1、考研数学二-240 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)连续，在 x 0 可导，且 （分数：4.00）A.函数 f(x)-x2 在(x0，x0+)内单调增加B.函数 f(x)-x2 在(x0-，x0)内单调减少C.对任意的 x(x0，x0+)有 f(x)x2D.对任意的 x(x0-，x0)有 f(x)x22.假设区域 D 由曲线 y=px 3 (x0，p0)及其过点(1，p)的切线与 x 轴围成，设此区域的形心为 ，则 的值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.方程 e -x -x 2 +2x
2、-1=0_（分数：4.00）A.恰有一个根B.恰有两个根C.恰有三个根D.多于三个根4.设 f(x)定义在(-，+)上，在点 x=0 连续，且满足条件 f(x)=f(sinx)，则 f(x)在(-，+)上_（分数：4.00）A.不一定是连续函数B.不恒为常数且连续C.不恒为常数且可导D.无穷阶可导5.若 （分数：4.00）A.I1I2I3B.I1I3I2C.I2I1I3D.I2I3I16.微分方程 y“-y“=sinx+3 的一个特解应具有的形式为_（分数：4.00）A.Asinx+Bcosx+CB.Asinx+Bcosx+CxC.Axsinx+Bxcosx+CD.Axsinx+Bxcosx+
3、Cx7.已知 （分数：4.00）A.a=-1 时，必有 r(B)=1B.a=-1 时，必有 r(B)=2C.a=1 时，必有 r(B)=1D.a=1 时，必有 r(B)=28.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，其中 i 是 n 维列向量(i=1，2，3，4)已知齐次线性方程组Ax=0 的基础解系为 1 =(-2，0，1，0) T ， 2 =(1，0，0，1) T ，则_（分数：4.00）A.1，2 线性无关B.1，3 线性无关C.1，4 线性无关D.3，4 线性无关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 y-xe y =1-ex 确定，则 （分数：
4、4.00）10.设 z=z(x，y)由方程 xf(z)+yg(z)=xy 所确定，且 xf“(z)+yg“(z)0，则 （分数：4.00）11.设区域 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且 f(0)=A0， ，若当 n+， 是比 （分数：4.00）12.y=e 2x (C 1 cosx+C 2 sinx)+5(C 1 ，C 2 为任意常数)为通解的二阶线性常系数微分方程的形式为 1 （分数：4.00）13.定积分 （分数：4.00）14.设 为可逆矩阵，且 ，若 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)1
5、5.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 （分数：10.00）_17.计算二重积分 ，区域 D 由曲线 （分数：10.00）_18.设 证明：当 x0，1时， （分数：10.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在 (a，b)，使得 f“()0证明：（分数：10.00）(1).若 f“()=0，则存在 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，使得 f(x 1 )=f(x 2 )；（分数：5.00）_(2).若 f“()0，则存在 1 2 ，其中 1 ， 2 (a，b)，使得 （分数：5.00）_19.求微分方程 xy“+y“=xlnx 的通解 （分数：
6、11.00）_设函数 z=f(x，y)定义在整个二维平面域 R 2 ，满足下列条件： (x，y)R 2 ，f(x，y)0，当且仅当(x，y)=(0，0)时，f(x，y)=0； (x，y)R 2 ， R，f(x，y)=|f(x，y)； （分数：11.01）(1). （分数：3.67）_(2).函数 f 在原点(0，0)连续，同时在 R 2 上连续；（分数：3.67）_(3).存在正常数 ，使得对 (x，y)R 2 ： （分数：3.67）_已知 A 是 24 阶矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T ， 又知齐次线性方程组 B
7、x=0 的基础解系是 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T ，（分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：5.50）_设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 是线性方程组(A-E)X=0 的两个解（分数：11.00）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：5.50）_(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A（分数：5.50）_考研数学二-240 答案解析(
8、总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)连续，在 x 0 可导，且 （分数：4.00）A.函数 f(x)-x2 在(x0，x0+)内单调增加B.函数 f(x)-x2 在(x0-，x0)内单调减少C.对任意的 x(x0，x0+)有 f(x)x2 D.对任意的 x(x0-，x0)有 f(x)x2解析：解析 令 g(x)=f(x)-x 2 ，由已知得 g(x 0 )=0，g“(x 0 )0，则 由极限的保号性，知存在 0，对 2.假设区域 D 由曲线 y=px 3 (x0，p0)及其过点(1，p)的切线与 x 轴围成，设此区域的形心为
