1、考研数学二-213 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，|A|=4，r(3E+A *)=n-1，则 A 有一个特征值为 （分数：4.00）A.B.C.D.2.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.设 f(x)有界，xa,b，则 f(x)可积，xa,bB.设 f(x)可积，xa,b，则 f(x)存在原函数，x(a,b)C.一切偶函数的原函数都是奇函数D.设 f(x)可积，且为奇函数，3.设有半圆形板：x 2+y2a 2(y0)，它在点 P(x,y)的密度与点 P 到原点的距
2、离成正比，则该点的重心坐标为 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点的 M(x,y)的法线斜率为 ，则此曲线方程为 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 43 阶矩阵， （分数：4.00）A.B.C.D.6.下列结论不正确的是（分数：4.00）A.函数 f(x,y)在点(x 0,y0)处两个偏导数存在，则在该点处函数 f(x,y)未必可微B.函数 f(x,y)在点(x 0,y0)处两个偏导数存在且有界，则在该点处函数 f(x,y)连续C.函数 f(x,y)在点(x 0,y0)处可微，则在该点处函数 f(x,y)连续D.函数 f(x,y)在点
3、(x 0,y0)处可微，则在该点处两个偏导数连续7.下列广义积分中发散的是 （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列四个结论中，正确的是 (B) 设 an为有界数列，b n)为无界数列，则数列 anbn必无界 (C) 设函数 f(x)在(a,b)内可导且严格单调，则有 f(x)0，x(a,b) (D) 曲线 y=sin2x， 与 x 轴所围成的图形面积为 （分数：4.00）_二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 D 为圆域 x2+y216， （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 f(x)在a,b上具有连续导数， （分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）
4、填空项 1:_12.微分方程 y“+2x(y)2=0 满足初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14.设三阶实方阵 A，其中元素 aij满足条件：a ij=Aij(i,j=1,2,3)，A ij为 aij的代数余子式，且 a110，则|A|=_（分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15. （分数：10.00）_16.计算积分 （分数：10.00）_17.设有连接两点 A(0,1)，B(1,0)的一条曲线它位于弦 AB 的上方，P(x,y)为曲线上任意一点，已知曲线与弦 AP 之间的面积为 x3，求曲线的方程（分数：10.00）_
5、18.求一曲线方程，使在其上每一点处与嘲族 x2+y2=cx(c0)正交（分数：10.00）_（分数：11.00）(1).证明：当 n 为正整数，且 nx(n+1)，有 2nS(x)2(n+1)（分数：5.50）_(2).（分数：5.50）_19.设函数 f(x)在a,b上满足 f“(x)0，试证： x1，x 2a,b，恒有 （分数：10.00）_20. 试证 （分数：10.00）_设 n 阶矩阵 A 可逆(n2)，A *为 A 的伴随矩阵试证：（分数：11.00）(1).|A*|=|A|n-1；（分数：5.50）_(2).(A*)*=|A|n-2A（分数：5.50）_设 A 为 3 阶矩阵，
6、 1， 2为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 3满足 A 3= 2+ 3（分数：11.00）(1).证明 1， 2， 3线性无关（分数：5.50）_(2).令 P=( 1, 2, 3)，求 P-1AP（分数：5.50）_考研数学二-213 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，|A|=4，r(3E+A *)=n-1，则 A 有一个特征值为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 ，由|A|=40 知，矩阵 A 可逆， * 即选项(B)正确2.下列命题中正
