1、考研数学二-162 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.记 （分数：4.00）A.B.C.D.2.当 x时， （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A 是 4 阶矩阵，若 1=(1，0，-1，1) T， 2=(0，1，-1，0) T， 3=(1，1，0，1) T是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解，A *为 A 的伴随矩阵，则下列各命题中不正确的是( )（分数：4.00）A.|A+A*|=0B.r(A*)=0C.A*x=0
2、 与 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数相等D.任一非零向量均为 A*的特征向量5.设曲线 y=f(x)在原点处与 y=sinx 相切，a，b 为常数，且 ab0，则 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，则方程组 Bx=0 与 ABx=0 同解的充分条件是( )（分数：4.00）A.r()=nB.r()=mC.r()=nD.r()=s8.设 f(x，y)连续，且 其中 D 为区域：0x1，0y1，则 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分
3、数：4.00）填空项 1:_10.设函数 f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)(x+100)，则 f(1)=_。（分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x，y)可微，f(0，0)=0，f x(0，0)=m，f y(0，0)=n，(t)=ft，f(t，t)，则 (0)=_。（分数：4.00）填空项 1:_12.曲线 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 都通过点(-1，0)，且在点(-1，0)处相切，则a=_，b=_，c=_。（分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9
4、，分数：94.00)15.已知 f(x)，g(x)连续可导，且 f(x)=g(x)，g(x)=f(x)+(x)，其中 (x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g(x)-xg(x)=cosx+(x)，求不定积分 （分数：10.00）_16.设 其中 f 具有二阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xy+x+y-Z=ex确定，求 （分数：11.00）_17.设 f(x)在 内连续，f(x)0，且（分数：10.00）_18.设 具有连续二阶偏导数，且满足（分数：10.00）_19.如果 0a6，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，试证在(a，b)内存在 x1，x 2，x 3使（分数
5、：11.00）_设 fn(x)=x+x2+xn(n=2，3，)，证明：（分数：10.00）(1).方程 fn(x)=1 在0，+)内有唯一的实根 xn；（分数：5.00）_20.设 D 是由 x0，yx 与 x2+(y-b)2b 2，x 2+(y，-a)。a 2(0ab)所围成的平面区域，计算（分数：10.00）_21.已知 43 矩阵 A= 1， 2， 3，其中 1， 2， 3均为 4 维列向量，若非齐次线性方程组 Ax=的通解为(1，2，-1) T+k(1，-2，3) T，令 B= 1， 2， 3，+ 3，试求 By= 1- 2的通解。（分数：11.00）_22.已知 =2 是矩阵 （分数
6、：11.00）_考研数学二-162 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.记 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 I 1，I 2，I 3被积函数相同且非负，故只需比较它们积分域范围的大小即可，有 I2I 1I 3，故应选(C)。2.当 x时， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 所给条件相当于*，从而可确定 a，b，c 的取值。详解 由题设*知 a=0，b=1，c 任意。故应选(B)。评注 一般地，有下面的结论：*3.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为( )（分数：4.00）A.B.
7、C.D.解析：分析 用排除法或用导数定义直接找出正确答案。详解 排除法，取 f(x)=|x|，f(0)=0，但 f(0)不存在，可见(A)，(C)，(D)中的极限均存在，从而(A)，(C)，(D)均不是 f(x)在 x=0 可导的充分条件，从而应选(B)，直接推导：*存在*4.设 A 是 4 阶矩阵，若 1=(1，0，-1，1) T， 2=(0，1，-1，0) T， 3=(1，1，0，1) T是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解，A *为 A 的伴随矩阵，则下列各命题中不正确的是( )（分数：4.00）A.|A+A*|=0B.r(A*)=0C.A*x=0 与 Ax=0 的基础解系所含解向量的
8、个数相等 D.任一非零向量均为 A*的特征向量解析：详解 因为 1- 2、 2- 3均为 Ax=0 的非零解向量，且 1- 2与 2- 3线性无关，可见 4-r(A)2，即 r(A)2，从而 r(A*)=0，也就是 A*=0，这样(A)、(B)、(D)均成立，应选(C)。5.设曲线 y=f(x)在原点处与 y=sinx 相切，a，b 为常数，且 ab0，则 等于( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 已知两曲线在原点处相切，相当于已知对应的两函数在 x=0 处具有相同的函数值与导数值。详解 由所给条件知：f(0)=0，f(0)=(sinx)| x=0=1，于是*故应选(A)评注
9、此题属常规题，主要考查按定义求导数。6.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 根据二元函数在一点处的连续偏导数、可微的定义直接判定。详解 *若取y=x，则上述极限为*，从而 f(x，y)在(0，0)点不可微，故应选(C)。7.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，则方程组 Bx=0 与 ABx=0 同解的充分条件是( )（分数：4.00）A.r()=n B.r()=mC.r()=nD.r()=s解析：详解 易知 Bx=0 的解是 ABx=0 的解，当 A 列满秩时，即 r(A)=n 时，齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，于是，若 x0为 ABx=0 的任一解，即 ABx0
