1、考研数学二-239 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. =_ A1 B （分数：4.00）A.B.C.D.2.若函数 （分数：4.00）A.a=0，b=1，c=B.a=0，b=0，c=-C.a=1，b=-1，c=0D.a=0，b=0，c=3.设函数 y(x)是初值问题 （分数：4.00）A.0 是 y(x)的极小值点B.0 是 y(x)的极大值点C.0 不是 y(x)的极值点D.0 是否是 y(x)的极值点与 a 取值有关4.设函数 z=f(x，y)，f(x，0)=1，f“ y (x，0)=x，f“ yy =2，则 f(x，y)
2、=_（分数：4.00）A.1-xy+y2B.1+xy+y2C.1-x2y+y2D.1+x2y+y25.设 f(x)在 x=0 某邻域二阶可导，且 f“(0)=0， （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是 f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 f(x)的拐点6.设函数 y 1 (x)，y 2 (x)是微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个不同特解，则该方程的通解为_（分数：4.00）A.y=C1y1+C2y2(C1，C2 为任意常数)B.y=y1+Cy2(C 为任意常数)C.y=y1+C(y1+
3、y2)(C 为任意常数)D.y=y1+C(y2-y1)(C 为任意常数)7.二次型 的规范形是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 是 3 阶矩阵，已知 A 的行列式|A|=-6，A 的迹 tr(A)=2，且 r(A+2E)=2，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值为_ A-2，3，-6 B2，-3，6 C1，-2，3 D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 ， 为常数，f(x)可导，则 （分数：4.00）10.设 ，则 （分数：4.00）11.一阶微分方程 y“=xy 2 的通解是 1 （分数：4.00）12. （
4、分数：4.00）13.设 ，已知 f“(1)=0，f“(1)=1，则 （分数：4.00）14.设 A 和 B 是两个相似的三阶矩阵，矩阵 A 有特征值 1，矩阵 B 有特征值 2 和 3，则行列式|AB+A|= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.设 f(x)为定义在 上且满足 的连续函数，试求 f(x)在 （分数：10.00）_17.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，而 F(x)是微分方程 xy“+y=e x 满足初始条件 （分数：10.00）_今有方程系列 P：x n -2x+1=0，n3（分数：10.00）(1).证
5、明：P 中每一个方程，在(0，1)内都有且仅有一个解；（分数：5.00）_(2).设 P 中的第 n 个方程的解为 x n ，求 （分数：5.00）_18.计算二重积分 （分数：10.00）_19.设一旋转抛物面的容器内盛有高为 H 的液体，把另一同轴的旋转抛物面体沿旋转轴方向压入(不进水)盛水的上述容器内，浸没深度为 h，问抛物面的容器内液面上升多少? （分数：10.00）_已知 ，令 （分数：12.00）(1).求极限 （分数：6.00）_(2).设 x 0 (-1，1)，求极限 （分数：6.00）_20.设有线性方程组 （分数：11.00）_21.已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是
6、3 阶矩阵，且 （分数：11.00）_考研数学二-239 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. =_ A1 B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 2.若函数 （分数：4.00）A.a=0，b=1，c=B.a=0，b=0，c=- C.a=1，b=-1，c=0D.a=0，b=0，c=解析：解析 由 ，得 ，则 欲使 3.设函数 y(x)是初值问题 （分数：4.00）A.0 是 y(x)的极小值点 B.0 是 y(x)的极大值点C.0 不是 y(x)的极值点D.0 是否是 y(x)的极值点与 a 取值有关解析：解析 由 y“
7、=asin 2 y-x=0，得 y“-2asinycosyy“-1=0，则 y“(0)=asin 2 y(0)+x=0， y“(0)=2asiny(0)cosy(0)y“(0)+1=10， 所以 y(x)在 0 处取极小值4.设函数 z=f(x，y)，f(x，0)=1，f“ y (x，0)=x，f“ yy =2，则 f(x，y)=_（分数：4.00）A.1-xy+y2B.1+xy+y2 C.1-x2y+y2D.1+x2y+y2解析：解析 f“ yy =2 f“ y =2y+C 1 (x)，由 f“ y (x，0)=x 得 C 1 (x)=x f“ y (x，y)=2y+x， 则 f(x，y)=
8、y 2 +xy+C 2 (x)， 由 f(x，0)=1 5.设 f(x)在 x=0 某邻域二阶可导，且 f“(0)=0， （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是 f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 f(x)的拐点解析：解析 由已知，得 6.设函数 y 1 (x)，y 2 (x)是微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个不同特解，则该方程的通解为_（分数：4.00）A.y=C1y1+C2y2(C1，C2 为任意常数)B.y=y1+Cy2(C 为任意常数)C.y=y1+C(y1+y2)(C 为任
9、意常数)D.y=y1+C(y2-y1)(C 为任意常数) 解析：解析 因为 y“+p(x)y=q(x)是一阶线性非齐次方程，则 y 2 -y 1 是齐次方程 y“+p(x)y=0 的一个解，根据线性方程解的结构可知，y“+p(x)y=q(x)的通解为 y=y 1 +C(y 2 -y 1 )，C 为任意常数7.二次型 的规范形是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 思路一：二次型的规范形由它的正负惯性指数确定 二次型的矩阵 ，其特征多项式为 故 A 的特征值为 9，0，0，正惯性指数 p=1，负惯性指数 q=0，则 f 的规范形为 思路二：配方法 令 得 8.设 A