9、，则 的值为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 y“| x=1 =3px 2 | x=1 =3p，切线为 y=p+3p(x-1) 切线与 x 轴交点为 ，切线与 y 轴交点为(0，-2p)； 切线与曲线交点为(1，p)，如图因为 由形心坐标公式得 3.方程 e -x -x 2 +2x-1=0_（分数：4.00）A.恰有一个根B.恰有两个根C.恰有三个根 D.多于三个根解析：解析 令 y(x)=e -x -x 2 +2x-1 因为 ，因此最多有三个根由于 y(0)=1-1=0，所以 x=0 是其一个根 由于 y“(x)=-e -x -2x+2，y“(0)=-1+2
10、=10，且 y(0)=0，所以存在 0，使 得 y(-)0，y()0 又由 ，所以 y(x)在区间(-，-)内至少有一根 由 4.设 f(x)定义在(-，+)上，在点 x=0 连续，且满足条件 f(x)=f(sinx)，则 f(x)在(-，+)上_（分数：4.00）A.不一定是连续函数B.不恒为常数且连续C.不恒为常数且可导D.无穷阶可导 解析：解析 记 u 1 =sinu 0 ，u k+1 =sinu k (k=1，2，) 对 u 0 (-，+)，k=1，2， f(u 0 )=f(sinu 0 )=f(u 1 )=f(sinu 1 )=f(u 2 )=f(sinu 2 )=f(sinu k
11、)=f(u k+1 )， 即对 u 0 (-，+)都有 f(u 0 )=f(u n )，n=1，2，成立 由于数列 u k (k=1，2，)单调递减且有极限 又 f(x)在点 x=0 处连续所以对 u 0 (-，+)， 5.若 （分数：4.00）A.I1I2I3B.I1I3I2 C.I2I1I3D.I2I3I1解析：解析 对 6.微分方程 y“-y“=sinx+3 的一个特解应具有的形式为_（分数：4.00）A.Asinx+Bcosx+CB.Asinx+Bcosx+Cx C.Axsinx+Bxcosx+CD.Axsinx+Bxcosx+Cx解析：解析 因为与原方程相应的齐次方程的特征方程为 2
12、 -=0，特征根为 0，1 所以方程 y“-y“=sinx 的一个特解形式为 y=Asinx+Bcosx； 方程 y“-y“=3 的一个特解形式为 y=Cx 根据叠加原理，原方程的一个特解形式为 Y=Asinx+Bcosx+Cx7.已知 （分数：4.00）A.a=-1 时，必有 r(B)=1B.a=-1 时，必有 r(B)=2C.a=1 时，必有 r(B)=1 D.a=1 时，必有 r(B)=2解析：解析 当 a=-1 时，r(A)=1，再由 AB=0，得 r(A)+r(B)3可见当 a=-1 时，r(B)可能为 1 也可能为 2，故选项 A、选项 B 不正确 当 a=1 时，r(A)=2，由
13、 AB=0，得 r(A)+r(B)3 8.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，其中 i 是 n 维列向量(i=1，2，3，4)已知齐次线性方程组Ax=0 的基础解系为 1 =(-2，0，1，0) T ， 2 =(1，0，0，1) T ，则_（分数：4.00）A.1，2 线性无关 B.1，3 线性无关C.1，4 线性无关D.3，4 线性无关解析：解析 因为 Ax=0 的基础解系为 1 =(-2，0，1，0) T ， 2 =(1，0，0，1) T ，可知 r(A)=2，则 A 有两个线性无关的列向量，将 1 ， 2 代入得 -2 1 + 3 =0， 1 + 4 =0 则 二、填空题(总题数
14、：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 y-xe y =1-ex 确定，则 （分数：4.00）解析：0 解析 将方程 y-xe y =1-ex 两边对 x 求导，得 则 当 x=0 时， 10.设 z=z(x，y)由方程 xf(z)+yg(z)=xy 所确定，且 xf“(z)+yg“(z)0，则 （分数：4.00）解析：0 解析 设 F(x，y，z)=xf(z)+yg(z)-xy，则 故 11.设区域 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且 f(0)=A0， ，若当 n+， 是比 （分数：4.00）解析：1
15、解析 因为 ，函数 f( 2 )在 0 的某邻域内连续，所以根据变限定积分函数的性质，可知 F(t)在 t=0 的某邻域内可导 F“(t)=2tf(t 2 )，所以 因为 ，所以 又 从而 12.y=e 2x (C 1 cosx+C 2 sinx)+5(C 1 ，C 2 为任意常数)为通解的二阶线性常系数微分方程的形式为 1 （分数：4.00）解析：y“-4y“+5y=25 解析 该方程是二阶线性常系数非齐次微分方程：y“+py“+qy=f(x) 对应齐次方程的两个特征根为 2i，所以其方程为 y“-4y“+5y=0 非齐次方程的特解为 Y=5，代入方程，得非齐次项 f(x)=25 因此所求方
16、程为 y“-4y“+5y=2513.定积分 （分数：4.00）解析： 解析 思路一： 思路二： 14.设 为可逆矩阵，且 ，若 （分数：4.00）解析： 解析 观察 C 和 A 的关系，C 可由 A 的 1、2 行互换后，再将第 3 列加到第 1 列得到，即C=E 12 AE 13 (1)，故 C -1 =E 12 AE 13 (1) -1 =E 13 (1) -1 A -1 (E 12 ) -1 ，其中(E 12 ) -1 =E 12 ，E 13 (1) -1 =E 13 (-1)，故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 1
