【考研类试卷】考研数学二-241及答案解析.doc

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1、考研数学二-241 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.已知向量组 1, 2, s,线性相关,其中 i=ai1,a i2,a inT,i=1,2,s则下列向量组可能线性无关的是( )(分数:4.00)A. i=ai2,a i1,a i3,a inT,i=1,2,sB. i=ai1,a i1-ai2,a i3,a inT,i=1,2,sC. i=ai1,a i2,a in-1T,i=1,2,sD. i=ai1,a i2,a in,a in+1T,i=1,2,s2.设 f(x)在(-,+)内连续且严格单调增,f(0)=0,常数 n 为

2、正奇数,并设 F(x)= (分数:4.00)A.B.C.D.3.设 1, 2, 3, 1+a 2-2 3均是非齐次线性方程组 AX=b 的解,则对应齐次线性方程组 AX=0 有解( )(分数:4.00)A. 1=2 1+a 2+ 3B. 2=-2 1+3 2-2c 3C. s=a 1+2 2- 3D. 4=3 1-2a 2+ 34.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x)2=sinx,且 f(0)=0,则( )(分数:4.00)A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0,f(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凹的,右侧邻域曲线 y=f(x)是凸的D.在点(0,f

3、(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凸的,右侧邻域曲线 y=f(x)是凹的5.设 f(x)在区间(-,+)上连续,且满足 (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 f(x)在(-,+)上连续,下述命题若对任意 a, ,则 f(x)必是奇函数若对任意 a, ,则 f(x)必是偶函数若 f(x)为周期 T 的奇函数,则 (分数:4.00)A.B.C.D.7. (分数:4.00)A.B.C.D.8.下列命题设 均存在,则 f(x)在 x=x0处必连续设 f-(x0)与 f+(x0)均存在,则 f(x)在 x=x0处必连续设 均存在,则 f(x)在 x=x0处必连续设 (分数:4.00)A.B.C.D.

4、二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.微分方程 xy“-y=x 的通解是_(分数:4.00)填空项 1:_10.曲线 在点(0, (分数:4.00)填空项 1:_11.设 f(x)连续且 f(x)0,又设 f(x)满足 (分数:4.00)填空项 1:_12. (分数:4.00)填空项 1:_13. (分数:4.00)填空项 1:_14.设 (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 D 为曲线 y=x3与直线 y=x 所围成的两块区域,计算 (分数:10.00)_16.已知 在 x0 处有二阶连续导数,且满足 (分数:11.00)_设 f(x)在

5、a,b上连续,在(a,b)内可导试证明:(分数:11.00)(1).拉格朗日微分中值定理:至少存在一点 (a,b)使 (分数:5.50)_(2).若再添设 f(x)不是一次式的条件,则至少存在一点 (a,b)使|f()| (分数:5.50)_17.在极坐标曲线 r=e 的 (分数:10.00)_18.已知摆线的参数方程为 (分数:9.00)_19.设 x-2证明: (分数:10.00)_20.一长为 l(米)、线密度为 (千克/米)的链条,两端各系一个质量为 m(千克)的物体 A 与 B开始时,仅 A 下垂,其余部分平置于桌面上,假设物体、链条与桌面的摩擦均略而不计问从开始算起经过多少时间,链

6、条全部从桌面上滑下?(分数:11.00)_21.设方程组(*)有通解 k1 1+k2 2=k11,2,1,-1 T+k20,-1,-3,2 T方程组 (*)有通解 1 1+ 2 2= 12,-1,-6,1 T+ 2-1,2,4,a+8 T已知方程组(分数:10.00)_设 (分数:12.00)(1).求 A 的特征值,特征向量;(分数:6.00)_(2).求可逆阵 P,使得 P-1AP=A(分数:6.00)_考研数学二-241 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.已知向量组 1, 2, s,线性相关,其中 i=ai1,a i2,a

7、inT,i=1,2,s则下列向量组可能线性无关的是( )(分数:4.00)A. i=ai2,a i1,a i3,a inT,i=1,2,sB. i=ai1,a i1-ai2,a i3,a inT,i=1,2,sC. i=ai1,a i2,a in-1T,i=1,2,sD. i=ai1,a i2,a in,a in+1T,i=1,2,s 解析:分析 n 维向量 i后面增加了分量(即维数)成 n+1 维向量 i,讨论线性相关性时,相当于以 i为列向量的齐次线性方程组增加了一个方程,有可能使方程组 1x1+ 2x2+ sxs=0变得只有零解,即使 1, 2, s可能线性无关故应选(D)(A)(B)相

