1、考研数学二-185 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列各种说法中不正确的是_A若在 D 内，有 ，则 f(x，y)常数B若在 D 内， ，则 f(x，y)常数C若在 D 内，有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数D若在 D 内，有 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设平面区域 D：1x 2+y29，f(x，y)是区域 D 上的连续函数，则 等于_A BC D （分数：4
2、.00）A.B.C.D.5.设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x)，h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于_Aln3-1 B-ln3-1 C-ln2-1 Dln2-1（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y-esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在_Ax 0的某个邻域内单调增加 Bx 0的某个邻域内单调减少Cx 0处取得极小值 Dx 0处取得极大值（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有_A当|A|=a(a0)时，|B|=a B当|A|=a(a0)时，|B|=-aC当|A|0 时，|B|
3、=0 D当|A|=0 时，|B|=0（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则_A(A *)*=|A|n-1A B(A *)*=|A|n+1AC(A *)*=|A|n-2A D(A *)*=|A|n+2A（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 z=esinxy，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 n 维
4、向量 =(a，0，0，a) T，a0，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E- T，B= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.曲线 （分数：10.00）_17.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bC（分数：10.00）_设 ，x0，y0求：（分数：10.00）(1).*；（分数：5.00）_(2).*（分数：5.00）_18.设函数 f(x)Ca，b，
5、且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb，证明： （分数：11.00）_19.设 ，其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0，求 （分数：10.00）_20.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数 K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0的雪堆在开始融化的 3 个小时内，融化了其体积的 （分数：11.00）_21.k 为何值时，线性方程组 （分数：11.00）_设矩阵 （分数：11.00）(1).a 的值；（分数：5.50）_(2).正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵（分数：5.50）_考研数学二-185 答案解析(总分：150.00，
6、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 极限、间断点解析 由已知 ，当 x-1 时，f(x)=0；当-1x1 时，f(x)=1+x；当 x=1 时，f(x)=1；当 x1 时，f(x)=0所以2.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数的有界性、无穷小及连续性解析 ，3.设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列各种说法中不正确的是_A若在 D 内，有 ，则 f(x，y)常数B若在 D 内， ，则 f(x，y)常数C若在 D 内，有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数
7、D若在 D 内，有 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二元函数的偏导数解析 由排除法(A)、(B)、(C)正确，故选(D)显然(A)是正确的，(B)与(A)条件等价，故(B)正确，在区域 D，4.设平面区域 D：1x 2+y29，f(x，y)是区域 D 上的连续函数，则 等于_A BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 用极坐标计算二重积分解析 5.设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x)，h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于_Aln3-1 B-ln3-1 C-ln2-1 Dln2-1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 求导数解析 由
8、已知条件有 h(x)=e1+g(x)g(x)令 x=1，得 h(1)=e1+g(1)g(1)，即 1=e1+g(1)2，所以6.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y-esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在_Ax 0的某个邻域内单调增加 Bx 0的某个邻域内单调减少Cx 0处取得极小值 Dx 0处取得极大值（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 将 f(x0)=0 代入方程，得 f“(x0)的符号，从而由极值的充分条件得选项解析 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-esinx=0，所以有 f“(x0)=esinx-f(x0)=7.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价
