1、考研数学二-187 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=ln(1+x2)-x2， （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 f(x)在 x=a，x=b 两点处可导，且 f(a)=f(b)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在(-，+)内除 x=0 点外二阶可导，其一阶导数的图形如图所示，则 f(x)有_（分数：4.00）A.B.C.D.4.微分方程 y“-y-6y=(2x+3)e-2x的特解为_A(ax+b)e -2xBax 2e-2xC(ax 2+bx)e-2x Dx 2(ax+b)e-2
2、x（分数：4.00）A.B.C.D.5.下列反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 ， ， （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 ， ， ， ， （分数：4.00）A.B.C.D.8.设有方程组 Ax=0 与 Bx=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：若 Ax=0 的解都是 Bx=0 的解，则 r(A)r(B)若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解都是 Bx=0 的解若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r(A)=r(B)若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题正确的个数为_A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C.D.二、
3、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 y“-2y+ay=3e-x的特解形式为 Axe-x，则其通解为_（分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设有一半椭球形水池，池口是半径为 a 的圆，若以每秒 v 单位的速度向池内注水，则水深增加的速度（分数：4.00）填空项 1:_13.设区域 D=(x，y)|0x1，0Y1)，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.若二次型 f(x1，x 2，x 3)=x21+2x32+x23+2x1x2+2tx2x3是正定的，则 t
4、 的可能取值范围是_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且满足 （分数：10.00）_（分数：11.00）(1).设 f(x)在(a，+)内可导，且*，求证：若 A0，则*；若 A0，则*（分数：5.50）_(2).设 g(x)在(a，+)上连续，且*收敛，又*，求证 =0（分数：5.50）_16.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1， ， ， （分数：10.00）_17.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为
5、 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点(1，1)，求 L 的方程（分数：10.00）_18.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明：至少存在一点 0，a，使得 （分数：10.00）_有一半径为 4m 的半球形水池里有 2m 深的水，现需将水全部抽到距地面 6m 高的水箱内（分数：11.00）(1).求水池中原来水的体积；（分数：5.50）_(2).求抽水至少需要做多少功（分数：5.50）_19.计算 ，其中 D 是由直线 x=2，y=2，x 轴及曲线 x=- （分数：10.00）_20.讨论方程组 （分数：11.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且向量 a1=(-1，
6、2，-1) T，a 2=(0，-1，1) T是线性方程组(A-E)x=0 的两个解（分数：11.00）(1).求 A 的特征值和特征向量；（分数：5.50）_(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A（分数：5.50）_考研数学二-187 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=ln(1+x2)-x2， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 则2.已知 f(x)在 x=a，x=b 两点处可导，且 f(a)=f(b)，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 3.设函数 f(x)在(-，+
7、)内除 x=0 点外二阶可导，其一阶导数的图形如图所示，则 f(x)有_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 如图所示，当 xx 1时，f (x)0，当 x(x 1，x 2)时，f (x)0，则 x=x 为 f(x)的极大值点；当 x(x 2，0)时，f (x)0，则 x=x2为 f(x)的极小值点；当 x(0，x 3)时，f (x)0，则 x=0 为 f(x)的极大值点；当 x(x 3，x 4)时，f (x)0，则 x=x3为 f(x)的极小值点；当 xx 4时，f (x)0，则 x=x4为f(x)的极大值点即 f(x)有三个极大值点，两个极小值点又 f“(x)有两个零点，且一阶导
8、数在两个零点两侧增减性有变化，所以 f(x)有两个拐点综上所述，应选择 C4.微分方程 y“-y-6y=(2x+3)e-2x的特解为_A(ax+b)e -2xBax 2e-2xC(ax 2+bx)e-2x Dx 2(ax+b)e-2x（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 y “-y-6y=0 的特征方程有单特征根 3，-2，于是 y“-y-6y=(2x+3)e-2x有特解 x(ax+b)e-2x所以正确答案为 C5.下列反常积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 这四个反常积分中有两个收敛，两个发散 ，发散6.设 ， ， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析
9、7.已知 ， ， ， ， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 把矩阵 A 的 1、2 两行对调，再把第 1 列的-1 加至第 3 列，即可得到矩阵 B，即B=P1AP3那么B-1=(P1AP3)-1=P3-1A-1P1-1=P2A-1P1所以，应选择 A8.设有方程组 Ax=0 与 Bx=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：若 Ax=0 的解都是 Bx=0 的解，则 r(A)r(B)若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解都是 Bx=0 的解若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r(A)=r(B)若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题正确的
