1、考研数学二-241 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知向量组 1， 2， s，线性相关，其中 i=ai1，a i2，a inT，i=1，2，s则下列向量组可能线性无关的是( )（分数：4.00）A. i=ai2，a i1，a i3，a inT，i=1，2，sB. i=ai1，a i1-ai2，a i3，a inT，i=1，2，sC. i=ai1，a i2，a in-1T，i=1，2，sD. i=ai1，a i2，a in，a in+1T，i=1，2，s2.设 f(x)在(-，+)内连续且严格单调增，f(0)=0，常数 n 为
2、正奇数，并设 F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 1， 2， 3， 1+a 2-2 3均是非齐次线性方程组 AX=b 的解，则对应齐次线性方程组 AX=0 有解( )（分数：4.00）A. 1=2 1+a 2+ 3B. 2=-2 1+3 2-2c 3C. s=a 1+2 2- 3D. 4=3 1-2a 2+ 34.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x)2=sinx，且 f(0)=0，则( )（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0，f(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域曲线 y=f(x)是凸的D.在点(0，f
3、(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域曲线 y=f(x)是凹的5.设 f(x)在区间(-，+)上连续，且满足 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)在(-，+)上连续，下述命题若对任意 a， ，则 f(x)必是奇函数若对任意 a， ，则 f(x)必是偶函数若 f(x)为周期 T 的奇函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.7. （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列命题设 均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续设 f-(x0)与 f+(x0)均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续设 均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续设 （分数：4.00）A.B.C.D.
4、二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 xy“-y=x 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 在点(0， （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14.设 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 D 为曲线 y=x3与直线 y=x 所围成的两块区域，计算 （分数：10.00）_16.已知 在 x0 处有二阶连续导数，且满足 （分数：11.00）_设 f(x)在
5、a，b上连续，在(a，b)内可导试证明：（分数：11.00）(1).拉格朗日微分中值定理：至少存在一点 (a，b)使 （分数：5.50）_(2).若再添设 f(x)不是一次式的条件，则至少存在一点 (a，b)使|f()| （分数：5.50）_17.在极坐标曲线 r=e 的 （分数：10.00）_18.已知摆线的参数方程为 （分数：9.00）_19.设 x-2证明： （分数：10.00）_20.一长为 l(米)、线密度为 (千克/米)的链条，两端各系一个质量为 m(千克)的物体 A 与 B开始时，仅 A 下垂，其余部分平置于桌面上，假设物体、链条与桌面的摩擦均略而不计问从开始算起经过多少时间，链
6、条全部从桌面上滑下?（分数：11.00）_21.设方程组(*)有通解 k1 1+k2 2=k11，2，1，-1 T+k20，-1，-3，2 T方程组 (*)有通解 1 1+ 2 2= 12，-1，-6，1 T+ 2-1，2，4，a+8 T已知方程组（分数：10.00）_设 （分数：12.00）(1).求 A 的特征值，特征向量；（分数：6.00）_(2).求可逆阵 P，使得 P-1AP=A（分数：6.00）_考研数学二-241 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知向量组 1， 2， s，线性相关，其中 i=ai1，a i2，a
7、inT，i=1，2，s则下列向量组可能线性无关的是( )（分数：4.00）A. i=ai2，a i1，a i3，a inT，i=1，2，sB. i=ai1，a i1-ai2，a i3，a inT，i=1，2，sC. i=ai1，a i2，a in-1T，i=1，2，sD. i=ai1，a i2，a in，a in+1T，i=1，2，s 解析：分析 n 维向量 i后面增加了分量(即维数)成 n+1 维向量 i，讨论线性相关性时，相当于以 i为列向量的齐次线性方程组增加了一个方程，有可能使方程组 1x1+ 2x2+ sxs=0变得只有零解，即使 1， 2， s可能线性无关故应选(D)(A)(B)相
