1、考研数学二-163 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.若 （分数：4.00）填空项 1:_2.方程 （分数：4.00）填空项 1:_3.设不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_4.z=f(u，x，y)，u=x 2ey，其中 f具有连续的二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6.设 A为三阶实对称矩阵， 1=(a，-a，1) T是 Ax=0的解， 2=(a，1，1-a) T是(A+E)x=0 的解，则常数 a 1（分数：4.00）填空项 1:_二、选择题(总题数：8，分数：32.0
2、0)7.函数 f(x)=(x2+x-2)x 3-x2-6x不可导的点的个数是_A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)=ex，且 _A0 B （分数：4.00）A.B.C.D.9.已知在(-，+)上，f(x)= ，则_Aa=1，b=0 Ba=0，b=1Ca=1，b=-1 Da=1，b=-2（分数：4.00）A.B.C.D.10.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.11.二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 （分数：4.00）A.B.C.D.12.设 f(t)是连续函数，则 _（分数：4.00）A.B.C.D.13.齐次线性方程组 AX=0
3、为 （分数：4.00）A.B.C.D.14.设 A，B 为 n阶矩阵，考虑以下命题：若 A，B 为等价矩阵，则 A，B 的行向量组等价若行列式A=B，则 A，B 为等价矩阵若 Ax=0与 Bx=0都只有零解，则 A，B 为等价矩阵若 A，B 为相似矩阵，则 Ax=0与 Bx=0的解空间的维数相同以上命题中正确的是_A B C D（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 （分数：-1.00）_16.设函数 P(z)在0，1上可导，并有 （分数：-1.00）_17.设 f(x)= 其中 x0，n 为正整数，试证明：（分数：-1.00）_18.设函数 f(
4、x)在 axb 上有定义，并且连续，可微证明：在 axb 上有（分数：-1.00）_19.设抛物线 y=ax2+bx+c过原点，当 0x1 时，y0又已知该抛物线与 x轴及直线 x=1所围的面积为（分数：-1.00）_20.试求抛物线 x2=4y上的动点 P(x，y)与 y轴上的定点 Q(0，b)间的最短距离（分数：-1.00）_21.计算 （分数：-1.00）_22.设 A为三阶矩阵， 1， 2， 3是 A的 3个不同的特征值，对应的特征向量为 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3，()证明：，A，A 2 线性无关；()若 A3=A，求秩 r(A-E)及行列式A+2E（分数：-1.00）_2
5、3.设 A为三阶方阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 3+ 1，A 3= 1+ 2()求 A的全部特征值；()A 是否可对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使 p-1AP=A（分数：-1.00）_考研数学二-163 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：解析 当 x0 时，atanx+b(1-cosx)ax，ln(1-2x)+c(1-e -x2)-2x，所以2.方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 方程即
6、 为一阶线性微分方程所以 代入条件 y x=2=0得 C=4故方程满足条件的解为3.设不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 则由于不定积分的结果中不含反正切函数，则 C=0，于是4.z=f(u，x，y)，u=x 2ey，其中 f具有连续的二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e-1）解析：解析 因为 ey2不易积，所以更换积分次序6.设 A为三阶实对称矩阵， 1=(a，-a，1) T是 Ax=0的解， 2=(a，1，1-a) T是(A+E)x=0 的解，则常数 a 1
7、（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 1是属于特征值 1=0的特征向量， 2是属于特征值 2=-1的特征向量，由于 A为实对称矩阵，于是二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.函数 f(x)=(x2+x-2)x 3-x2-6x不可导的点的个数是_A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x)=(x+2)(x-1)xx-3x+2，所以 f(x)的不可导点只可能在 x=0，-2，3 三处取得，因为 g(x)=(x-a)x-a在 x=a处可导，而 (x)=x-a在 x=a处不可导，所以 f(x)在 x=0和x=3处不可导，故选 C8.设
8、f(x)=ex，且 _A0 B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 两边求导得9.已知在(-，+)上，f(x)= ，则_Aa=1，b=0 Ba=0，b=1Ca=1，b=-1 Da=1，b=-2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由拉格朗日中值定理可得f(x+1)-f(x)=f()，xx+1，可看出 y=ax+b+1是曲线 当 x时的斜渐近线所以10.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然 y在 x=0及 无意义，而 在(-，+)连续，且 y经过 x=0及 时均变号，所以 均为函数11.二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 （分数：