10、个数为_A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 若方程组 Ax=0 的解都是方程组 Bx=0 的解，则 n-r(A)n-r(B)，从而 r(A)r(B)，所以命题正确命题显然不正确同解方程组的系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以正确，错误二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 其中所以10.设 y“-2y+ay=3e-x的特解形式为 Axe-x，则其通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为方程有特解 Axe-x，所以-1 为 y“-2y+ay=0 的一个特征根，即
11、(-1) 2-2(-1)+a=O，得a=-3 所以特征方程为 2-2-3=0，得 1=-1， 2=3齐次方程 y“-2y+ay=0 的通解为y=C1e-x+C2e3x再把 Axe-x代入原方程，得所以原方程的通解为11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 令 ，12.设有一半椭球形水池，池口是半径为 a 的圆，若以每秒 v 单位的速度向池内注水，则水深增加的速度（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解析 如图，建立坐标系，设水深为的水面圆的半径为 x，则椭圆方程为 此时，池中水量增量微元为 从而 由于 ，故有13.设区域 D=(x，y)|0x1，0Y
12、1)，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 D 关于直线 y=x 对称，所以 则 所以14.若二次型 f(x1，x 2，x 3)=x21+2x32+x23+2x1x2+2tx2x3是正定的，则 t 的可能取值范围是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1t1）解析：解析 二次型 f 的矩阵 因为 f 正定，所以 A 的顺序主子式全大于零又三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(由导数定义，有由已知得即积
13、分得又由得 )解析：（分数：11.00）(1).设 f(x)在(a，+)内可导，且*，求证：若 A0，则*；若 A0，则*（分数：5.50）_正确答案：(联系 f(x)与 f(x)的是拉格朗日中值定理，取 x0(a，+)， xx0 有 f(x)=f(x0)+f()(x-x 0)(x0x) 因 ，若 A0，由极限的不等式性质可得， Xa，当 xX 时，f(x) 现取定 x0x，当 xx 0时，由于 x 0x，有 f() ，于是由得 f(x)f(x 0)+ (x-x0)(xx 0)又因为 ，所以 若 A0，考察 h(x)=-f(x)，则 h(x)=-f(x)，从而 ，由已证结论知 ，于是 )解析：
14、(2).设 g(x)在(a，+)上连续，且*收敛，又*，求证 =0（分数：5.50）_正确答案：(记 ，则 f(x)在a，+)内可导且 f(x)=g(x)， 若 0，则 0 或 0，由()中结论得 g(t)dt=+z十 z十。J 口(或-)，与 )解析：16.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1， ， ， （分数：10.00）_正确答案：( ，归结为求 (1)根据复合函数求导法得(x)=f1(x，xf(x，x)+f 2(x，xf(x，x) xf(x，x)=f1(x，xf(x，x)+f 2(x，xf(x，x)f(x，x)+xf 1(x，x)+f 2(x，x)(1)=
15、f1(1，1)+f 2(1，1)1+f 1(1，1)+f 2(1，1)此处 所以(1)=1+3(1+1+3)=16)解析：17.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点(1，1)，求 L 的方程（分数：10.00）_正确答案：(设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y (X=x)，令 X=0，则 Y=y-yx，故点 A 的坐标为(0，y-y x)由 |MA|=|OA|，得 即 这是一阶线性非齐次方程，得解， 因为曲线经过点(1，1)，所以C=2再由曲线在第一象限内，得曲线方程为 )
16、解析：18.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明：至少存在一点 0，a，使得 （分数：10.00）_正确答案：(所给问题为 f(x)的定积分与 f()之间的关系，可以考虑成其原函数 与 F“()之间的关系，从而利用二阶泰勒公式来证明如果认定为考查 f(x)与 f()之间的关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明也可以利用积分中值定理 来证明方法一：利用 f(x)=f(0)+f( 1)(x-0)=f(0)+f( 1)x 可得 因 f(x)在0，a上连续，由闭区间上连续函数的最大值、最小值定理可知，存在 m 和 M，使 mf (x)M，于是在0，a上有 mxxf ( 1)Mx，
17、故 即 由连续函数的介值定理知，至少存在一点 0，a，使得 ，即 ，于是 方法二：因为 f(x)连续，x-a0(x0，a)，故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使得 于是方法三：令 ，则 F(x)可用麦克劳林公式表示为 即 令 x=a 得 )解析：有一半径为 4m 的半球形水池里有 2m 深的水，现需将水全部抽到距地面 6m 高的水箱内（分数：11.00）(1).求水池中原来水的体积；（分数：5.50）_正确答案：(如图，建立直角坐标系，以球心为坐标原点，向上作为 y 轴正向取区间y，y+dy，在此区间上，体积微元 dV=x 2dy 其中 x2=42-y2所以 dV=(16-y 2)dy
18、 水的体积 )解析：(2).求抽水至少需要做多少功（分数：5.50）_正确答案：(提升体积微元的水所需的功为 dW=(6-y)pg(16-y 2)dy 所以，将水全部提升至地面上方 6m 处，需做功 )解析：19.计算 ，其中 D 是由直线 x=2，y=2，x 轴及曲线 x=- （分数：10.00）_正确答案：(积分区域如图所示选择先 x 后 y 的积分次序，得 令 t=y-1，利用对称区间上奇偶函数积分性质及定积分几何意义可得 ， ，所以令 t=sin， )解析：20.讨论方程组 （分数：11.00）_正确答案：(1)当 a-1，b-2 时，因为|D|0，所以方程组有唯一解，由克莱姆法则得(
19、2)当 a=-1 时，当 b-1 时，方程组无解当 b=-1 时，方程组的通解为 (k 为任意常数)(3)b=-2 时，当 a1 时，方程组无解当 a=1 时，方程组的通解为 )解析：设 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且向量 a1=(-1，2，-1) T，a 2=(0，-1，1) T是线性方程组(A-E)x=0 的两个解（分数：11.00）(1).求 A 的特征值和特征向量；（分数：5.50）_正确答案：(因为(A-E)x=0，所以 Ax=x，所以 a1，a 2是矩阵 A 属于 =1 的特征向量由 r(A)=2 知|A|=0，所以 =0 是矩阵 A 的特征值设 a3=(x1，x 2，x 3)T是 A 属于特征值 =0 的特征向量，作为实对阵矩阵，特征值不同的特征向量相互正交，则 )解析：(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A（分数：5.50）_正确答案：(因为 a1，a 2不正交，故需正交化 1=a1=(-1，2，-1) T单位化，得则得 )解析：