8、当于作初等变换，不改变向量组的秩，不改变向量组的线性相关性(C)中向量减少分量，仍保持线性相关2.设 f(x)在(-，+)内连续且严格单调增，f(0)=0，常数 n 为正奇数，并设 F(x)= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 *设 x0，则 0x，0 nx n，0f()f(x)，故 0 nf()x nf(x)，从而 F(x)0设 x0，则 x0，x n n0，f(x)f()0，故 x“f(x)f()，从而 F(x)0，选(C)3.设 1， 2， 3， 1+a 2-2 3均是非齐次线性方程组 AX=b 的解，则对应齐次线性方程组 AX=0 有解( )（分数：4.00）A. 1=2
9、 1+a 2+ 3B. 2=-2 1+3 2-2c 3C. s=a 1+2 2- 3D. 4=3 1-2a 2+ 3 解析：分析 由题设条件 A i=b，i=1，2，3及 A( 1+a 2-2 3)=b+ab-2b=b，得 (1+a-2)b=b，b0，得 1+a-2=1，a=2当 a=2 时，将选项逐个左乘 A，看是否满足 A i=0，i=1，2，3，4A 1-A(2 1+2 2+ 3)=5b0，A 2=A(-2 1+3 2-4 3)=-3b0，A 3=A(2 1+2 2- 3)=3b0，A 4=A(3 1-4 2+ 3)=0故 4是对应齐次方程组 AX=0 的解4.设 f(x)满足 f“(x
10、)+xf(x)2=sinx，且 f(0)=0，则( )（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0，f(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域曲线 y=f(x)是凸的D.在点(0，f(0)左侧邻域曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域曲线 y=f(x)是凹的 解析：分析 由 f“(x)+x(f(x)2=sinx 有 f“(0)=0，再求f“(x)+(f(x)2+2xf(x)f“(x)=cosx，f“(0)=1所以*由保号性知，存在 x=0 的去心邻域 u，当 xU 且 x0 时，f“(x)0；当 xU 且 x0 时，f“(x)0，故选(D)
11、5.设 f(x)在区间(-，+)上连续，且满足 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 令 x-t=u，作积分变量变换，得*=f(x)-f(x)+x=x，所以*又因 f(0)=0，f(0)=1，所以 C1=1，C 2=0从而 f(x)=*选(C)6.设 f(x)在(-，+)上连续，下述命题若对任意 a， ，则 f(x)必是奇函数若对任意 a， ，则 f(x)必是偶函数若 f(x)为周期 T 的奇函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 是正确的：记*，有 F(a)=f(a)+f(-a)由于 F(a)=0，所以 F(a)0，所以 f(a)=-f(-a)，f(x)为奇函数是
12、正确的：记*，F(a)=f(a)+f(-a)-2f(a)0，所以 f(-a)=f(a)，推知 f(x)为偶函数*所以 F(x)具有周期 T选(D)7. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 f(x)为偶函数，f(0)0，由积分中值定理，*当 x0 且充分大时，*，所以 f(x)0从而知在区间(0，+)内 f(x)至少有 1 个零点，又当 x0 时，*所以在区间(0，+)内 f(x)正好有 1 个零点，在(-，+)内正好有 2 个零点，选(C)8.下列命题设 均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续设 f-(x0)与 f+(x0)均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续设 均存在，则
13、f(x)在 x=x0处必连续设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 f -(x0)存在，即 f(x)在 x=x0处左导数存在，推知 f(x)在 x=x0处左连续；f +(x0)存在，推知 f(x)在 x=x0处右连续故 f(x)在 x=x0处连续正确与都不正确，因为这两种情形，f(x 0)可以没有定义也不正确，反例如下：*可知*不存在，但 f(x0)却存在二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 xy“-y=x 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 此为可降价的 y“=f(x，y)型命 y=p，y“=p有xp-p=x*10.曲线 在点
