1、考研数学二-223 及答案解析(总分：236.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=minsinx，cosx，则 f(x)在区间0，2内不可导的点共有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在0，1上连续，又 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.5.若 f(-1，0)为函数 f(x，y)=e -x(ax+b-y2)的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是 A.a0，b=a+1 B.a0，b=2a C
2、.a0，b=a+1 D.a0，b=2a（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 1， 2， 3， 4是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是 A.如果 4不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3线性相关 B.如果 1， 2， 3线性相关， 2， 3， 4线性相关，那么 1， 2， 4也线性相关 C.如果 3不能由 1， 2线性表出， 4不能由 2， 3线性表出，则 1可以由 2， 3， 4线性表出 D.如果秩 r( 1， 1+ 2， 2+ 3)=r( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)，则
3、4可以由 1， 2， 3线性表出（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 xa 时 (x)是 x-a 的 n 阶无穷小，u0 时 f(u)是 u 的 m 阶无穷小，则 xa 时 f(x)是 x-a 的_阶无穷小（分数：4.00）填空项 1:_10.设 n 为正整数，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.反常积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.设有摆线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积S=_（分数：4.00）填空项
4、 1:_14.与矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：7，分数：180.00)(1).设 （分数：10.00）_(2).求 （分数：10.00）_(3).求 （分数：10.00）_(1).设 f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)0，且 求证：存在常数 C，使得 （分数：10.00）_(2).设 f(x)在(-，+)二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0(x(-，+)求证：f(x)为常数( （分数：10.00）_一质量为 M、长为 l 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点 C 位于杆AB 的中垂线上，且与 AB 的距离为 a试求：（分数：30.
5、00）(1).杆 AB 与质点 C 的相互吸引力；（分数：10.00）_(2).当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功（分数：10.00）_(3).设 u=f(xy)满足 （分数：10.00）_设 D=(x，y)|x 2+y21，（分数：40.00）(1).将二重积分 （分数：10.00）_(2).证明不等式 （分数：10.00）_(3).证明不等式 （分数：10.00）_(4).一容器在开始时盛有盐水 100 升，其中含净盐 10 公斤现以每分钟 3 升的速度注入清水，同时以每分钟 2 升的速度将冲淡的溶液放出容器中装有搅拌器使容器中的溶液保持
6、均匀，求过程开始后 1 小时溶液的含盐量（分数：10.00）_设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(x)0( （分数：20.00）(1).对 使得 （分数：10.00）_(2).若 在(a,b)单调增加，则 （分数：10.00）_已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若A i=i i(i=1，2，3)，令 = 1+ 2+ 3（分数：20.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关；（分数：10.00）_(2).设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP（分数：10.00）_设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：20.00）
7、(1).用正交变换化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用正交变换；（分数：10.00）_(2).求(A-3E) 6（分数：10.00）_考研数学二-223 答案解析(总分：236.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=minsinx，cosx，则 f(x)在区间0，2内不可导的点共有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 在0，2上，画出 y=sinx 与 y=cosx 的图形，立即可得 y=f(x)的图形由图形直接看出，两个交点为 y=f(x)图形的尖点，因而是不可导点，其他均
