)n 又因为 r(A+E)+r(A-E)=r(A+E)+r(E-A)r(A+E+E-A) =r(2E)=n， 所以由得 r(A+E)+r(A-E)=n 即 r(A+E)+r(A-E)n 21.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 不妨令 为实数 则 设 （分数：9.99）(1).a，b，c 满足什么条件时，矩阵 A 的秩为 3；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 r(A)=3，即 A 满秩，所以(2).a，b，c 取何值时，A 是对称矩阵；（分数：3.33）_正确答案：()解析：根据对称矩阵的定义得 a=1，b=0，c=0 时，A 为对称矩阵；(3
24、).取一组 a，b，c 使得 A 为正交矩阵（分数：3.33）_正确答案：()解析：A 为正交矩阵，由正交矩阵的定义得 所以(a，b，c)有四组解 22.设 A=(a ij ) mn ，秩(A)=n-1，证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 先证明： “ ”因为 r(A)=1，所以 A 的行向量的极大线性无关组只含一个向量 i =(a i1 ，a i2 ，a in )，即其他的行向量可以由 i 线性表出 所以 r(A)=1 证明本题： 因为 r(A)=n-1，所以 r(A * )=1 所以由前面的结论可知：A * 可分解成 存在常数 k，k=(b 1 ，b n )
