1、考研数学二-236 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若当 x0 时，e tanx -e x 与 x n 是同阶无穷小量，则 n=_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.42.设 f(x)二阶可导，且当 x(0，+)时 f“(x)0，若 n为自然数，则有不等式_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3._ （分数：4.00）A.2B.4C.6D.84.满足条件 (x0， 是常数)的函数 f(x)=_ A (c为任意常数) B C (c为任意常数) D （分数：4.00）A.B.C.D.5.若对任何实数 x 1 ，
2、x 2 (-1，1)都有 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )f(x 2 )，且 f“(0)0，则 f(0)=_ A-1 B0 C1 D （分数：4.00）A.B.C.D.6.若直线与曲线 C 1 ：y=x 3 +3和 C 2 ：y=x 3 -1都相切，则该直线与 C 1 ，C 2 的切点分别为_（分数：4.00）A.(-1，2)和(1，-2)B.(1，4)和(-1，-2)C.(-1，2)和(-1，-2)D.(-1，2)和(1，4)7.设 ，则关系式 |A|=|B|， A B， A （分数：4.00）A.1B.2C.3D.48.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 都是 4维列向量，非齐次线
3、性方程组 AX= 1 ， 2 ， 3 ， 4 X= 有通解 k1，-1，0，2 T +1，2，1，0 T ，则下列关系式中错误的是_（分数：4.00）A.1+22+3-=0B.-1+2-24=0C.21+2+3+24-=0D.-32-3+24=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.若极限 （分数：4.00）11.设 f(x)，g(x)有连续的二阶导数，若 ，则 （分数：4.00）12.累次积分 （分数：4.00）13.常微分方程 xdy-ydx=y 2 e y dy的通解为 1 （分数：4.00）14.设三阶矩阵 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分
4、数：94.00)15.设 f(x)在0，+)有连续导函数，若 求 （分数：10.00）_16.设 y(x)是由方程 x+y=xy+1确定的隐函数，函数 g(x)在 x=0点二阶可导，且 g“(0)=g“(0)=1若 （分数：10.00）_17.设 f(x)在(-，+)上可导，f(0)=0，且满足 证明： （分数：10.00）_18.设函数 f(x)在0，1上有连续的三阶导数，f(0)=1，f(1)=2， 是 f(x)的一个极值点证明：存在 (0，1)，使得 （分数：10.00）_19.求极限 （分数：10.00）_20.已知 f(x)=3x 2 +ax -3 (a0)，若当 x0 时，总有 f
5、(x)20 成立，试求 a的取值范围 （分数：11.00）_21.已知平面图形 D由 y轴、曲线 y=e x (x0)和该曲线过原点的切线围成，求 D的面积和 D绕 y轴旋转所得旋转体的体积 （分数：11.00）_设 A，B 是 n阶矩阵，问（分数：11.01）(1).A是什么矩阵时，若 AB=A，必有 B=E；（分数：3.67）_(2).A是什么矩阵时，有 BE，使得 AB=A；（分数：3.67）_(3).当 （分数：3.67）_22.设 A，B，C 均是 n阶方阵，满足 r(B)+r(C)=n，(A+E)C=0，B(A T -2E)=0 证明：A ，并求 （分数：11.00）_考研数学二-
6、236 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若当 x0 时，e tanx -e x 与 x n 是同阶无穷小量，则 n=_（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 思路一：当 x0 时， 所以，当 x0 时， 可见 n=3 思路二：由于 ，其中 是非零常数，则 由上述关系可得 n=3且 2.设 f(x)二阶可导，且当 x(0，+)时 f“(x)0，若 n为自然数，则有不等式_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 易知 思路一： 因为 f“(x)0，且 故选项 A成立，选项 B不成立 另外 因
