1、考研数学二-184 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则_Ax 0必是函数 f(x)的驻点 B-x 0必是函数-f(-x)的最小值点C-x 0必是函数-f(-x)的极小值点 D对一切 x0都有 f(x)f(x 0)（分数：4.00）A.B.C.D.2.如下图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周设 F(x)= ，则下列结论正确的是_ABCD （
2、分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)连续且 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是_Ay“-y-2y=3xe x By“-y-2y=3e xCy“+y-2y=3xe x Dy“+y-2y=3e x（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为奇函数的是_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 D：x 2+y216，则 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是_AA 的列向量线性无关 BA 的列向量线性相
3、关CA 的行向量线性无关 DA 的行向量线性相关（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 为 n 阶实矩阵，A T为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()Ax=0 和()A TAX=0 必有_A()的解是()的解，但()的解不是()的解B()的解是()的解，()的解也是()的解C()的解不是()的解，()的解也不是()的解D()的解是()的解，但()的解不是()的解（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是微分方程 满足 f(1)=0 的特解，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续， （分数：4.00）填空项 1:_
4、11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(u，v)是二元可微函数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_14.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 ，求 （分数：10.00）_16.设 f(u)具有二阶连续导数，且 ，求 （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内
5、不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 2010 年年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2011年年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：11.00）_19.设 f(x)a，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且，证明： （分数：10.00）_设 f(x)，g(x)在-a，a上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A 为常数)（分数：11.00）(1).证明*；（分数：5.50）_(2).的结论计算定积分*（分数：5.50）_20.设 a1，a 2，a n为 n 个
6、实数，并满足 ，证明方程 a1cosx+a2cos3x+ancos(2n-1)x=0 在（分数：10.00）_21.已知齐次线性方程组() ，和() （分数：11.00）_设二次型 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_(2).利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵（分数：5.50）_考研数学二-184 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则_Ax 0必是函数 f(x)的驻点 B-x 0必是函数-
7、f(-x)的最小值点C-x 0必是函数-f(-x)的极小值点 D对一切 x0都有 f(x)f(x 0)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数的极值解析 因为“函数 f(x)的极值点不一定是函数 f(x)的驻点”，如 f(x)=3-|x-1|在 x0=1 点处取得极大值f(1)=3，但 x0=1 点并不是函数 f(x)的驻点(A)不对又“函数 f(x)的极值点不一定是函数 f(x)的最值点”，如 f(x)=x3-6x2+9x-1，因为 f(x)在(-，+)内没有最大值，但却在 x0=1 点处取得极大值 f(1)=3而当 x4 时，都有 f(x)f(x 0)(D)不对，至于(B)，我
8、们在否定(D)时，实际上已经得到结论了仍然可举(D)中用过的例子为反例因此选(C)2.如下图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周设 F(x)= ，则下列结论正确的是_ABCD （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 定积分的几何意义解析 的大小与曲线 f(x)与 x 轴所围面积的大小有关因为3.设 f(x)连续且 ，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的极限解析 4.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是_Ay“-y-2y=3xe
9、x By“-y-2y=3e xCy“+y-2y=3xe x Dy“+y-2y=3e x（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二阶常系数线性非齐次微分方程求解解析 依题意，y=C 1ex+C2e-2x+xex是某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解相应的齐次方程的特征根是 1=1， 2=-2，特征方程应是(-1)(+2)=0，所以相应的齐次方程为 y“+y-2y=0，在(D)中，方程y“+y-2y=3ex有形如 y*=Axex的特解(e ax中 a=1 是单特征根)通过验证知，y *=Axex是 y“+y-2y=3ex的特解，所以选(D)5.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为奇函数