10、=0，则一定有 Bx0=0，从而 x0也为 Bx=0 的解，因此 Bx=0 与ABx=0 同解，故选(A)。8.设 f(x，y)连续，且 其中 D 为区域：0x1，0y1，则 等于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 式中二重积分为一常数，先求出此常数得 f(x，y)的表达式，再求偏导数。详解 令*从而*评注 此类题在定积分及线面积分中也可以出现，做此类题的思路是：当被积函数确定，积分区域确定后，定积分、重积分、线面积分均为常数。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：详解 *10.设函数 f(x)=(x-1)(x
11、+2)(x-3)(x+4)(x+100)，则 f(1)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 因为f(x)=(x+2)(x-3)(x+4)(x+100)+(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)(x+100)于是 f(1)-(-2)3(-4)(-98)99101=(-1)492349899101*11.设函数 f(x，y)可微，f(0，0)=0，f x(0，0)=m，f y(0，0)=n，(t)=ft，f(t，t)，则 (0)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：m+n(m+n)）解析：详解 (t)=f 1+f2(f1+f2)，当 t=0 时，f 1=
12、fx(0，0)=m，f 2=fy(0，0)=n，于是有 (0)=m+n(m+n)。12.曲线 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 都通过点(-1，0)，且在点(-1，0)处相切，则a=_，b=_，c=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1，-1，1）解析：分析 利用已知条件：f(-1)=g(-1)=0，f(-1)=g(-1)，可确定 a，b，c 的值。详解 由 f(x)，g(x)在(-1，0)处相交，得*由 f(z)，g(x)在(-1，0)处相切，得f(-1)=g(-1)，即 3+a=-26*a=-1，b=-1，c=1评注 此题的考点是导数的几何意义。13. （分数
13、：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：详解 利用对称区间上积分的性质和定积分的几何意义，有*14.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 把矩阵 A 的第 1 列、第 2 列加到第 3 列得到矩阵 B，于是B=AP1P2，其中*于是*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(x)，g(x)连续可导，且 f(x)=g(x)，g(x)=f(x)+(x)，其中 (x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g(x)-xg(x)=cosx+(x)，求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(*又由 f(x)=g(x)，g(x)=-f(x)+(x)
14、，有*)解析：分析 由于积分中含有 f“(x)，可考虑用分部积分法。评注 本题似乎应先解方程得 f(x)再求积分，但由于 (x)不是具体函数，所以不能直接解方程。16.设 其中 f 具有二阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xy+x+y-Z=ex确定，求 （分数：11.00）_正确答案：(*而由 xy+x+y-z=ex得*所以*)解析：分析 利用复合函数和隐函数求偏导的方法。评注 此题属于求高阶偏导的常规题型，需要注意的是求一次偏导后，f 1，f 2仍为复合函数。17.设 f(x)在 内连续，f(x)0，且（分数：10.00）_正确答案：(由题设，设*内可导，且*所以*由条件知*从而有*
15、)解析：18.设 具有连续二阶偏导数，且满足（分数：10.00）_正确答案：(令*则*同理*代入原方程，即得*再解此二阶常系数线性非齐次微分方程，得其通解为u=C1cosr+C2sinr+r2-2，故函数 u 的表达式为*其中 C1，C 2是任意常数。)解析：分析 先设*，然后分别求出*代入原方程验证；最后再解微分方程。19.如果 0a6，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，试证在(a，b)内存在 x1，x 2，x 3使（分数：11.00）_正确答案：(设 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(x)0(axb)，由柯西中值定理知，在(a，b)内至少存在一点 ，使等式*成立
16、。当具体设 F1(x)=x2，F 2(x)=x4，F 3(x)=lnx 时就有 xi(ax ib，i=1，2，3)存在，使得*于是，有*即有*)解析：分析 将欲证等式变形，得*不难发现上式 f(x)在 x1，x 2，x 3处的导数的系数的共同点是：某函数 F(x)在a，b区间的增量与 F(x)在某点值之比，于是，使人联想到柯西中值定理。设 fn(x)=x+x2+xn(n=2，3，)，证明：（分数：10.00）(1).方程 fn(x)=1 在0，+)内有唯一的实根 xn；（分数：5.00）_正确答案：(f n(x)在0，1上连续，又 fn(0)=0，f n(1)=n1，由介值定理，存在 xn(0
17、，1)，使 fn(xn)=1(n=2，3，)又当 x0，+)时，fn(x)=1+2x+nxn-10，即 fn(x)在0，+)上严格递增，故 xn是方程 fn(x)=1 在0，+)内的唯一实根。)解析：_解析：20.设 D 是由 x0，yx 与 x2+(y-b)2b 2，x 2+(y，-a)。a 2(0ab)所围成的平面区域，计算（分数：10.00）_正确答案：(令 x=rcos，y=rsin，则*于是*)解析：21.已知 43 矩阵 A= 1， 2， 3，其中 1， 2， 3均为 4 维列向量，若非齐次线性方程组 Ax=的通解为(1，2，-1) T+k(1，-2，3) T，令 B= 1， 2，
18、 3，+ 3，试求 By= 1- 2的通解。（分数：11.00）_正确答案：(由题设，有r(A)=r 1， 2， 3=3-1=2*即 1-2 2+3 3=0从而 r(B)=r 1， 2， 3，+ 3=r 1， 2， 3， 1+2 2=r 1， 2， 3=2又因 1， 2， 3， 3+*是 By= 1- 2的解。进一步，由 B*知*是 By=0 的两个线性无关的解，可作为其基础解系，故所求通解为：*k1，k 2为任意常数。)解析：22.已知 =2 是矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(A 是实对称矩阵，=2 是二重根，故 =2 必有两个线性无关的特征向量，于是 r(2E-A)=1，可得 a=2。此时*于是 2+2+ 3=4+4+4，知 3=8解(2E-A)x=0，得特征向量*解(8E-A)x=0，得特征向量*先将 1， 2正交化：*再将 1， 2， 3单位化，得正交矩阵：*且有*)解析：