8、当于作初等变换,不改变向量组的秩,不改变向量组的线性相关性(C)中向量减少分量,仍保持线性相关2.设 f(x)在(-,+)内连续且严格单调增,f(0)=0,常数 n 为正奇数,并设 F(x)= (分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 *设 x0,则 0x,0 nx n,0f()f(x),故 0 nf()x nf(x),从而 F(x)0设 x0,则 x0,x n n0,f(x)f()0,故 x“f(x)f(),从而 F(x)0,选(C)3.设 1, 2, 3, 1+a 2-2 3均是非齐次线性方程组 AX=b 的解,则对应齐次线性方程组 AX=0 有解( )(分数:4.00)A. 1=2

9、 1+a 2+ 3B. 2=-2 1+3 2-2c 3C. s=a 1+2 2- 3D. 4=3 1-2a 2+ 3 解析:分析 由题设条件 A i=b,i=1,2,3及 A( 1+a 2-2 3)=b+ab-2b=b,得 (1+a-2)b=b,b0,得 1+a-2=1,a=2当 a=2 时,将选项逐个左乘 A,看是否满足 A i=0,i=1,2,3,4A 1-A(2 1+2 2+ 3)=5b0,A 2=A(-2 1+3 2-4 3)=-3b0,A 3=A(2 1+2 2- 3)=3b0,A 4=A(3 1-4 2+ 3)=0故 4是对应齐次方程组 AX=0 的解4.设 f(x)满足 f“(x

10、)+xf(x)2=sinx,且 f(0)=0,则( )(分数:4.00)A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0,f(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凹的,右侧邻域曲线 y=f(x)是凸的D.在点(0,f(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凸的,右侧邻域曲线 y=f(x)是凹的 解析:分析 由 f“(x)+x(f(x)2=sinx 有 f“(0)=0,再求f“(x)+(f(x)2+2xf(x)f“(x)=cosx,f“(0)=1所以*由保号性知,存在 x=0 的去心邻域 u,当 xU 且 x0 时,f“(x)0;当 xU 且 x0 时,f“(x)0,故选(D)

11、5.设 f(x)在区间(-,+)上连续,且满足 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 令 x-t=u,作积分变量变换,得*=f(x)-f(x)+x=x,所以*又因 f(0)=0,f(0)=1,所以 C1=1,C 2=0从而 f(x)=*选(C)6.设 f(x)在(-,+)上连续,下述命题若对任意 a, ,则 f(x)必是奇函数若对任意 a, ,则 f(x)必是偶函数若 f(x)为周期 T 的奇函数,则 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:分析 是正确的:记*,有 F(a)=f(a)+f(-a)由于 F(a)=0,所以 F(a)0,所以 f(a)=-f(-a),f(x)为奇函数是

12、正确的:记*,F(a)=f(a)+f(-a)-2f(a)0,所以 f(-a)=f(a),推知 f(x)为偶函数*所以 F(x)具有周期 T选(D)7. (分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 f(x)为偶函数,f(0)0,由积分中值定理,*当 x0 且充分大时,*,所以 f(x)0从而知在区间(0,+)内 f(x)至少有 1 个零点,又当 x0 时,*所以在区间(0,+)内 f(x)正好有 1 个零点,在(-,+)内正好有 2 个零点,选(C)8.下列命题设 均存在,则 f(x)在 x=x0处必连续设 f-(x0)与 f+(x0)均存在,则 f(x)在 x=x0处必连续设 均存在,则

13、f(x)在 x=x0处必连续设 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:分析 f -(x0)存在,即 f(x)在 x=x0处左导数存在,推知 f(x)在 x=x0处左连续;f +(x0)存在,推知 f(x)在 x=x0处右连续故 f(x)在 x=x0处连续正确与都不正确,因为这两种情形,f(x 0)可以没有定义也不正确,反例如下:*可知*不存在,但 f(x0)却存在二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.微分方程 xy“-y=x 的通解是_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 此为可降价的 y“=f(x,y)型命 y=p,y“=p有xp-p=x*10.曲线 在点

14、(0, (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 *11.设 f(x)连续且 f(x)0,又设 f(x)满足 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 *令*,于是*f(x)=f(x),f(0)=a,所以 f(x)=Cex,由 f(0)=a 得 f(x)=aex于是*a=0(舍去),*,所以*12. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:e)解析:分析 *所以应填 e13. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 *为 x 的奇数,故*14.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:=11)解析:分析 因 abe=-

15、6,故*又*,故 r(A)=2,r(A *)=1故 A*有特征值 1= 2=0,*+*三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 D 为曲线 y=x3与直线 y=x 所围成的两块区域,计算 (分数:10.00)_正确答案:(画出区域 D 如图第一象限中一块记为 D1,第三象限中一块记为 D2*而*同理*所以原式=e-2)解析:16.已知 在 x0 处有二阶连续导数,且满足 (分数:11.00)_正确答案:(*,有*所以*原方程化为(1+u2)f“+2uf=0,其中*,f 中的变量为 u,解上述方程*f=C1arctanu+C2即*)解析:设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导试