8、为可导点应选(C) * 分析二 写出f(x)的表达式 * f(x)是一个分段函数，有两个分界点*和*又 f(x)在0，2上连续，在除分界点 外其余各点处均可导，但 f(x)在*的左导数*，由于连续，它在*的右导数*，即在*不可导，类似可得 f(x)在*也不可导故应选(C)2.设 f(x)在0，1上连续，又 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考察 * 因此选(C)3.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：由 g(x)在 x=0 连续及 g(x)=1+2x+o(x)(x0)* * 由复合函数求导法及变限积分求导法* * 故应选(A) 由 g(x)=g(0)+2x+o(x)(x0)
9、*4.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*，先求出 y与 y“ * 由*在(-，+)连续，y“不存在的点只有 x=0，x=*，而 y“=0的点不存在， 且在 x=*两侧 y“变号，x=0 两侧 y“也变号*(0，0)，(-*，0)，(*，0)均为*的拐点，再无其他拐点，因此，应选(D). *在 x=0,x=*均不可导，但连续，拐点判别法则有效.5.若 f(-1，0)为函数 f(x，y)=e -x(ax+b-y2)的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是 A.a0，b=a+1 B.a0，b=2a C.a0，b=a+1 D.a0，b=2a（分数：4.00）A.B. C.D.解析：应用
10、二元函数取极值的必要条件得*所以 b=2a由于*=AC-B 2=2e2(3a-b)，再由二元函数极值的必要条件0 得 3a-b0于是常数 a，b 应满足的条件为 a0，b=2a故应选(B)设 f(x,y)在点 P0(x0，y 0)的某邻域有连续的二阶偏导数，又记*则 f(x,y)在 P0点取极值的必要条件是*且 =AC-B 20。6.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：D 1，D 2均是以原点为圆心，半径分别为 R，*的圆，D 3是正方形，边长 2R，如图所示因为*又被积函数 f(x，y)=e -(x2+y2)连续，且恒正，则I1I 3I 2故应选(C)若被积函数连续，恒正且相同，但
11、积分区域不同，可通过比较积分区域的大小来判断积分值的大小。7.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：对行列式|A|按第 2 行展开，有2A21+2A22+A23+A24=9 构造行列式*则|A|和|B|第 2 行元素代数余子式相同对|B|按第 2 行展开，义有A21+A22+2A23+2A24=|B|=0 联立，可得 A21+A22=6故选(B)作为复习，请你求解：设 n 阶矩阵*试求：()|A|中所有元素的代数余子式之和，即*()|A|中第 k 行元素代数余子式之和，即*分析 直接求|A|中代数余子式之和比较麻烦由于 A 的伴随矩阵 A*=(Aij)nn=|A|A-1，因此只要计算
12、出|A|和 A-1，就可以通过 A*=|A|A-1求代数余子式之和()按照第 1 列最后一个元素展开,可得*将矩阵 A 分块求逆矩阵 A-1*其中*根据分块矩阵求逆公式，有*于是*所以*()根据第()小题结果，由于*因此*8.已知 1， 2， 3， 4是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是 A.如果 4不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3线性相关 B.如果 1， 2， 3线性相关， 2， 3， 4线性相关，那么 1， 2， 4也线性相关 C.如果 3不能由 1， 2线性表出， 4不能由 2， 3线性表出，则 1可以由 2， 3， 4线性表出 D.如果秩 r( 1， 1+ 2，
13、2+ 3)=r( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)，则 4可以由 1， 2， 3线性表出（分数：4.00）A.B. C.D.解析：例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1) T，可知(B)不正确应选(B)关于(A)：如果 1， 2， 3线性无关，又因 1， 2， 3， 4是 4 个 3 维向量，它们必线性相关，而知 4必可由 1， 2， 3线性表出关于(C)：由已知条件，有()r( 1， 2)r( 1， 2， 3)， ()r( 2， 3)r( 2， 3， 4)若 r( 2， 3)=1，则必有 r( 1， 2)=r( 1， 2，
14、 3)，与条件()矛盾故必有 r( 2， 3)=2那么由()知 r( 2， 3， 4)=3，从而 r( 1， 2， 3， 4)=3因此 1可以由 2， 3， 4线性表出关于(D)：经初等变换有( 1， 1+ 2， 2+ 3)( 1， 2， 2+ 3)( 1， 2， 3)，( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)( 4， 1， 2， 3)( 1， 2， 3， 4)，从而 r( 1， 2， 3)=r( 1， 2， 3， 4)因而 4可以由 1， 2， 3线性表出二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 xa 时 (x)是 x-a 的 n 阶无穷小，u0 时 f(u)是 u 的 m