7、为 f“(x)0， 所以选项 C不成立，同理选项 D也不成立 思路二：因为当 x(0，+)时 f“(x)0，所以(0，+)是曲线 y=f(x)的上凸区间其图形如图所示 3._ （分数：4.00）A.2B.4C.6D.8 解析：解析 4.满足条件 (x0， 是常数)的函数 f(x)=_ A (c为任意常数) B C (c为任意常数) D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 令 xt=u，则有 ，从而得 将上述等式两边对 x求导，得 f(x)=f(x)+xf“(x)，即 这是个一阶可分离变量的微分方程，解得 5.若对任何实数 x 1 ，x 2 (-1，1)都有 f(x 1 +x 2 )
8、=f(x 1 )f(x 2 )，且 f“(0)0，则 f(0)=_ A-1 B0 C1 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 依题，令 x 1 =0，x 2 =0，得 f(0+0)=f(0)f(0) f(0)1-f(0)=0 f(0)=0或 f(0)=1 又 因为 f“(0)存在，即极限 存在，所以 当 f(0)=0时， ，不合题意，舍去 当 f(0)0 时， 6.若直线与曲线 C 1 ：y=x 3 +3和 C 2 ：y=x 3 -1都相切，则该直线与 C 1 ，C 2 的切点分别为_（分数：4.00）A.(-1，2)和(1，-2)B.(1，4)和(-1，-2) C.(-1，2)
9、和(-1，-2)D.(-1，2)和(1，4)解析：解析 设直线与曲线 y=x 3 +3的切点横坐标为 x 1 ，与 y=x 3 -1的切点横坐标为 x 2 则依题设有，直线斜率 ，且 x 1 x 2 由此有 x 1 =-x 2 ，则由 得 7.设 ，则关系式 |A|=|B|， A B， A （分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 观察 B和 A的关系： 用初等矩阵表示，即为 E 13 AE 13 =B其中 则 |B|=|E 13 AE 13 |=|A|， 8.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 都是 4维列向量，非齐次线性方程组 AX= 1 ， 2 ， 3 ， 4 X= 有通解
10、 k1，-1，0，2 T +1，2，1，0 T ，则下列关系式中错误的是_（分数：4.00）A.1+22+3-=0B.-1+2-24=0 C.21+2+3+24-=0D.-32-3+24=0解析：解析 有通解 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 思路一： 思路二： 10.若极限 （分数：4.00）解析： 解析 令 ，则原极限可化为 因上述极限存在，当 u0 时，上式分子必趋于零，得 b=-1，从而 因上述极限存在，所以 ，则 11.设 f(x)，g(x)有连续的二阶导数，若 ，则 （分数：4.00）解析：xf“(x) 解析 依题 故 12.累次积分
11、（分数：4.00）解析：解析 13.常微分方程 xdy-ydx=y 2 e y dy的通解为 1 （分数：4.00）解析：x=Cy-ye y 解析 思路一：将 y看成自变量，x 看成 y的函数，则原方程是关于未知函数 x=x(y)的一阶线性微分方程： 此方程的通解为 思路二：采用凑微分法 14.设三阶矩阵 （分数：4.00）解析：a=-2b 解析 对于三阶矩阵 A，由 r(A * )=1，得 r(A)=3-1=2 对 A作初等行、列变换 因 r(A)=2，故 a=-2b且 ab，即 a=-2b(0)(因为 a=b 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，+)有连续导函
12、数，若 求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 记 ，则 q(x)是0，+)上的连续函数， 关于 f(x)的方程 是一阶线性非齐次微分方程 设 ，则有 故 由 u(x)表达式，得 ，则 16.设 y(x)是由方程 x+y=xy+1确定的隐函数，函数 g(x)在 x=0点二阶可导，且 g“(0)=g“(0)=1若 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 首先，x+y=xy+1 1+y“=xy“+y y“=xy“+2y“ 所以 从而有 y(0)=1，y“(0)=0，y“(0)=0 因 f(x)在 x=0点连续，则 17.设 f(x)在(-，+)上可导，f(0)=0，且满足 证明
