1、考研数学二-200 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 f(x-1)=x2+ax+，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.若 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 其中 f(x)在 x=0 处连续，且 f(0)=0若 F(x)在 x=0 处连续，则 k 等于_A B0 C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设无穷长直线 L 的线密度为 1，引力常数为 k，则 L 对距直线为 a 的单位质点 P 沿 y 轴方向的引力为_A B C D （分数：4.00）A.B.C.
2、D.6.设矩形域 D：0x，0y，则二重积分 为_.A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 n 阶方阵 A，B，C，D 满足关系式 ABCD=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则必有_AACBD=E BBDCA=ECCDAB=E DDCAB=E（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 y=x2e-1/x2+1 的水平渐近线方程是_.（分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.
3、 （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶方阵，B 为四阶方阵，且 A 的三个特征值分别为 1，2，3，B 2=O，则矩阵 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，若在(0，1)内有 x1x 2，使（分数：10.00）_16.设 0ab，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0，求证：存在 ，(a，b)，使得（分数：10.00）_17.设 y=y(x)由确定，求当 时的 （分数：10.00）_18.设 （分数：10.00）_19.求星形线 （分数：10
4、.00）_20.设 g(x)0 为已知连续函数，在圆域D=(x，y)|x 2+y2a 2(a0)上计算积分： （分数：10.00）_21.设 （分数：10.00）_22.已知三阶矩阵 BO，且 B 的每一个列向量都是下方程组的解：（分数：10.00）_23.已知 1=1，3，5，-1 T， 2=2，7，a，4 T， 3=5，17，-1，7 T()若 a1，a 2，a 3线性相关，求 a 的值；()当 a=3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；()当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个四维列向量（分数：10.00）_考研数学二-200 答案解析(总分：146.00，做
5、题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 f(x-1)=x2+ax+，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用极限的运算法则及性质求之令 x-1=t，则f(t)=(t+1)2+a(t+1)+，即f(x)=(x+1)2+a(x+1)+由 及 知，必有，即则2.设函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 先求出分段函数 f(x)的表示式，再考察在分段点的左、右极限，求出间断点，再判断其类型当|x|1 时， ；当|x|1 时， 当 x=1 时，f(x)=1，当 x=-1 时，f(x)=0因此由于故 x=-1 是 f(x)的连续点而3.若 （分
6、数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用极限的局部保号性及极值的定义判别之由 及 知f(0)=0，且存在 x=0 的某空心邻域，在此邻域内有4.设 其中 f(x)在 x=0 处连续，且 f(0)=0若 F(x)在 x=0 处连续，则 k 等于_A B0 C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用 F(x)在 x=0 处连续的定义求之根据连续的定义，有5.设无穷长直线 L 的线密度为 1，引力常数为 k，则 L 对距直线为 a 的单位质点 P 沿 y 轴方向的引力为_A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 先写出所求的引力微元 dFy，然后再按反
7、常定积分的计算公式求之取 L 为 x 轴，y 轴过 P 点，如图所示. 在 L 上任取一小段x，x+dx，它对点 P 的引力沿 y 轴方向分量为其中 ，所以于是 L 对质点 P 沿 y 轴方向的引力6.设矩形域 D：0x，0y，则二重积分 为_.A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 用直线 y=x 将区域 D 划分为两个子区域，去掉 maxx，y再积分7.设 n 阶方阵 A，B，C，D 满足关系式 ABCD=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则必有_AACBD=E BBDCA=ECCDAB=E DDCAB=E（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用可逆矩阵
8、的定义：如 AB=E 或 ABC=E，或 ABCD=E，则分别有AB=BA=E，ABC=BCA=CAB=E，ABCD=BCDA=CDAB=DABC=E，即满足上式依次循环的矩阵乘积等式是成立的由 ABCD=E 知，ABCD=CDAB=E仅(C)入选8.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 B 为实对称矩阵，可对角化，又因 AB，故 B 的特征值 0、3(二重根)、-2 必是 A 的特征值，且重数相同，故秩(A-3E)=4-2=2由二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 高阶无穷小在求极限的过程中可去掉，