7、确的是（分数：4.00）A.设 f(x)有界，xa,b，则 f(x)可积，xa,bB.设 f(x)可积，xa,b，则 f(x)存在原函数，x(a,b)C.一切偶函数的原函数都是奇函数D.设 f(x)可积，且为奇函数， 解析：分析 命题(A)，(B)，(C)皆不正确 * 对于(B)，取 f(x)=xSgn(cosx)在0,上可积，即* 但 f(x)在(0,)内不存在原函数 对于(C)，命题不成立，见教科书 命题(D)正确，事实上 f(-x)=-f(x)，x-a,a *3.设有半圆形板：x 2+y2a 2(y0)，它在点 P(x,y)的密度与点 P 到原点的距离成正比，则该点的重心坐标为 （分数：
8、4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由题设知，密度函数*没重心坐标为(X,Y)，由对称性知* *4.设一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点的 M(x,y)的法线斜率为 ，则此曲线方程为 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由题意知，所求过点(e,1)的曲线在任意点 M(x,y)的切线斜率为 * * 故所求曲线方程为 *5.设 A 为 43 阶矩阵， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 一个矩阵左(右)乘一个满秩矩阵后，其秩不变 B 可视为分块矩阵， * 从而 B 为满秩矩阵，故 r(BA)=r(A)=36.下列结论不正确的是（分数：4.00）A.函数 f(x,y
9、)在点(x 0,y0)处两个偏导数存在，则在该点处函数 f(x,y)未必可微B.函数 f(x,y)在点(x 0,y0)处两个偏导数存在且有界，则在该点处函数 f(x,y)连续C.函数 f(x,y)在点(x 0,y0)处可微，则在该点处函数 f(x,y)连续D.函数 f(x,y)在点(x 0,y0)处可微，则在该点处两个偏导数连续 解析：分析 f(x,y)在点(x 0,y0)可导只是在该点 f(x,y)可微的必要条件，此时未必可微，故不能选(A)f(x,y)在点(x 0,y0)可微是在该点 f(x,y)连续的充分条件，此时一定连续，故也不能选(C)再看选项(B)：设 |fx(x0,y0)|M,|
10、f y(x0,y0)|M(M 为正的常数) 由微分中值定理， * 故 f(x,y)在点(x 0,y0)连续，于是不能选(B)f x(x,y)与 fy(x,y)在点(x 0,y0)连续是 f(x,y)在该点可微的充分条件并非必要条件，故选项(D)是错误的命题7.下列广义积分中发散的是 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 * * *8.下列四个结论中，正确的是 (B) 设 an为有界数列，b n)为无界数列，则数列 anbn必无界 (C) 设函数 f(x)在(a,b)内可导且严格单调，则有 f(x)0，x(a,b) (D) 曲线 y=sin2x， 与 x 轴所围成的图形面积为 （分数：
11、4.00）_解析：分析 * 故选项(A)不正确 * 则a nbn)=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 D 为圆域 x2+y216， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：80）解析：分析 圆周 x2+y2=4 将积分区域 D 分为两部分： D=D1+D2,D1：x 2+y24,D 2：4x 2+y216， *10.设函数 f(x)在a,b上具有连续导数， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 由设知 f(x)与 f(x)都连续，xa,b，从而 f(x)与 f(x)在a,b上都有界，即*正数M，*xa,b，恒有|f(x)|M，|f(x)|M， *
12、11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：img src=“tu/1012/yjs/s2.8.965058.jpg“ /）解析：分析 抽象函数求偏导，应先弄清中间变量表示什么(不必设出，可用位置序号代表)，再按复合函数求导法则及导数运算法则求解 *12.微分方程 y“+2x(y)2=0 满足初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 所给方程是 y“=f(x,y)型的微分方程令 y=p，则*，方程化为 * * 由 y(0)=1，得 C2=1.故原方程的特解为 *13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 先将原积分变形，利用变
