1、考研数学二-245 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 (a，b 为大于 0 的常数)，则必有_ A 存在且不为 0 B 存在且不为 0 C 存在且不为 0 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条3.设函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处有 f“ x (x 0 ，y 0 )=a，f“ y (x 0 ，y 0 )=b，则_ A极限 一定存在，但 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处不连续 Bf(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处必连续 Cdz
2、| (x0,y0) =adx+bdy D 及 （分数：4.00）A.B.C.D.4.若 f(1)=g(1)=0，f(2)=g(2)=m0，且 f“(x)0，g“(x)0，则 （分数：4.00）A.I1I2I3B.I3I2I1C.I2I3I1D.I2I1I35.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充要条件为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6. ，变换积分次序为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 （分数：4.00）A.1，2，3 线性相关B.1，2，3 线性无关C.r(1，2，3)=r(1，2)D.1，2 线性无关，1，2，3 线性相
3、关8.设 n 阶方阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组()： 1 ， 2 ， n ，()： 1 ， 2 ， n ，()： 1 ， 2 ， n ，如果向量组()线性无关，则_（分数：4.00）A.向量组()与()线性相关B.向量组()可能线性相关C.向量组()可能线性相关D.向量组()与()均线性无关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.若函数 u=sin(y+3z)，其中 z 是由方程 z 2 y-3z 3 =1 确定的 x，y 的函数，则 （分数：4.00）11.函数 y=y(x)由方
4、程 所确定，则 （分数：4.00）12.微分方程 y“-9y=e 3x 的通解为 1 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设 A= T ，其中 为三维列向量，且 T =2，则行列式|E-A n |= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)连续，证明 ，并计算积分 （分数：11.00）_17.设 ，求 （分数：10.00）_18.设区域 D 由曲线 y=-x 3 ，直线 x=1 与 y=1 围成，计算二重积分 （分数：10.00）_19.设正值函数 y=f(x)(x0)连续可微，且 f(0)=1，已知
5、曲线 y=f(x)与 x 轴、y 轴以及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧线长的值相同，求 f(x) （分数：10.00）_20.设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|a，|f“(x)|b，其中 a，b 都是非负常数，c是(0，1)内任意一点，证明： （分数：10.00）_设函数 f(x)在(-l，l)上连续，在点 x=0 处可导，且 f“(0)0（分数：11.00）(1).求证：任意给定的 0xl，存在 01，使得 （分数：5.50）_(2).求极限 （分数：5.50）_已知非齐次线性方程组 （分数：11.00）(
6、1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：5.50）_(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：5.50）_设矩阵 （分数：11.00）(1).a 的值；（分数：5.50）_(2).正交矩阵 Q，使 Q T AQ 为对角矩阵（分数：5.50）_考研数学二-245 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 (a，b 为大于 0 的常数)，则必有_ A 存在且不为 0 B 存在且不为 0 C 存在且不为 0 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 ，又极限 存在，故 则 2.曲线 （分数：4.00）A
