1、考研数学二-244 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.32.当 x0 时， （分数：4.00）A.k=2B.k=3C.k=4D.k=53.函数 z=(1+e y )cosx-ye y 极大值点的个数为_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.无穷多个4.设函数 f(x，y)连续，则 =_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是_ A B C D （分数：
2、4.00）A.B.C.D.6.已知 （分数：4.00）A.都收敛于同一值B.都收敛，但不一定收敛于同一值C.都发散D.无法判断敛散性7.已知 （分数：4.00）A.(1，-2，3)B.(2，1，3)C.(51，1+2，3)D.(1，2，2+3)8.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且 ABA -1 =BA -1 +3E，其中 E 为四阶单位矩阵，则矩阵 B 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）10.已知 ，则 （分数：4.00）11.设 ，则 （分数：4.00）12.设 =a(1+cos)，则 （分数：4.00）
3、13.函数 f(x)=x+2cosx 在 （分数：4.00）14.设 =(1，1，1) T ，=(1，0，2) T ，若矩阵 T 相似于 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_设直线 y=kx(k1)与曲线 （分数：10.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周所形成旋转体的体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：5.00）_(2).求此时的 D 1 和 D 2 面积之和（分数：5.00）_16.设 z=f(x+y，e y ，xy)，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：1
4、0.00）_17.一新型传染病在某一人群中的传播是通过其中的感染者进行的，设该人群的总人数为 N，在 t=0 时刻感染者人数为 x 0 在任意时刻 t 已感染者的人数为 x(t)(可视 x(t)为连续可微变量)其变化率与已感染者和未感染者人数之积成正比，比例常数 k0，求 x(t) （分数：10.00）_18.计算二重积分 （分数：10.00）_19.设 y“+2my“+n 2 y=0，y(0)=a，y“(0)=b，求 （分数：11.00）_20.设函数 f(x)与 g(x)都在区间0，1上连续，在区间(0，1)内可导，且 f(0)=g(0)，f(1)=g(1) 求证： （分数：11.00）_
5、已知下列非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).求解方程组()用其导出组的基础解系表示通解；（分数：5.50）_(2).当方程组()中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()与()同解?（分数：5.50）_设二次型 （分数：11.00）(1).若二次型通过正交变换的标准形为 （分数：5.50）_(2).求将二次型化为标准形 （分数：5.50）_考研数学二-244 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 因为当|x|1 时， ；当|x|1 时， ，不难得出 2.当 x0
6、时， （分数：4.00）A.k=2B.k=3C.k=4D.k=5 解析：解析 因 f(x)和 g(x)为同阶无穷小，则极限 存在且不为 0 使 存在且不等于 0，必须满足 k-5=0，即 k=5 此时，两者为同阶无穷小，且有 3.函数 z=(1+e y )cosx-ye y 极大值点的个数为_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.无穷多个 解析：解析 由极限存在的必要条件 得 从而有驻点(2n，0)，(2n+1)，-2)，n=0，1， 又 4.设函数 f(x，y)连续，则 =_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 积分区域 D 如图所示，其中 观察积分区域，得 5
7、.设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由已知得 du=f(x，y)ydx+f(x，y)xdy，所以 从而 由于偏导数均连续，所以 6.已知 （分数：4.00）A.都收敛于同一值 B.都收敛，但不一定收敛于同一值C.都发散D.无法判断敛散性解析：解析 根据常见不等式 ，容易验证数列x n ，y n 的单调性和有界性，从而得出结论 由已知易得 x n 0，y n 0，又因为 所以 即数列x n 单调递增，数列y n 单调递减，又 a=x 1 x 2 x
8、 n y n y 1 =b 所以数列x n 和数列y n 都有界，根据单调有界准则，知 都存在，故排除选项 C 和 D下面讨论两个数列是否收敛于同一值 设 ，由 ，得 7.已知 （分数：4.00）A.(1，-2，3)B.(2，1，3)C.(51，1+2，3)D.(1，2，2+3) 解析：解析 若 A=，则 A(k)=(k)，即若 是 A 属于特征值 的特征向量，则 k(k0)仍是矩阵 A 属于特征值 的特征向量 若 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，则 A(k 1 1 +k 2 2 )=(k 1 1 +k 2 2 )，即若 1 ， 2 是 A 属于特征值 的特征向量，则 k 1 1 +k 2
9、 2 (k 1 ，k 2 不同时为零)仍是 A 属于特征值 的特征向量 注意：若 A 1 = 1 1 ，A 2 = 2 2 ， 1 2 ，则 1 + 2 ， 1 - 2 等都不是矩阵 A 的特征向量 所以选项 A、B、C 均正确，而选项 D 中 2 + 3 不是矩阵 A 的特征向量8.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且 ABA -1 =BA -1 +3E，其中 E 为四阶单位矩阵，则矩阵 B 为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 思路一：因|A * |=|A| n-1 ，由|A * |=|A| n-1 =|A| 3 =8，得|A|=2 又(A-E)BA -1 =3E，