13、量替换，把原积分化为有理函数积分，从而可求之 * * *14.设三阶实方阵 A，其中元素 aij满足条件：a ij=Aij(i,j=1,2,3)，A ij为 aij的代数余子式，且 a110，则|A|=_（分数：4.00）解析：分析 由题设 aij=Aij，知 A*=AT 于是由 AA *=|A|E，有 AAT=|A|E *三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15. （分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：分析 设辅助函数*利用其单调性证之16.计算积分 （分数：10.00）_正确答案：(如图 281，原积分区域* * 两个区域 * 故 * *)解析：分析 首先设法将被积函数的绝
14、对值符号去掉，才能化为二次积分计算为此，需要将区域 D 分成若干部分，使被积函数在其上的符号不变17.设有连接两点 A(0,1)，B(1,0)的一条曲线它位于弦 AB 的上方，P(x,y)为曲线上任意一点，已知曲线与弦 AP 之间的面积为 x3，求曲线的方程（分数：10.00）_正确答案：(设所求曲线的方程为 y=y(x) (0x1) 由题设，图 282 中阴影部分的面积为 x3，又因曲线在弦 AB 的上方，故上述面积等于一块曲边梯形面积减去一块梯形面积，即 * 其为一阶线性微分方程，故其通解为 因曲线过点 B(1,0)，即 y(1)=O，得 C=5，故所求曲线方程为 y=1+5x-6x2 *
15、)解析：分析 先设曲线方程 y=y(x)，用定积分表达出题没的图形面积，再求导，得一微分方程，然后根据条件，解出其特解18.求一曲线方程，使在其上每一点处与嘲族 x2+y2=cx(c0)正交（分数：10.00）_正确答案：(* 即圆上任一点(x,y)处的切线斜率* 设所求曲线为 y=y(x)，则由正交性条件，知其切线斜率 * * 此即为所求的曲线族该曲线族是由原圆族绕原点转过*所得，故也是圆族)解析：分析 先由已知圆，求出其上任意一点处的切线斜率，再利用正交性条件，得出所求曲线的切线斜率，从而列出微分方程求解（分数：11.00）(1).证明：当 n 为正整数，且 nx(n+1)，有 2nS(x
16、)2(n+1)（分数：5.50）_正确答案：(由|cost|0，nx(n+1)，可知 * 因|cost|的周期为 ，故 *)解析：(2).（分数：5.50）_正确答案：(* 当 x+时，n+，有 * 故由夹逼法则知*)解析：分析 因|cost|0，且周期为 ，故当 nx(n+1) 时，有 * 于是得到 S(x)夹在中间的不等式，将不等式两端的积分用周期性算出，就可得到()由夹逼法则可求得()19.设函数 f(x)在a,b上满足 f“(x)0，试证： x1，x 2a,b，恒有 （分数：10.00）_正确答案：(证法一 由泰勒公式 * 由题设 f“(x)0，则 f“()0，于是有 f(x)f(x
17、0)+f(x0)(x-x0)， 对*xa,b的 f(x)都成立 * *证法二 如图 283，因 f“(x)0，xa,b，故在a,b上函数 f(x)的图形上凸，连接曲线 y=f(x)(xa,b)上任意两点 A(x1，f(x 1)，B(x 2，f(x 2)，得弦*的中点为 * 由于 f(x)的图形上凸，曲线在弦的上方，即点 C 在点 D 的上方，因此有 * *)解析：分析 利用泰勒公式或函数图形的凸性证明20. 试证 （分数：10.00）_正确答案：(假设*存在且极限为 a，则 * *)解析：分析 先假设数列极限存在，并求出极限由此递推出一收敛数列，从而证明*存在设 n 阶矩阵 A 可逆(n2)，
18、A *为 A 的伴随矩阵试证：（分数：11.00）(1).|A*|=|A|n-1；（分数：5.50）_正确答案：(由于 A 可逆，故有* A*=|A|A-1， |A*|=|A|A-1|=|A|n|A-1|=|A|n|A|-1=|A|n-1)解析：(2).(A*)*=|A|n-2A（分数：5.50）_正确答案：(由 A*=|A|A-1(对 A*使用该公式)， 得 (A *)*=|A*|(A*)-1 由()得(A *)*=|A|n-1(|A|A-1)-1 =|A|n-1(|A|-1A) =|A|n-2A)解析：分析 利用*设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向
19、量，向量 3满足 A 3= 2+ 3（分数：11.00）(1).证明 1， 2， 3线性无关（分数：5.50）_正确答案：(令 k1 1+k2 2+k3 3=0 因为 A 1=- 1，A 2= 2，A 3= 2+ 3， 用 A 左乘得 -k 1 1+k2 2+k3 2+k3 3=0 -得 2k 1 1-k3 2=0， 因为 1， 2分别为 A 的不同特征值对应的特征向量，所以线性无关，于是 k1=k3=0 代入得 k2 2=0，又 20，故 k2=0，即有 1， 2， 3线性无关)解析：(2).令 P=( 1, 2, 3)，求 P-1AP（分数：5.50）_正确答案：(* *)解析：分析 本题考查特征值及特征向量的相关性质以及矩阵的对角化