9、4.00）A.B.C.D. 解析：解析 二元函数在某点连续与偏导数存在之间没有必然的联系，故应选 D例如在(0，0)点连续，但偏导数不存在，12.设 f(t)是连续函数，则 _（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 更换积分次序，因为 0x1，0yx，则 0y1，yz1故13.齐次线性方程组 AX=0为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 若存在三阶非零矩阵 B，使 AB=0，则A=0，即14.设 A，B 为 n阶矩阵，考虑以下命题：若 A，B 为等价矩阵，则 A，B 的行向量组等价若行列式A=B，则 A，B 为等价矩阵若 Ax=0与 Bx=0都只有零解，则 A，B 为等价
10、矩阵若 A，B 为相似矩阵，则 Ax=0与 Bx=0的解空间的维数相同以上命题中正确的是_A B C D（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A，B 等价推不出 A，B 的行向量组等价如：A=三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 16.设函数 P(z)在0，1上可导，并有 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 所以 两边对 x求导得(x)=a(x)+ax(x)，即 ax(x)=(1-a)(x).若 a=0，则 (x)0；若 a0，变量分离有若 a1，两边积分得(C为常数).若 a=1，17.设 f(x)= 其中
11、x0，n 为正整数，试证明：（分数：-1.00）_正确答案：(证 f(x)=令 f(x)=0，得 x0=1，x k=k(k=1，2，)因为当 x1 时，x-x 20，sin 2nx0 (xk)，在 xk的左右两侧，f(x)0，因此 xk不是 f(x)的极值点又因当 0x1 时，f(x)0，当 1x 时，f(x)0，故 f(1)是极大值由极值的唯一性，可知)解析：18.设函数 f(x)在 axb 上有定义，并且连续，可微证明：在 axb 上有（分数：-1.00）_正确答案：(证 对 axb 的任一固定的 x，令 g(t)= 则 g(a)=g(x)=g(b)由罗尔定理有数 ，使得 axb，有 g(
12、)=g()=0，再次应用罗尔定理，有(，) (a，b)，使得 g()=0，即)解析：19.设抛物线 y=ax2+bx+c过原点，当 0x1 时，y0又已知该抛物线与 x轴及直线 x=1所围的面积为（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 因为抛物线过原点，所以 c=0又由题设可知因为20.试求抛物线 x2=4y上的动点 P(x，y)与 y轴上的定点 Q(0，b)间的最短距离（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 设曲线 x2=4y上的点 P(x，y)到点 Q(0，b)的距离为 d，则 d= 即 d2=(x-0)2+(y-b)2，设 f(x，y)=(x-0) 2+(y-b)2=4y
13、+(y-b)2，令当 b2 时，f 在 0y+内有唯一驻点，又最短距离是客观存在的，所以( b-2)是最小点，此时点 到点 Q(O，6)有最短距离当 b2 时，21.计算 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 积分区域用极坐标表示为如下图阴影区域所示，所以，利用对称性可得22.设 A为三阶矩阵， 1， 2， 3是 A的 3个不同的特征值，对应的特征向量为 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3，()证明：，A，A 2 线性无关；()若 A3=A，求秩 r(A-E)及行列式A+2E（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()设 k1+k 2A+k 3A2=0， 由题设 A i=
14、i(i=1，2，3)，于是A=A 1+A 2+A 3= 1 1+ 2 2+ 3 3 A2=A 2 1+A2 2+A2 3= 将式，式代入式整理得(k1+k2 1+ ) 1+(k1+k2 2+ ) 2+(k1+k2 3+ ) 3=0因为 1， 3， 3为三个不同的特征值所对应的特征向量，所以线性无关，于是有所以 k1=k2=k3=0，故 ，A，A 2 线性无关()由 A3=A 有A，A，A 2=A，A 2，A 3=A，A 2，A=，A，A 2令 P=，A，A2，则 P=，A，A 2可逆，且从而有23.设 A为三阶方阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 3+
15、 1，A 3= 1+ 2()求 A的全部特征值；()A 是否可对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使 p-1AP=A（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()由已知可得，A( 1+ 2+ 3)=2( 1+ 2+ 3)，A( 2- 1)=-( 2- 1)，A( 3- 1)=-( 3- 1)又因为 1， 2， 3线性无关，所以 1+ 2+ 30， 2- 10， 3- 10，所以 2，-1 是 A的特征值， 1+ 2+ 3， 2- 1， 3- 1是相应的特征向量又由 1， 2， 2线性无关，可得 2- 1， 3- 1线性无关，所以-1 是 A的二重特征值，即 A的全部特征值为 2，-1()由 1， 2， 3线性无关可证明 1+ 2+ 3， 2- 1， 3- 1线性无关，即矩阵 A有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵 A可相似对角化令 P= 1+ 2+ 2， 2- 1， 3- 1，则 p-1AP=A=
