1、考研数学二-177 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.2.当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?_Ax 2 B1-cosx C （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在 x=0 处满足 f(0)=f“(0)=f(n)(0)=0，f (n+1)(0)0，则_A当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点B当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极小值点C当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点D当 n 为奇数时，x=0 是
2、 f(x)的极小值点（分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 F(x)是 f(x)在区间(0，1)内的一个原函数，则 F(x)+f(x)在区间(0，1)内_A可导 B连续 C存在原函数 D是初等函数（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 是 n 阶方阵，线性方程组 AX=0 有非零解，则线性非齐次方程组 ATX=b 对任意 b=(b1，b 2，b n)T_A不可能有唯一解 B必有无穷多解C无解 D或有唯一解，或有无穷多解（分数：4.00）A.B.
3、C.D.8.已知 1=(-1，1，a，4) T， 2=(-2，1，5，a) T， 3=(a，2，10，1) T是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为_Aa5 Ba-4 Ca-3 Da-3 且 a-4（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 ，f(x)在 x=0 处可导，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设函数 y(x)由参数方程 （分数：4.00）填空项 1:_14.若矩阵 （分数
4、：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 ，其中 x0，求 （分数：10.00）_16.讨论 （分数：10.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.设 f(x)在区间0，1上可微，且满足条件 （分数：10.00）_19.试证：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)2（分数：11.00）_20.设 f(x)在0，a(a0)上非负且二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：10.00）_21.设 y=ex为微分方程 xy+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(
5、ln2)=0 的特解（分数：11.00）_22.若矩阵 （分数：11.00）_23.求一个正交变换，化二次型 （分数：11.00）_考研数学二-177 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，曲线 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 渐近线、间断点解析 只有间断点 x=0， ，没有铅直渐近线，又2.当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?_Ax 2 B1-cosx C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 高阶无穷小量解析 当 x0 时，3.设 f(x)在 x=0 处满足
6、 f(0)=f“(0)=f(n)(0)=0，f (n+1)(0)0，则_A当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点B当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极小值点C当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点D当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数奇偶性、极值点解析 因为 (由题设 f(0)=f(0)=f(n)(0)=0)所以当|x|很小时，f(x)-f(0)与 同号，而 f(n+1)(0)0，当 n 为偶数时， 在 x=0 点两侧异号，f(0)不是极值点；当 n 为奇数时，在 x=0 两侧均有 ，即 f(x)f(0)
7、，亦即 x=0 为 f(x)的极小值点，因此选(D)4.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数的极值解析 利用极限的同号性可以判定 f(x)的正负号：5.设 F(x)是 f(x)在区间(0，1)内的一个原函数，则 F(x)+f(x)在区间(0，1)内_A可导 B连续 C存在原函数 D是初等函数（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 原函数的存在条件解析 因 F(x)是 f(x)在区间(0，1)内的一个原函数，故 F(x)=f(x)，因此 F(x)在区间0，1内连续，于是 F(x)在区间0，1内存在原函数，因此
8、 F(x)+f(x)在区间(0，1)内存在原函数，选(C)6.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 定积分的性质解析 ，7.设 A 是 n 阶方阵，线性方程组 AX=0 有非零解，则线性非齐次方程组 ATX=b 对任意 b=(b1，b 2，b n)T_A不可能有唯一解 B必有无穷多解C无解 D或有唯一解，或有无穷多解（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 线性方程组的解解析 因为 AX=0 有非零解，而 A 为 n 阶方阵，所以|A|=|A T|=0因此 r(AT)n于是线性非齐次方程组ATX=b 在 r(A|b)=r(AT)时有无穷多解；在 r(AT|b)r(A T)时