15、 阶无穷小，则 xa 时 f(x)是 x-a 的_阶无穷小（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：mn）解析：由于 * 因此应填 mn10.设 n 为正整数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：*11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：分析一 先作分解与恒等变形将 y 化简，则有*于是 x4项的系数是-2分析二 利用*的泰勒公式将 y 按变量 x 的正整数幂展开到含 x4的项为止，则有*=1+2x+2x2-2x4+o(x4)，于是 x4项的系数是-2将 y 的表达式与麦克劳林公式比较系数还可求得 y(4)(0)的值，即*12.反常积分
16、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：令 x=tan 作换元，则 x：0+对应*，且*，利用 1+x2=1+tan2*，就有*上述计算用了公式*(n 为奇数)也可如下计算*13.设有摆线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积S=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由旋转面面积公式得 * *14.与矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*，其中 t，u 是任意实数）解析：设矩阵*与矩阵 A 可交换，即 AB=BA，亦即*即*即*由*令 b2=t，b 4=u，解出 b
17、3=-2t，b 1=4t+u所以*，其中 t，u 是任意实数三、B解答题/B(总题数：7，分数：180.00)(1).设 （分数：10.00）_正确答案：(用拼接法当 x0 时*当 x0 时*现令*其中 C0满足*，即*因此*其中 C 是一个任意常数)解析：(2).求 （分数：10.00）_正确答案：(* 其中 C 是一个任意常数.)解析：(3).求 （分数：10.00）_正确答案：(*在0，上连续，故一定存在原函数由于*无定义，上述()中实质上只是分别求得*的原函数令 F(x)=*，当 x0，时 F(x)就是 f(x)在0，上的一个原函数由()知当*时*.当*时求极限即得*当*x 时 * 综
18、合即得 * 对题()，我们也可用变限积分法求得一个原函数，即 * 于是f(x)dx=F(x)+C *在0,上连续,它一定存在原函数由于 arctan*在*处无定义，所以用不定积分法只是分别求得*与*上的原函数,必须选择适当常数，在*处使得它们连续地拼接起来得出 f(x)在0，上的原函数)解析：(1).设 f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)0，且 求证：存在常数 C，使得 （分数：10.00）_正确答案：(即证 f(x)/g(x)在(a，b)为常数由 * *f(x)/g(x)在(a，b)为常数，即*常数 C，使 *即*)解析：(2).设 f(x)在(-，+)二阶可导，且 f(x)0，f
19、“(x)0(x(-，+)求证：f(x)为常数( （分数：10.00）_正确答案：(只需证 f(x)=0(*(-，+)若 f(x)*x0(-，+)，f(x 0)0类似于凹函数性质，有*当 f(x0)0 时*；当 f(x0)0 时*，均与 f(x)0(x(-，+)矛盾因此 f(x)=0(*)，即 f(x)为常数(*)若 f“(x)0(x(-，+)，则*，x 0，有f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)证法 1 由泰勒公式得*f(x 0)+f(x0)(x-x0)，其中 在 x 与 x0之间证法 2*其中 在 x 与 x0之间，f(x)单调不减。证明函数 f(x)在给定的区间内恒等于零，常利用导
20、数为零、最大值等于最小值、积分中值定理、泰勒公式等方法,本题中 f(x)为抽象函数,又*(-，+)，故考虑利用反证法)解析：一质量为 M、长为 l 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点 C 位于杆AB 的中垂线上，且与 AB 的距离为 a试求：（分数：30.00）(1).杆 AB 与质点 C 的相互吸引力；（分数：10.00）_正确答案：(假定杆 AB 与质点 C 的位置如图所示，根据对称性，引力 F 是沿 y 轴负方向的,由于杆 AB 的线密度为 M/l，于是，位于x，x+dx上微元的质量即为*，它与质点 C 的引力在 y 轴方向的分力为 * (其中*，见图) * 因此，引
21、力的大小为 * * 其中 k 为引力常数)解析：(2).当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功（分数：10.00）_正确答案：(根据上题中的计算，当质点 C 位于坐标 y 处时,引力的大小为*，于是所求功为 *)解析：(3).设 u=f(xy)满足 （分数：10.00）_正确答案：(对 u=f(xy)求偏导有*由条件*tf“(t)+f(t)=(2t 2+1)et2这是二阶线性方程，可降阶的直接改写成(tf(t)=(2t2+1)et2积分得 tf(t)=(2t 2+1)et2dt+C1，tf(t)=(tde t2+et2dt)+C1=tet2+C1