17、6.设函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 显然有 f(0)=0 当 x0 时， 综上，得 f(x)=xsinx，x(-，+)，则 17.计算二重积分 ，区域 D 由曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 区域 D 的图形如图所示，单位圆 x 2 +y 2 =1 将区域 D 分成两部分，单位圆 x 2 +y 2 =1 内的部分记作 D 1 ，单位圆外的部分记作 D 2 则 其中 故 18.设 证明：当 x0，1时， （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 因 f(0)=f(1)=0，f(x)在0，1上可导，所以在0，1上存在最大值和最小值又 当 f“(x)
18、=0 时，得(0，1)内唯一驻点 且当 x(0，x 0 )时，f“(x)0；当 x(x 0 ，1)时，f“(x)0所以 是极大值点，也是0，1上的最大值点最大值为 综上可得， 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在 (a，b)，使得 f“()0证明：（分数：10.00）(1).若 f“()=0，则存在 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，使得 f(x 1 )=f(x 2 )；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“()0，f“()=0，故 是 f 的极小值点 f 在a，上有最大值 f(t 1 )同样 f 在，b上也存在最大值 f(t 2 ) 不
19、妨设 f(t 1 )f(t 2 )，由连续函数的介值定理可得，存在 x 0 ，b，使得 f(x 0 )=f(t 1 ) 即有 x 1 =t 1 ，x 2 =x 0 使得 f(x 1 )=f(x 2 )(2).若 f“()0，则存在 1 2 ，其中 1 ， 2 (a，b)，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 由 f“()0，令 g(x)=f(x)-f“()x，则 g“()=f“()-f“()=0 于是 g(x)符合第(1)小题的条件，即存在 1 ， 2 (a，b)满足 1 2 ，使得 g( 1 )=g( 2 )，即 将 g(x)=f(x)-f“()x 代入上式后得到 即 19.求
20、微分方程 xy“+y“=xlnx 的通解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 思路一：这是一个不显含未知函数 y 的二阶可降阶方程，令 u(x)=y“(x)，则原方程变为 ，这是一阶线性微分方程，由通解公式得 由于 所以原微分方程的通解为 其中 C 1 ，C 2 是任意常数 思路二：由于(xy“)“=xy“+y“，令 u=xy“，则原方程化为 u“=xlnx，则 即 积分得 设函数 z=f(x，y)定义在整个二维平面域 R 2 ，满足下列条件： (x，y)R 2 ，f(x，y)0，当且仅当(x，y)=(0，0)时，f(x，y)=0； (x，y)R 2 ， R，f(x，y)=|f(x
21、，y)； （分数：11.01）(1). （分数：3.67）_正确答案：()解析：证明 由条件，对 (2).函数 f 在原点(0，0)连续，同时在 R 2 上连续；（分数：3.67）_正确答案：()解析：证明 由条件和知，f(0，0)=0，再由条件和得 0f(x，y)-f(0，0)=f(x+0，0+y) f(x，0)+f(0，y)=|x|f(1，0)+|y|f(0，1) 即函数 f 在原点(0，0)连续 再由第(1)小题结果得 (3).存在正常数 ，使得对 (x，y)R 2 ： （分数：3.67）_正确答案：()解析：证明 由条件，对 (x，y)R 2 ，有 因为 z=f(u，v)在闭区域 u
22、2 +v 2 =1 上是连续函数，由闭区域连续函数性质及条件 有 即对 (x，y)R 2 ，有 已知 A 是 24 阶矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T ， 又知齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系是 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T ，（分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 记 C=( 1 ， 2 )，由 AC=A( 1 ， 2 )=0 知 C T A T =0，那么矩阵 A T 的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次方程组 C T x=0
23、 的解，对 C T 作初等变换，有 得到 C T x=0 的基础解系为 1 =(3，-1，1，0) T ， 2 =(-5，1，0，1) T 所以矩阵 (2).如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 ，则 既可由 1 ， 2 线性 表出，也可由 1 ， 2 线性表出，故可设 =x 1 1 +x 2 2 =-x 3 1 -x 4 2 ， 于是 x 1 1 +x 2 2 +x 3 1 +x 4 2 =0， 对( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )作初等行变换，有 0 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 不全为 0 r( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )4 设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 是线性方程组(A-E)X=0 的两个解（分数：11.00）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 依题 (A-E)X=0 (2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为 1 ， 2 不正交，故需正交化 1 = 1 =(-1，2，-1) T ， 单位化，得 令 得