9、而且不影响所求极限的值因分子、分母去掉高阶无穷小，得到10.曲线 y=x2e-1/x2+1 的水平渐近线方程是_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=1）解析：解析 按照水平渐近线的定义求之11.设函数 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1/2）解析：解析 用导数定义求之解一 因故 又函数在 x=1 处连续，故 f(1)=0，于是故 f(1)=1/2解二12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先用洛必达法则去掉分子、分母的积分号，再按幂指函数求其极限的方法求之原式或原式13. （分数：4.00）填空项 1:
10、_ （正确答案： ）解析：解析 先画出积分区域，如图阴影部分所示然后调换积分次序(先对 y 后对 x)计算这是因为被积函数为 直接对 x 积分是无法求出结果的交换积分次序(先对 y 后对 x)计算，得到：原式14.设 A 为三阶方阵，B 为四阶方阵，且 A 的三个特征值分别为 1，2，3，B 2=O，则矩阵 （分数：4.00）解析：解析 幂零矩阵(A k=O)(k2)的特征值全为 0，关键是由 A 的特征值求出 2A*+E 的特征值，从而求出 非零特征值矩阵 的特征值由 2A*+E 与 B 的特征值组成.由 B2=O 知，B 的特征值为 0而 2A*+E 的特征值为 ，其中 i(i=1，2，3
11、)为 A 的特征值，故|A|= 1 2 3=6于是 2A*+E 的三个特征值为又因 B 的特征值全为 0，故三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，若在(0，1)内有 x1x 2，使（分数：10.00）_正确答案：(要产生两个中值点 1与 2满足 f( 1)f( 2)，一般要使用两次中值定理如果令x0=(x1+x2)/2，则有2f(x0)f(x 1)+f(x2)，即f(x0)-f(x1)f(x 2)-f(x0)不等式两边的差值就是使用拉格朗日中值定理的信号这样问题就解决了证 令 ，有 )解析：16.设 0ab，f(x)在a，b上连续，在(
12、a，b)内可导，且 f(x)0，求证：存在 ，(a，b)，使得（分数：10.00）_正确答案：(将待证等式改写为等式右边启示我们应对 f(x)及 lnx 在a，b上使用柯西中值定理于是上式右边还表示可对 f(x)在a，b上使用拉格朗日中值定理于是证 由拉格朗日中值定理知，存在 (a，b)，使又由柯西中值定理知，存在 (a，b)，使综合式、式即得)解析：17.设 y=y(x)由确定，求当 时的 （分数：10.00）_正确答案：( ，因而为求 ，需先求出 及 为求 ，需将 x 的表示式通过变量代换化为变上限 t 的函数设 ；当 时， ，代入有于是再对 3ty+ysint-ey-t2=0 求 ，于是
13、有故 )解析：18.设 （分数：10.00）_正确答案：(给出确定隐函数的函数方程要想到作一个方程 F(x，y，z)=0 确定该函数，然后再用其公式求出 令 ，则故于是)解析：19.求星形线 （分数：10.00）_正确答案：(利用曲线质心坐标的计算公式直接计算一定要记住质心坐标的计算公式设该曲线的全长为 l，质心为( )，则曲线的质心坐标计算公式为可用上述公式计算曲线的质心，其中 ds 为弧微分当 s0，l时，对应于 于是因此，代入上式得同理，可求得则于是，所求曲线的质心为 )解析：20.设 g(x)0 为已知连续函数，在圆域D=(x，y)|x 2+y2a 2(a0)上计算积分： （分数：10
14、.00）_正确答案：(所给二重积分的被积函数的形式使人易想到积分区域 D 是否有关于 y=x 的对称性事实上，所给区域 D 关于 y=x 对称，利用此对称性可简化计算由于积分区域 D 关于直线 y=x 对称，故对连续函数 f(x，y)，有因此故于是有)解析：21.设 （分数：10.00）_正确答案：(为求 f(x)在(0，+)上的最小值点，首先求出 f(x)在(0，+)上的分段函数的形式，然后按求最小值的一般方法求出其最小值点()由定积分的几何意义知，(这是以原点为圆心，半径为 x 的圆在第一象限部分的面积)再用分段积分法求 f(x)表达式中的另一积分：当 0x1 时，当 x1 时，于是为求
15、f(x)在(0，+)上的最小值，先 f(x)由于故 f(x)在 内单调减少，而在 上单调增加所以 f(x)的最小值是 ，则 f(x)在(0，+)上的最小值点是 ()由于 ，)解析：22.已知三阶矩阵 BO，且 B 的每一个列向量都是下方程组的解：（分数：10.00）_正确答案：(方程组 AX=0 有非零解，r(A)3，则其三阶子行列式必等于 0，从而求出 可用反证法证明|B|=0()因 B0，故 B 中至少有一个非零列向量，于是推出所给齐次方程组 AX=0 有非零解，故其系数矩阵的秩 r(A)3，则其三阶子式必等于 0，即)解析：23.已知 1=1，3，5，-1 T， 2=2，7，a，4 T，
16、 3=5，17，-1，7 T()若 a1，a 2，a 3线性相关，求 a 的值；()当 a=3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；()当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个四维列向量（分数：10.00）_正确答案：(1)利用向量组线性相关、线性无关的定义求之；(2)按齐次线性方程组求解的方法求之(3)归结证明对任意四维向量 ，方程组 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 总有解()由 1， 2， 3线性相关，得秩( 1， 2， 3)3由于所以 a=-3()设 4=x1，x 2，x 3，x 4T，则有 1, 4=0, 2, 4=0, 3, 4=0即而所以X=x1，x 2，x 3，x 4T= 4=k19，-6，0，1，其中 k0 为任意常数()由于所以 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 恒有解，即任一四维列向量必可由 1， 2， 3， 4线性表出或由()知 a=3 时， 1， 2， 3必线性无关，那么如果k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，用 左乘上式两端并利用有 ，故必有 k4=0于是k1 1+k2 2+k3 3=0，从而 1， 2， 3， 4必线性无关而 5 个四维向量必线性相关，因此任一个四维列向量都可由 1， 2， 3， 4线性表出 )解析：