7、.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析 因 ，故 是曲线的水平渐近线 因 ，故 x=0 是曲线的垂直渐近线 又 3.设函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处有 f“ x (x 0 ，y 0 )=a，f“ y (x 0 ，y 0 )=b，则_ A极限 一定存在，但 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处不连续 Bf(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处必连续 Cdz| (x0,y0) =adx+bdy D 及 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 f“ x (x 0 ，y 0 )存在知一元函数 f(x 0 ，y 0 )在 x=x 0 处连续，故 类似地，由
8、 f“ y (x 0 ，y 0 )存在知一元函数 f(x 0 ，y 0 )在 y=y 0 处连续，故 ，故选项 D 正确 或举反例用排除法取 ，计算可得 f“ x (0，0)=f“ y (0，0)=0，同时可证明 存在，f(x，y)在点(0，0)连续，f(x，y)在点(0，0)处不可微分，这样可排除选项 A、C 取 4.若 f(1)=g(1)=0，f(2)=g(2)=m0，且 f“(x)0，g“(x)0，则 （分数：4.00）A.I1I2I3B.I3I2I1C.I2I3I1 D.I2I1I3解析：解析 可应用定积分的比较定理，或从定积分的几何意义出发比较 I 1 ，I 2 ，I 3 的大小因为
9、 f“(x)0，g“(x)0，所以 f(x)是凹函数，g(x)是凸函数 又因为 f(1)=g(1)=0，f(2)=g(2)=m0，所以 y=f(x)，y=g(x)，y=mx-m 在1，2上的大致图形如图，故当 x1，2时，f(x)mx-mg(x)，则有 即 I 1 I 3 I 2 5.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充要条件为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 注意到 1-cosh0 且 ，设 u=1-cosh，则 故选项 A 只保证了 f“ + (0)存在，而不是 f“(0)存在的充分条件。 由于 1-e h -h(h0)，故 故左边极限存
10、在保证右边极限存在，反之亦然，因此选项 B 是 f“(0)存在的充要条件 又 h-sinhh 3 /6，得 则 存在不能保证 存在，故选项 C 不对 又 左边极限存在不能保证右边拆项后的极限存在，故选项 D 不正确，如： 6. ，变换积分次序为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由累次积分限确定积分区域 D 为 D：0xlny，1ye 如图，按先 y 后 x 的积分顺序， D：0x1，e x ye 于是 7.设 （分数：4.00）A.1，2，3 线性相关B.1，2，3 线性无关C.r(1，2，3)=r(1，2) D.1，2 线性无关，1，2，3 线性相关解析：解
11、析 三条直线交于一点的充要条件是方程组 有唯一解 8.设 n 阶方阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组()： 1 ， 2 ， n ，()： 1 ， 2 ， n ，()： 1 ， 2 ， n ，如果向量组()线性无关，则_（分数：4.00）A.向量组()与()线性相关B.向量组()可能线性相关C.向量组()可能线性相关D.向量组()与()均线性无关 解析：解析 因为向量组()线性无关，所以|AB|=|A|B|0，因此|A|、|B|都不为 0，即 A、B 的列向量组都线性无关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （
12、分数：4.00）解析： 解析 10.若函数 u=sin(y+3z)，其中 z 是由方程 z 2 y-3z 3 =1 确定的 x，y 的函数，则 （分数：4.00）解析：cos3 解析 因所求为函数 u 在点(1，0)处对 x 的偏导数，故可直接将 y=0 代入 u(x，y)中，则函数关系变为 u=sin3x，将 y=0 代入方程 z 2 y-xz 3 =1 中得 z=-x -1/3 ，于是有 11.函数 y=y(x)由方程 所确定，则 （分数：4.00）解析： 解析 设 ，由隐函数求导法则得 故 12.微分方程 y“-9y=e 3x 的通解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 由特征方程 r
13、 2 =9，得 r 1 =3，r 2 =-3， 故 y“-9y=0 的通解为 y 1 =C 1 e -3x +C 2 e 3x (C 1 ，C 2 为任意常数) 由于非齐次方程右端的非齐次项为 e 3x ，其指数上的 3 为特征方程的单根，故特解设为 y * =Axe 3x ，代入原方程，可得 ， 因此原方程通解为 13.设 （分数：4.00）解析： 解析 由 ，得 x=-3 当 x-3 时，y“0；当 x-3 时，y“0，故 x=-3 为函数拐点又 故拐点处的切线方程为 14.设 A= T ，其中 为三维列向量，且 T =2，则行列式|E-A n |= 1 （分数：4.00）解析：1-2 n