16、证明:(分数:11.00)(1).拉格朗日微分中值定理:至少存在一点 (a,b)使 (分数:5.50)_正确答案:(作函数*易见,(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,(a)=0,(b)=0,由罗尔定理知,至少存在一点(a,b)使 ()=0,即*证毕)解析:(2).若再添设 f(x)不是一次式的条件,则至少存在一点 (a,b)使|f()| (分数:5.50)_正确答案:(作 (x)如上,并且不妨设 f(b)-f(a)0因 f(x)不是一次式,故至少存在一点 x1(a,b)使*或至少存在一点 x2(a,b)使*设为前者,在区间a,x 1上对 (x)用拉格朗日中值定理,存在 1(a,x 1)*

17、(a,b),使*即 *从而知存在 1(a,b)使*设为后者,在区间x 2,b上对 (x)用拉格朗日中值定理,存在 2(x 2,b)*(a,b),使*即*不论哪种情形皆有*,若 f(b)-f(a)0,证明类似)解析:17.在极坐标曲线 r=e 的 (分数:10.00)_正确答案:(将极坐标曲线 r=e 化成参数式 x=rcos=e cos,y=rsin=e sin,在任意一点处的切线斜率为*,在 处的切线方程为*在两坐标轴上的截距*三角形面积*当*时 Y0 或无定义,故 应满足*命*,得 tan2=-1,*,当*时,*;当*时,*,所以当*时 A 为极小,且此时为唯一驻点,故当*时 A 为最小*

18、)解析:18.已知摆线的参数方程为 (分数:9.00)_正确答案:(摆线一拱弧长*摆线一拱绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面面积为*按题意,*,所以*)解析:19.设 x-2证明: (分数:10.00)_正确答案:(命*,x-2,有 f(-2)=0,*所以 f(x)0(当 x-2),又由 f(-2)=0,所以 f(x)0 当 x-2证毕)解析:20.一长为 l(米)、线密度为 (千克/米)的链条,两端各系一个质量为 m(千克)的物体 A 与 B开始时,仅 A 下垂,其余部分平置于桌面上,假设物体、链条与桌面的摩擦均略而不计问从开始算起经过多少时间,链条全部从桌面上滑下?(分数:11.00)_正

19、确答案:(设以开始下垂点作为坐标原点,向下为 x 轴正向设在 t(秒)时,物体 A 已下垂 x(米),则此时使该系统向下的力为(x+m)g,整个运动系统的质量为 l+2m,于是由牛顿第二定律,有*即 *初始条件是 x(0)=0,x(t)=0解之,得通解*再由初始条件得特解 *命 x=l,解出*)解析:21.设方程组(*)有通解 k1 1+k2 2=k11,2,1,-1 T+k20,-1,-3,2 T方程组 (*)有通解 1 1+ 2 2= 12,-1,-6,1 T+ 2-1,2,4,a+8 T已知方程组(分数:10.00)_正确答案:()有非零解,即()、()有非零公共解,设为 ,则 是属于(

20、)的通解,也是属于()的通解,即=k 1 1+k2 2= 1 1+ 2 2,其中 k1,k 2, 1, 2均不全为零得 k 1 1+k2 2- 1 1- 2 2=0, (*)(*)有非零解*r( 1, 2,- 1- 2)4对 1, 2,- 1,- 2作初等行变换*r( 1, 2,- 1,- 2)4*a=-8故当 a=-8 时,方程组()有非零解当 a=-8 时,方程组(*)的系数矩阵经初等行变换为*方程组(*)有解k1,k 2, 1, 2=k1,1,l,1故方程组(),()的公共解为*其中 k 是任意常数)解析:设 (分数:12.00)(1).求 A 的特征值,特征向量;(分数:6.00)_正确答案:(方法一 求 A 的 和 *=1(三重特征值),=-1(二重特征值)方法二 因*故 A 的特征值的取值范围为 =1 或 =-1,=1 时,由(E-A)X=0,即*得同解方程组为 *故特征向量为 1=1,0,0,0,1 T, 2=0,1,0,1,0 T, 3=0,0,1,0,0 T=-1 时,由(-E-A)X=0,即*得同解方程组为*得特征向量为 4=0,1,0,-1,0 T, 5=1,0,0,0,-1 T)解析:(2).求可逆阵 P,使得 P-1AP=A(分数:6.00)_正确答案:(取*则 *)解析:

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