9、无解故对任何 b，A TX=b 不可能有唯一解所以选(A)8.已知 1=(-1，1，a，4) T， 2=(-2，1，5，a) T， 3=(a，2，10，1) T是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为_Aa5 Ba-4 Ca-3 Da-3 且 a-4（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 特征值、特征向量解析 因为 1， 2， 3是 A 的属于三个不同特征值的特征向量，所以它们必线性无关，即秩( 1， 2， 3)=3由二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 ，f(x)在 x=0 处可导，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点
10、分段函数的导数解析 而10.设 f(x)连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln|x+1|）解析：考点 微分方程的通解解析 令 y=f(x)，两边对 x 求导数，得 ，即 ef(x)=x+C，因为 f(0)=0，所以在 ef(x)=x+C 两边令 x=0，得 C=1，所以有 ef(x)=x+111. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：考点 三角函数求极限解析 原式=又12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 全微分解析 ，则13.设函数 y(x)由参数方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x1）解析：考点 参数
11、方程求导、曲线上凸解析 由题设， ，则 令 ，则 ，即 t0，又由已知 x=t3+3t+1，则14.若矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 逆矩阵解析 故三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 ，其中 x0，求 （分数：10.00）_正确答案：(令 ，则 ，当 t=1 时，y=1，当 时，y=x，于是 ，因此 )解析：考点 为了便于合并，可对 先作倒代换， 也可先求16.讨论 （分数：10.00）_正确答案：(因为 ，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续，因为 ，所以 fx(0，0)=0 由对称性得fy(0，0)=0，即函数 f(x，y)在点(0，0
12、)处可偏导因为 ，且 )解析：考点 二元函数的微分性质讨论17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(D 是正方形区域，因在 D 上被积函数分块表示为用 y=x 将 D 分成 D=D1D 2，其中 D1=Dyx，D 2=Dyx两块，)解析：考点 二重积分18.设 f(x)在区间0，1上可微，且满足条件 （分数：10.00）_正确答案：(由结论可知，若令 (x)=xf(x)，则 (x)=f(x)+xf(x)因此，只需证明 (x)在0，1内某一区间上满足罗尔定理的条件令 (x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在 使 = ，由已知条件，有 ，于是 (1)=f(1)=()，并且 (x)在
13、，1上连续，在(，1)上可导，故由罗尔定理可知，存在 (，1) )解析：考点 微分中值定理的应用19.试证：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)2（分数：11.00）_正确答案：(令 f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2易看出 f(1)=0，且有)解析：考点 函数单调性以及函数极值点20.设 f(x)在0，a(a0)上非负且二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：10.00）_正确答案：(设所围区域为 D，则由形心公式可知，欲证明 ，即需证明 ，只需证明 令 ，则根据 f(0)=0 知，G(0)=0；，同理有，
14、G(0)=0；因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，故而 G“(x)0由 G“(x)0，G(0)=0，可得 G(x)0(x0)，又由 G(x)0，G(0)=0，可得 G(x)0(x0)，则 G(a)0，即 )解析：考点 多元函数积分学的物理应用21.设 y=ex为微分方程 xy+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解（分数：11.00）_正确答案：(把 y=ex代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xe-x-x，原方程化为 y+(e-x-1)y=1，则 ，将 y(ln2)=0 代入 中得 ，故特解为 )解析：考点 微分方程的解法22.若矩阵 （
15、分数：11.00）_正确答案：(由题设，先求矩阵 A 的特征值，设 E 为三阶单位矩阵，则由可得 1=6， 2=6， 3=-2，欲使 A 相似于对角阵 ，应使 1= 2=6 对应两个线性无关的特征向量，因此 A-6E 的秩为 1，于是 ，可得出 a=0，从而 ，下面求特征向量当 1= 2=6 时，由(A-6E)x=0 可得出两个线性无关的特征向量为 1=(0，0，1) T， 2=(1，2，0) T当 3=-2 时，由(A+2E)x=0 可得 3=(1，-2，0) T，于是 ，且 P-1存在，并有 P-1AP=，其中 )解析：考点 相似矩阵、对角化23.求一个正交变换，化二次型 （分数：11.00）_正确答案：(二次型的矩阵是 ，其特征多项式为 ，所以 A 的特征值是 1= 2=0， 3=9对于是 1= 2=0，由(0E-A)x=0，即得到基础解系 1=(2，1，0) T， 2=(-2，0，1) T，即为属于特征值 =0 的特征向量对于 3=9，由(9E-A)x=0，即 ，得到基础解系 3=(1，-2，2) T由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对 1， 2正交化 1= 1=(2，1，0) T，把 1， 2， 3单位化，有那么经正交变换 ，所以二次型 f 化为标准型 )解析：考点 化二次型为标准型的计算