10、有(A-E)B=3A，从而 A -1 (A-E)B=3E，由此得 (E-A -1 )B=3E，即 ，亦即(2E-A * )B=6E 又(2E-A * )为可逆矩阵，于是 思路二：同思路一，得|A|=2 又由 AA * =|A|E，对 ABA -1 =BA -1 +3E 先右乘 A，再左乘 A * ，得 A * AB=A * B+3A * A，|A|B=A * B+3|A|E 即 (2E-A * )B=6E 于是 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）解析： 解析 由参数方程易知，当 t=1 时，对应点(0，0)，又 则 ，从而法线的斜率为 故法线方程为 10.已
11、知 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 令 t=x+1，则 11.设 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 I(a)是累次积分，可写为二重积分 其中 ，如图，它是半圆域： x 2 +(y-a) 2 a 2 (x0) 由二重积分中值定理， (，)D 使得 又 ln(1+a 2 )a 2 (a0)，当 a0 时， 2 + 2 0，于是 12.设 =a(1+cos)，则 （分数：4.00）解析： 解析 将 =a(1+cos)化为参数方程 ， 为参数 x“ =-asincos-a(1+cos)sin=-a(sin+sin2)， y“ =-asin 2 +a(1+cos)cos=a(cos+cos2)
12、 故 13.函数 f(x)=x+2cosx 在 （分数：4.00）解析： 解析 因 f“(x)=1-2sinx，令 f“(x)=0 可得 即在 内 f(x)有唯一驻点 ，且 又在端点 x=0 和 处 f(0)=2， 比较可得 故 f(x)在 上的最小值为 14.设 =(1，1，1) T ，=(1，0，2) T ，若矩阵 T 相似于 （分数：4.00）解析：3 解析 因 T 相似于 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 设直线 y=kx(k1)与曲线 （分数：10.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转
13、一周所形成旋转体的体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 由方程组 得直线与曲线交点为 ，如图 则 令 ，得 因为 V“(k)0，所以当 时，函数 V(k)取最小值，且最小值为 (2).求此时的 D 1 和 D 2 面积之和（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 因为 ，则 16.设 z=f(x+y，e y ，xy)，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 ，因此 17.一新型传染病在某一人群中的传播是通过其中的感染者进行的，设该人群的总人数为 N，在 t=0 时刻感染者人数为
14、x 0 在任意时刻 t 已感染者的人数为 x(t)(可视 x(t)为连续可微变量)其变化率与已感染者和未感染者人数之积成正比，比例常数 k0，求 x(t) （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 已感染者人数 x(t)的变化率为 ，由题意可建立初值问题 对微分方程分离变量得 积分可得 由初始条件确定 故所求函数为 18.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 因 如图，用直线 y=-x+2，y=-x 将 D 分成 D 1 ，D 2 与 D 3 于是 19.设 y“+2my“+n 2 y=0，y(0)=a，y“(0)=b，求 （分数：11.00）_正确答案：()解析
15、：解析 思路一：特征方程为 2 +2m+n 2 =0，得 ，则 y(x)=C 1 e 1x +C 2 e 2x (C 1 ，C 2 为任意常数)， 对题设方程两边积分，得 思路二：由特征方程，得 1,2 =0，原方程的通解为 y=C 1 e 1x +C 2 e 2x (C 1 ，C 2 为任意常数)，可得 ，又由初始条件，有 C 1 +C 2 =a， 1 C 1 + 2 C 2 =b， 故 20.设函数 f(x)与 g(x)都在区间0，1上连续，在区间(0，1)内可导，且 f(0)=g(0)，f(1)=g(1) 求证： （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 把 与 分离至等式两端可得
16、 f“()+f“()=g“()+g“() f“()-g“()=-f“()+g“() f(x)-g(x)“| x= =-f(x)-g(x)“| x= 对函数 F(x)=f(x)-g(x)应用拉格朗日中值定理，由于 F(x)在 上连续，在 内可导，故存在 使得 即 又由于 F(x)在 上连续，在 内可导，故存在 使得 即 将式与式相加，就有 使得 已知下列非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).求解方程组()用其导出组的基础解系表示通解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 对方程组()的增广矩阵 作初等行变换 由于 ，所以方程组()有无穷多解，得其导出组的基础解系为1，1，2，1
17、T ，非齐次方程组的一个特解是-2，-4，-5，0 T ，故方程组()的通解为 (2).当方程组()中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()与()同解?（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 若方程组()与()同解，则()的解应是()的解，将()的通解代入()的三个方程，可分别求得参数 m，n，t 将 x 代入()的第一个方程，得 (-2+k)+m(-4+k)-(-5+2k)-k=-5， 整理得(m-2)(k-4)=0，其中 k 是任意常数，故解得 m=2 将 x 代入()的第二个方程，得 n(-4+k)-(-5+2k)-2k=-11， 整理得(n-4)(k-4)=0，其中 k 是任意
18、常数，故解得 n=4 将 x 代入()的第三个方程，得 (-5+2k)-2k=-t+1， 解得 t=6故()()同解 设二次型 （分数：11.00）(1).若二次型通过正交变换的标准形为 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 由已知条件，知二次型矩阵为 ，其特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =5则 得 a=2，因 a0，故 a=2，此时 (2).求将二次型化为标准形 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 当 1 =1 时，解方程( 1 E-A)x=0，得 1 =(0，1，-1) T ， 对应 2 =2，解方程( 2 E-A)x=0，得 2 =(1，0，0) T 对应 3 =5，解方程( 3 E-A)x=0，得 3 =(0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 单位化，得 故正交变换矩阵为