9、，则必有_A当|A|=a(a0)时，|B|=a B当|A|=a(a0)时，|B|=-aC当|A|0 时，|B|=0 D当|A|=0 时，|B|=0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵等价解析 由题设，若 B=A，则 A 与 B 等价，因此|A|=|B|，显然(B)、(C)不正确其次，当|A|0 时，若对 A 施以一定的初等变换得 B，则|B|可以变为任何不为 0 的实数，可见(A)亦不正确，所以只有(D)正确事实上，由于初等变换不改变矩阵的秩，直接可判断出只有(D)正确，综上，选(D)8.设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则_A(A *)*=|A
10、|n-1A B(A *)*=|A|n+1AC(A *)*=|A|n-2A D(A *)*=|A|n+2A（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 利用伴随矩阵的性质和行列式的性质即可解析 涉及伴随矩阵 A*，首先联想到公式 AA*=A*A=|A|E由题设，矩阵 A 非奇异，故 A 可逆，所以由公式 AA*=A*A=|A|E 可得 A*=|A|A-1，于是二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=Cxe -x，C 为任意常数）解析：考点 一阶微分方程的通解解析 微分方程 是可变量分离的一阶微分方程，分离变量得 ，积分得 ln|
11、y|=ln|x|-x+C1，即10.设 z=esinxy，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e sinxycosxy(xdy+ydx)）解析：考点 全微分解析 11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 不定积分的计算解析 12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n 2）解析：考点 定积分及函数极限的求法解析 又设 nxn+1 nx(n+1)所以，13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：考点 函数的连续性解析 14.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E-
12、T，B= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 矩阵运算、可逆矩阵解析 由题设，知 AB=E，从而 ，由已知 =(a，0，0，a) T，且 a0，则 T0，而 T=2a 2，于是 ，解得三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 求函数的极限16.曲线 （分数：10.00）_正确答案：(由 ，得 ，从而切点 处的切线方程为该切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为(3，0)和 ，因此此切线与 x 轴和 y 轴所围成的平面图形的面积为 当切点沿曲线趋于无穷远时，分两种情况：(1)当切点沿 x 轴正向趋于无穷远时， ；
13、(2)当切点沿 y 轴正向趋于无穷远时， )解析：考点 切线方程、平面图形的面积、极限17.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bC（分数：10.00）_正确答案：(当 a=0 时，f(0)=0，有 f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)；当 a0 时，在0，a和b，a+b上分别应用拉格朗日中值定理有显然 0 1ab 2a+bc，因 f(x)在0，c上单调减少，故 f( 2)f( 1)，从而有 )解析：考点 在0，a与b，a+
14、b上分别应用拉格朗日中值定理设 ，x0，y0求：（分数：10.00）(1).*；（分数：5.00）_正确答案：(由已知 ，而 ，所以 )解析：(2).*（分数：5.00）_正确答案：(知 ，可见第一个极限 是-型未定式， 是 型未定式因为，所以 )解析：考点 求函数的极限18.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb，证明： （分数：11.00）_正确答案：(因为积分区域关于直线 y=x 对称，所以 ，于是 又因为 f(x)0，所以 ，从而 )解析：考点 二重积分的性质及运算19.设 ，其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0，求 （分数：10.00）_正确答案：
15、(因为 ，所以 )解析：考点 利用参数方程求导法求导即可20.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数 K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0的雪堆在开始融化的 3 个小时内，融化了其体积的 （分数：11.00）_正确答案：(本题是考查利用微分方程对问题建立数学模型，再求解微分方程，其中以时间 t 作为自变量来建立微分方程，但依未知函数的不同选择而有以下两种方法：(1)以半径 r 为未知函数，雪堆在时刻 t 的体积 ，侧面积 S=2r 2，由题设知化简上式即可得到以 r 为未知函数的微分方程， ，解之得 r=-kt+C，由初始条件 r|t=0=
16、r0，可得出C=r0，所以 r=r0-kt 又由已知 ，从而 ，可求出 ，因此 ，雪堆全部融化时 r=0，从而 ，得 t=6，即全部融化需 6 小时(2)以雪堆体积 V 为未知函数，在时刻 t， ，侧面积 s=2 2，即 ，由题设， ，此即以 V 为未知函数的微分方程，分离变量得 ，两边积分得 由已知，当 t=0 时， ；当 t=3 时， ，代入上式分别得到 ，联立此二式可解出 ，从而有 )解析：考点 微分方程21.k 为何值时，线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：(用初等行变换化增广矩阵为阶梯形当 k-1 和 k4 时，有 这时方程组有唯一解：当 k=-1 时，r(A)=2r(A)=
17、3，方程组无解当 k=4 时，有 ，r(A)=r(A)=2n=3，故方程组无穷多组解，这时，同解方程组为：令 x3=c，得方程组的全部解： )解析：考点 这是对带一个未知参数的非齐次方程组解的讨论，可用初等行变换法设矩阵 （分数：11.00）(1).a 的值；（分数：5.50）_正确答案：(由题设，AX= 的解不唯一，从而其系数矩阵的秩与增广矩阵阵的秩相同但小于 3对增广矩阵做初等行变换，得不难推断出 a=-2因此 )解析：(2).正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵（分数：5.50）_正确答案：(下面求 A 的特征值及特征向量由|A-E|=0，即 ，可解出 1=3， 2=-3， 3=0，相应特征向量为 ，单位化得 令 从而 )解析：考点 非齐次线性方程组、实对称矩阵对角化