13、： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 设 ，则 y(0)=0，y“(0)=f(0)=0，y“(x)=f(x)，y“(x)=f“(x) 求 y(x)的问题变成二阶微分方程初值问题： 这是缺自变量的可降阶方程，令 y“(x)=p(y)，则 问题变成： 先考虑 由方程 也可推出同样结果： 由泰勒级数可知 18.设函数 f(x)在0，1上有连续的三阶导数，f(0)=1，f(1)=2， 是 f(x)的一个极值点证明：存在 (0，1)，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 在 处，将 f(x)展开成二阶带拉格朗日余项的泰勒公式： 式-式得 由于 在(0，1)中连续，由介值定理
14、知，存在 ( 0 ， 1 ) (0，1)，使得 19.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 由定积分的定义，得 20.已知 f(x)=3x 2 +ax -3 (a0)，若当 x0 时，总有 f(x)20 成立，试求 a的取值范围 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 根据已知条件，应先求函数的最值点 f“(x)=6x-3ax -4 ， 由 f“(x)=6x-3ax -4 =0，得驻点 又 f“(x)=6+12ax -5 ，则 所以 是 f(x)=3x 2 +ax -3 (a0)在(0，+)的唯一极值点，故 是 f(x)=3x 2 +ax -3 (a0)在(0，+)内
15、的最小值 由已知得 21.已知平面图形 D由 y轴、曲线 y=e x (x0)和该曲线过原点的切线围成，求 D的面积和 D绕 y轴旋转所得旋转体的体积 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 曲线 y=e x (x0)在(x 0 ，e x0 )处的切线方程为 y=e x0 +e x0 (x-x 0 ) 令 x=0，y=0，得 x 0 =1，故曲线 y=e x (x0)过原点的切线方程为 y=e+e(x-1)，所以 D的面积为 D绕 y轴旋转所得旋转体的体积为 设 A，B 是 n阶矩阵，问（分数：11.01）(1).A是什么矩阵时，若 AB=A，必有 B=E；（分数：3.67）_正确答案
16、：()解析：解析 当 A可逆时，若 AB=A，必有 B=E因 A可逆时，AB=A 两边左乘 A -1 ，即有 B=E(2).A是什么矩阵时，有 BE，使得 AB=A；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解析 当 A不可逆时，存在 BE，使得 AB=A因 A不可逆时 AB=A，即 A(B-E)=0，此时，Ax=0 有非零解将 Ax=0的非零解合并成方阵，设为 1 ， 2 ， n ，并令 1 ， 2 ， n =B-E，则 B= 1 ， 2 ， n +EE，使 AB=A(3).当 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解析 解 Ax=0 r(A)=2Ax=0 有通解 ，则有 ，令 22.设 A
17、，B，C 均是 n阶方阵，满足 r(B)+r(C)=n，(A+E)C=0，B(A T -2E)=0 证明：A ，并求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 r(B)+r(C)=n 若 r(B)=n，则 B可逆由 B(A T -2E)=0，两边左乘 B -1 ，得 A T =2E=A，故 A =2E，且|A|=2 n 若 r(C)=n，则 C可逆，由(A+E)C=0，右乘 C -1 ，得 A+E=0，A=-E，即 A-E，|A|=(-1) n 若 r(B)n，r(C)n，因 r(B)+r(C)=n，设 r(B)=r，则 r(C)=n-r 由(A+E)C=0 知，A 有 =-1，且至少有 n-r个线性无关的特征向量(因 r(C)=n-r，C 中有 n-r列线性无关，且是 A的对应于 =-1 的特征向量)故 =-1 至少是 n-r重根 由 B(A T -2E)=0，两边转置，得(A-2E)B T =0知 A有 =2，且至少是 r重根，B T 的 r个线性无关列向量即是 A的对应于 =2 的特征向量 由，知，=-1 是 n-r重根，=2 是 r重根，从而可知 A有 n个线性无关特征向量，A 且