10、 是 3 阶矩阵，已知 A 的行列式|A|=-6，A 的迹 tr(A)=2，且 r(A+2E)=2，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值为_ A-2，3，-6 B2，-3，6 C1，-2，3 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，则 由|A|=-6，得 1 2 3 =-6； 由 tr(A)=2，得 1 + 2 + 3 =2； 由 r(A+2E)=2，得 3 =-2 解方程组 得 1 =1， 2 =3 所以 A -1 的三个特征值为 则 A * =|A|A -1 的三个特征值为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 ， 为
11、常数，f(x)可导，则 （分数：4.00）解析：(+)f“(x) 解析 10.设 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 11.一阶微分方程 y“=xy 2 的通解是 1 （分数：4.00）解析： ，其中 C 为任意常数 解析 已知 y“=xy 2 ，当 y0 时，有 另外，y=0 也是一个解 综上可得，通解为 12. （分数：4.00）解析：2e -1 解析 令 u 2 =2x+1，则 udu=dx， ，故 13.设 ，已知 f“(1)=0，f“(1)=1，则 （分数：4.00）解析：4 解析 由参数方程，得 14.设 A 和 B 是两个相似的三阶矩阵，矩阵 A 有特征值 1，矩阵 B 有特征
12、值 2 和 3，则行列式|AB+A|= 1 （分数：4.00）解析：144 解析 由于 A，B 为相似矩阵，因此有相同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 又 |AB+A|=|A|B+E|， 而 |A|= 1 2 3 =6，|B+E|=( 1 +1)( 2 +1)( 3 +1)=24， 故 |AB+A|=624=144三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 思路一： 令 ，则 思路二： 则 I=1 思路三：令 u=t-x，则 故 16.设 f(x)为定义在 上且满足 的连续函数，试求 f(x)在 （分数：10.00）_正确答案：
13、()解析：解析 将等式 两边关于 x 从 0 到 积分，得 上式左边为 右边为 故 则 f(x)在 上的平均值为 17.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，而 F(x)是微分方程 xy“+y=e x 满足初始条件 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 由题设可知 是初值问题 的特解 解该问题： 则 综上，得 当 x0 时， 当 x=0 时， 所以 当 x0 时， 当 x=0 时， 综上，得 今有方程系列 P：x n -2x+1=0，n3（分数：10.00）(1).证明：P 中每一个方程，在(0，1)内都有且仅有一个解；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 记 f n (x
14、)=x n -2x+1，则方程 x n -2x+1=0 的根，即是函数 f n (x)的零点 由 n2，当 x(0，1时，因为 f“ n (x)=n(n-1)x n-2 0因此 f n (x)在(0，1内是严格下凸的，所以 f n (x)在(0，1内至多有两个零点已知有 f n (1)=0，因此 f n (x)在(0，1)内至多有一个零点 又因 ，而当 n3 时， 所以 f n (x)在 内至少有一个零点 由此证得，f n (x)在(0，1)内有且仅有一个零点，记为 x n ，且 (2).设 P 中的第 n 个方程的解为 x n ，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 思路一：因为
15、 并且 所以存在 N0，当 nN 时， 由此可知，f n (x)的零点 ，即 ，所以 思路二：先证 x n (n=3，4，)是单调递减数列 当 n3 时， ，而且 由于 ， n 位于 x n ，x n-1 之间，所以 因此 因此，数列x n (n3)单调递减，且有下界 因此 存在 又由于 ，而 ，所以有 ，从而 ，则 18.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 画出二重积分区域，如下图所示， D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性得 19.设一旋转抛物面的容器内盛有高为 H 的液体，把另一同轴的旋转抛物面体沿旋转轴方向压入(不进水)盛水的上述容器内，浸没深度为 h，问
16、抛物面的容器内液面上升多少? （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 设旋转抛物面容器和旋转抛物面体分别由 xOy 平面上的抛物线 y 1 =Ax 2 ，y 2 =Bx 2 +a绕 y 轴旋转而成如图所示，设 V 1 为抛物面容器中的液体被第二个抛物面体所排开的体积，则 设被挤上升的液体体积为 V 2 ，则 由 V 1 =V 2 ，得 因为 h+a0，则 故液面上升高度为 已知 ，令 （分数：12.00）(1).求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解析 记 令 nx=u，则 ，故 注意到 (x)为偶函数，并且由于 f(x)在-1，1上连续，(x)在-1，1上不变号，由积分中
17、值定理，得 其中 (-1，1)，再次由 f(x)的连续性，得到 (2).设 x 0 (-1，1)，求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解析 记 令 n(x-x 0 )=t，则 ，于是 注意到当 n 足够大时有(-1，1) -n(1+x 0 )，n(1-x 0 )，并应用积分中值定理，得到 其中 (-1，1)，再次由 f(x)的连续性，得 20.设有线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 将方程组改写为 方程组的系数行列式为 当 a2 且 a-2 时，|A|0，则方程组 Ax=0 有唯一解 当 a=2 时，方程组的同解方程为 x 1 +x 2 +x 3 +x 4
18、=0， r(A)=1，基础解系由 4-1=3 个线性无关的向量组成，取 x 2 ，x 3 ，x 4 为自由变量，则基础解系为 1 =(-1，1，0，0) T ， 2 =(-1，0，1，0) T ， 3 =(-1，0，0，1) T 则方程组通解为 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数 当 a=-2 时，对系数矩阵作初等行变换 21.已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是 3 阶矩阵，且 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 对增广矩阵作初等行变换，有 因为方程组有无穷多解，故 a=-1 或 a=0 当 a=-1 时，三个特征向量 线性相关，不合题意，舍去； 当 a=0 时，三个特征向量 线性无关，是 A 的特征向量 故 a=0 依题令 则 故