10、的是_A BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 变上限定积分解析 由题设，逐一分析 4 个选项，由于 f(x)的奇偶性未给定，所以(A)、(B)的奇偶性不确定设 ，则 ，因此 f3(x)为奇函数设 ，则6.设 D：x 2+y216，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二重积分解析 7.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是_AA 的列向量线性无关 BA 的列向量线性相关CA 的行向量线性无关 DA 的行向量线性相关（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 由齐次线性方程组的解判定定理即可得正确选项解析 由解的判定定理知
11、Ax=0 仅有零解8.设 A 为 n 阶实矩阵，A T为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()Ax=0 和()A TAX=0 必有_A()的解是()的解，但()的解不是()的解B()的解是()的解，()的解也是()的解C()的解不是()的解，()的解也不是()的解D()的解是()的解，但()的解不是()的解（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 线性方程组的解解析 若 xi是 AX=0 的解，即 Axi=0，显然 ATAxi=0；若 xi是 ATAX=0 的解，即 ATAxi=0，则 ，即(Ax i)T(Axi)=0若 Axi0，不妨设 Axi=(b1，b 2，b n)T，b 10，则
12、二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是微分方程 满足 f(1)=0 的特解，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 微分方程的特解解析 因为将 及 f(1)=0 代入得即 ，故10.设 f(x)连续， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 函数的连续性与极限解析 因为当 x0 时， ，所以有 因为 f(x)连续，所以11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 二重积分的计算解析 12.设 f(u，v)是二元可微函数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 求偏导数解析
13、 已知 ，则 ，于是13.微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(x-4)y 4=Cx）解析：考点 微分方程的解法解析 微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 化为14.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 二次型的秩解析 由题设，则该二次型的矩阵为 ，由初等行变换可将 A 化为三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(因为 x0 时， ，所以 )解析：考点 函数的
14、极限16.设 f(u)具有二阶连续导数，且 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(由于 ，故 )解析：考点 多元复合函数求偏导17.计算 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：考点 二重积分的计算18.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 2010 年年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2011年年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：11.00）_正确答案：(设从 2011 年年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，t+dt
15、，排入湖中污染物 A 的含量为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 ，解得 ，又由 m(0)=5m，得 ，于是 )解析：考点 微积分的应用19.设 f(x)a，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且，证明： （分数：10.00）_正确答案：(因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)取 ，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ，于是有 ，把 代入 f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0)(x)+f(x 0)x(x)
16、-x 0(x)，上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 )解析：考点 积分不等式的证明设 f(x)，g(x)在-a，a上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A 为常数)（分数：11.00）(1).证明*；（分数：5.50）_正确答案：( ，又 ，因此 )解析：(2).的结论计算定积分*（分数：5.50）_正确答案：(取 f(x)=arctanex，g(x)=|sinx|， ，则 f(x)，g(x)在 上连续g(x)为偶函数，由 ，知 arctanex+arctane-x为常数，取 x=0 得 ，所以 ，于是由()有 )解析：考点 对称区间上的定积分 一般分解
17、为 ，再对第一个积分作变换 x=-t 即可20.设 a1，a 2，a n为 n 个实数，并满足 ，证明方程 a1cosx+a2cos3x+ancos(2n-1)x=0 在（分数：10.00）_正确答案：(令则 F(0)=0， ，所以由罗尔定理存在 )解析：考点 罗尔中值定理21.已知齐次线性方程组() ，和() （分数：11.00）_正确答案：(根据题意可知方程组()中方程组个数未知数个数，从而()必有无穷多解，所以()必有无穷多解所以()的系数行列式必为 0，即 a=2对()系数矩阵作初等变换，有 ，可得方程组()的通解为 k(-1，-1，1) T其中 k 为任意常数由于(-1，-1，1)
18、T是方程组()的解，故有 ，解得 b=1，c=2，或 b=0，c=1当 b=0，c=1 时，方程组()为 )解析：考点 齐次线性方程组求解设二次型 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_正确答案：(由题设，二次型 f 相应的矩阵为 设 A 的 3 个特征值为 1， 2， 3，则由已知条件知 1+ 2+ 3=1， 1 2 3=-12；利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系，得a=1 及 )解析：(2).利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵（分数：5.50）_正确答案：(由|A-E|=0，即 ，可求出 A 的特征值为 1= 2=2， 3=-3不难求得对应于 1= 2=2 的特征向量为 ；对应于 3=-3 的特征向量为 ，对 1， 2， 3正交规范化，得令矩阵则 P 为正交矩阵，在正交变换 x=Py 下，其中 ，因此二次型的标准型为 )解析：考点 特征值、正交变换、二次型的标准形