22、*再积分得 *因此求得 *)解析：设 D=(x，y)|x 2+y21，（分数：40.00）(1).将二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(作极坐标变换化二重积分为定积分 令 x=rcos，y=rsin，则D：O2，0r1于是 *)解析：(2).证明不等式 （分数：10.00）_正确答案：(利用单调性证明不等式 令*，则 f(x)在0，+)内有二阶连续导数，且 * 因sinxx(x0)*f“(x)0(x0)*f(x)在0，+)单调上升，f(x)f(0) =0(x0)*f(x)在0，+)单调上升，f(x)f(0)=0(x0)，即 *)解析：(3).证明不等式 （分数：10.00）_正确答案：
23、(由上题，估计*转化为估计定积分*再利用 sinx 的不等式(本题的不等式及 sinxx(x0)来估计这个定积分由*sinxx(x0)，令 x=r3且两边乘以 r*又*因此*本题通过极坐标变换把估计二重积分转化为估计定积分为了估计定积分*f(x)dx，就要估计被积函数f(x)，常用单调性方法证明不等式来估计被积函数)解析：(4).一容器在开始时盛有盐水 100 升，其中含净盐 10 公斤现以每分钟 3 升的速度注入清水，同时以每分钟 2 升的速度将冲淡的溶液放出容器中装有搅拌器使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后 1 小时溶液的含盐量（分数：10.00）_正确答案：(设 t 时刻容器中溶液的含
24、盐量为 x=x(t)，依题意 t 时刻容器中的溶液量为 100+(3-2)t*t时刻容器中溶液的浓度为*.因此在t，t+t时问间隔内，容器中溶液的含盐量改变量=流人溶液的含盐量-流出溶液的含盐量，即*当t0 时，得到*(变量分离法求得)又由题设条件当 t=0 时，x=10(kg)，由此确定 C=105，故有*)解析：设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(x)0( （分数：20.00）(1).对 使得 （分数：10.00）_正确答案：(不妨设 g(x)0(x(a，b)，g(x)在a，b连续*g(x)-g(a)0考察 * *(柯西中值公式，其中 (a，x) (*)解
25、析：(2).若 在(a,b)单调增加，则 （分数：10.00）_正确答案：(由 g(x)0(0)(x(a，b)，g(x)在a，b连续*g(x)-g(x)0(0)(x(a,b)由*在(a,b)单调增加*,因此(*)式 *,即*在(a，b)单调增加)解析：已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若A i=i i(i=1，2，3)，令 = 1+ 2+ 3（分数：20.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关；（分数：10.00）_正确答案：(由 A 1= 1，A 2=2 2，A 3=3 3，且 1， 2， 3非零可知， 1， 2， 3是 A 的不同特征值的特征向量，故
26、 1， 2， 3线性无关又 A= 1+2 2+3 3，A 2= 1+4 2+9 3，若 k1+k 2A+k 3A2=0，即k1( 1+ 2+ 3)+k2( 1+2 2+3 3)+k3( 1+4 2+9 3)=0，则 (k 1+k2+k3) 1+(k1+2k2+4k3) 2+(k1+3k2+9k3) 3=0由 1， 2， 3线性无关，得齐次线性方程组*因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0，所以必有 k1=k2=k3=0，即 ，A，A 2 线性无关)解析：(2).设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP（分数：10.00）_正确答案：(因为 A3= 1+8 2+27 3=6-11A+6A 2
27、，所以AP=A(，A，A 2)=(A，A 2，6-11A+6A 2)*故*证明向量组的线性无关性有多种方法，本题是用定义法，要掌握这种证明方法即先设k1 1+k2 2+ks s=0，然后根据已知条件作恒等变形，证明必有 k1=0，k 2=0，k s=0从而 1， 2, s线性无关对于 A3 要会用 ,A，A 2 线性表出，要会把矩阵 AP=(A,A 2,A 3)恒等变形为 PB 形式.)解析：设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：20.00）(1).用正交变换化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用正交变换；（分数：10.00）_正确答案：(由*知，矩阵 B 的列向量是齐次方程组 A
28、x=0 的解向量记*则 A 1=0=0 1，A 2=0=0 2由此可知 =0 是矩阵 A 的特征值(至少是二重)， 1， 2是 =0 的线性无关的特征向量根据 i=a ii有 0+0+ 3=1+4+1，故知矩阵 A 有特征值 =6因此，矩阵 A 的特征值是 0，0，6设 =6 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有*解出 3=(1，2，-1) T对 1， 2正交化，令 1=(1，0，1) T，则*再对 1， 2， 3单位化，得*那么经坐标变换 x=Qy，即*二次型化为标准形 xTAx=yTy=6*)解析：(2).求(A-3E) 6（分数：10.00）_正确答案：(因为 A，有 A-3E-3E，进而(A-3E) 6(-3E) 6又 -3E=*，所以由 Q-1AQ= 得Q-1(A-3E)6Q=(-3E) 6=36E于是(A-3E) 6=Q(-3E) 6Q-1=Q(36E)Q-1=36E要会用 AB=0，即由 AB=0 要联想到 B 的列向量是 Ax=0 的解，进而可转换出特征值、特征向量的信息要掌握用正交变换法化二次型为标准形本题也可由 AB=0 先求出 a、b、c 的值，然后再求解)解析：