14、(0， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *11.设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *令*，于是*f(x)=f(x)，f(0)=a，所以 f(x)=Cex，由 f(0)=a 得 f(x)=aex于是*a=0(舍去)，*，所以*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：分析 *所以应填 e13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *为 x 的奇数，故*14.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：=11）解析：分析 因 abe=-
15、6，故*又*，故 r(A)=2，r(A *)=1故 A*有特征值 1= 2=0，*+*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 D 为曲线 y=x3与直线 y=x 所围成的两块区域，计算 （分数：10.00）_正确答案：(画出区域 D 如图第一象限中一块记为 D1，第三象限中一块记为 D2*而*同理*所以原式=e-2)解析：16.已知 在 x0 处有二阶连续导数，且满足 （分数：11.00）_正确答案：(*，有*所以*原方程化为(1+u2)f“+2uf=0，其中*，f 中的变量为 u，解上述方程*f=C1arctanu+C2即*)解析：设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导试
16、证明：（分数：11.00）(1).拉格朗日微分中值定理：至少存在一点 (a，b)使 （分数：5.50）_正确答案：(作函数*易见，(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，(a)=0，(b)=0，由罗尔定理知，至少存在一点(a，b)使 ()=0，即*证毕)解析：(2).若再添设 f(x)不是一次式的条件，则至少存在一点 (a，b)使|f()| （分数：5.50）_正确答案：(作 (x)如上，并且不妨设 f(b)-f(a)0因 f(x)不是一次式，故至少存在一点 x1(a，b)使*或至少存在一点 x2(a，b)使*设为前者，在区间a，x 1上对 (x)用拉格朗日中值定理，存在 1(a，x 1)*
17、(a，b)，使*即 *从而知存在 1(a，b)使*设为后者，在区间x 2，b上对 (x)用拉格朗日中值定理，存在 2(x 2，b)*(a，b)，使*即*不论哪种情形皆有*，若 f(b)-f(a)0，证明类似)解析：17.在极坐标曲线 r=e 的 （分数：10.00）_正确答案：(将极坐标曲线 r=e 化成参数式 x=rcos=e cos，y=rsin=e sin，在任意一点处的切线斜率为*，在 处的切线方程为*在两坐标轴上的截距*三角形面积*当*时 Y0 或无定义，故 应满足*命*，得 tan2=-1，*，当*时，*；当*时，*，所以当*时 A 为极小，且此时为唯一驻点，故当*时 A 为最小*
18、)解析：18.已知摆线的参数方程为 （分数：9.00）_正确答案：(摆线一拱弧长*摆线一拱绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面面积为*按题意，*，所以*)解析：19.设 x-2证明： （分数：10.00）_正确答案：(命*，x-2，有 f(-2)=0，*所以 f(x)0(当 x-2)，又由 f(-2)=0，所以 f(x)0 当 x-2证毕)解析：20.一长为 l(米)、线密度为 (千克/米)的链条，两端各系一个质量为 m(千克)的物体 A 与 B开始时，仅 A 下垂，其余部分平置于桌面上，假设物体、链条与桌面的摩擦均略而不计问从开始算起经过多少时间，链条全部从桌面上滑下?（分数：11.00）_正
19、确答案：(设以开始下垂点作为坐标原点，向下为 x 轴正向设在 t(秒)时，物体 A 已下垂 x(米)，则此时使该系统向下的力为(x+m)g，整个运动系统的质量为 l+2m，于是由牛顿第二定律，有*即 *初始条件是 x(0)=0，x(t)=0解之，得通解*再由初始条件得特解 *命 x=l，解出*)解析：21.设方程组(*)有通解 k1 1+k2 2=k11，2，1，-1 T+k20，-1，-3，2 T方程组 (*)有通解 1 1+ 2 2= 12，-1，-6，1 T+ 2-1，2，4，a+8 T已知方程组（分数：10.00）_正确答案：()有非零解，即()、()有非零公共解，设为 ，则 是属于(
20、)的通解，也是属于()的通解，即=k 1 1+k2 2= 1 1+ 2 2，其中 k1，k 2， 1， 2均不全为零得 k 1 1+k2 2- 1 1- 2 2=0， (*)(*)有非零解*r( 1， 2，- 1- 2)4对 1， 2，- 1，- 2作初等行变换*r( 1， 2，- 1，- 2)4*a=-8故当 a=-8 时，方程组()有非零解当 a=-8 时，方程组(*)的系数矩阵经初等行变换为*方程组(*)有解k1，k 2， 1， 2=k1，1，l，1故方程组()，()的公共解为*其中 k 是任意常数)解析：设 （分数：12.00）(1).求 A 的特征值，特征向量；（分数：6.00）_正确答案：(方法一 求 A 的 和 *=1(三重特征值)，=-1(二重特征值)方法二 因*故 A 的特征值的取值范围为 =1 或 =-1，=1 时，由(E-A)X=0，即*得同解方程组为 *故特征向量为 1=1，0，0，0，1 T， 2=0，1，0，1，0 T， 3=0，0，1，0，0 T=-1 时，由(-E-A)X=0，即*得同解方程组为*得特征向量为 4=0，1，0，-1，0 T， 5=1，0，0，0，-1 T)解析：(2).求可逆阵 P，使得 P-1AP=A（分数：6.00）_正确答案：(取*则 *)解析：