14、 解析 由 A=( T )=( T )=2 可知 A 的一个特征值为 2，又 r(A)=r( T )=1，所以 0 是 A 的二重特征值因此 A 的特征值为 2，0，0，于是 E-A n 的特征值为 1-2 n ，1，1，故|E-A n |=1-2 n 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 由 ，得 所以-1-a=0，从而有 a=-1 代入原极限，得 则 16.设函数 f(x)连续，证明 ，并计算积分 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 因为 从而有 利用上述公式 17.设 ，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析
15、：解析 18.设区域 D 由曲线 y=-x 3 ，直线 x=1 与 y=1 围成，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 如图，用 y=x 3 (x0)分割区域，于是区域 D 可分为 D 1 ，D 2 ，D 3 ，D 4 四个部分，D 1 与 D 2 关于 y 轴对称，D 3 与 D 4 关于 x 轴对称，注意， 其中被积函数 xycos(x 2 +y 2 )+1关于 x 是奇函数，故它在 D 1 +D 2 上的积分为零 又因 其中，第一个二重积分的被积函数 xcos(x 2 +y 2 )关于 y 是奇函数，故第一个二重积分也是零；第二个二重积分的被积函数 x 关于 y
16、是偶函数，故第二个二重积分可以化简，得 综合得 19.设正值函数 y=f(x)(x0)连续可微，且 f(0)=1，已知曲线 y=f(x)与 x 轴、y 轴以及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧线长的值相同，求 f(x) （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 由题设所围成的图形的面积为 ，而弧长为 根据题意有 两边对 x 求导得 ，又因为 f(0)=1，所以 解得 式取倒数得 式相加得 20.设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|a，|f“(x)|b，其中 a，b 都是非负常数，c是(0，1)内任意一点，证明
17、： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 由于问题中涉及 f(x)与其导数、二阶导数的关系，可考虑用泰勒公式证明之f(x)在 c 处的泰勒展开式为 其中 在 c 与 x 之间 取 x=0，1 得 两式相减得 由此 设函数 f(x)在(-l，l)上连续，在点 x=0 处可导，且 f“(0)0（分数：11.00）(1).求证：任意给定的 0xl，存在 01，使得 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 思路一：记 ，则 F(x)在(-l，l)内可导，且 F(0)=0，F“(x)=f(x)-f(-x)由拉格朗日中值定理得，对 x(0，l)， (01)使 F(x)=F(x)-F(0)=
18、F“(x)x=xf(x)-f(-x) 思路二：利用积分中值定理证明 (2).求极限 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 利用已知条件 f“(0)存在且不等于 0，给出 的表达式，将上式改写为 又 所以 已知非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 设 1 ， 2 ， 3 是方程组 AX= 的 3 个线性无关的解，其中 有 A( 1 - 2 )=0，A( 1 - 3 )=0，则 1 - 2 ， 1 - 3 是对应齐次线性方程组 AX=0 的解，且线性无关所以 n-r(A)2，即 4-r(A)2
19、 r(A)2又矩阵 A 中有一个二阶子式 (2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 因为 由 r(A)=2，得 当 a=2，b=-3 时，对原方程组的增广矩阵 作初等行变换，即 先求对应齐次方程组的基础解系： 取 x 3 =1，x 4 =0，得 1 =(-2，1，1，0) T ； 取 x 3 =0，x 4 =1，得 2 =(4，-5，0，1) T 再求特解： 取 x 3 =0，x 4 =0，得特解(2，-3，0，0) T 则通解为 设矩阵 （分数：11.00）(1).a 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 由题设知 AX= 有无穷多组解
20、，则 |A|=-(a-1) 2 (a+2)=0 得 a=1 或=-2 当 a=1 时， ，此时 AX= 无解 当 a=-2 时，有 (2).正交矩阵 Q，使 Q T AQ 为对角矩阵（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 注意到|A-E|为“行和”与“列和”都相等的行列式，易求得 |A-E|=-(-3)(+3) 因而其特征值为 1 =3， 2 =-3， 3 =0易求得属于 1 ， 2 ， 3 的特征向量分别为 1 =(-1，0，1) T ， 2 =(1，-2，1) T ， 3 =(1，1，1) T 因 A 的特征值互异，故 A 与对角矩阵相似，又由于 A 为实对称矩阵，不同特征值的特征向量正交，为求得正交矩阵 Q，只需将 1 ， 2 ， 3 单位化，因此 ，故 所求正交矩阵为 Q= 1 ， 2 ， 3 ，且有
