【考研类试卷】考研数学二-252及答案解析.doc

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1、考研数学二-252 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:55,分数:100.00)1.设 (分数:1.00)AmB.-8mC.2mD.-2m2.设 (分数:1.00)A.1B.2C.3D.43.设 1 , 2 , 3 , 1 , 2 均为四维列向量,A= 1 , 2 , 3 , 1 ,B= 3 , 1 , 2 , 2 ,且|A|=1,|B|=2则|A+B|=(分数:1.00)A.9B.6C.3D.14.设 A= 1 , 2 , 3 是三阶矩阵,则|A|=(分数:1.00)A.|1-22-33-1|B.|1+22+33+1|C.|1+2231+2|D.|12

2、+31+2|5.已知 1 , 2 , 1 , 2 , 都是 3 维列向量,且行列式 | 1 1 |=| 1 2 |=| 2 1 |=| 2 2 |=3,那么|-2 1 + 2 1 + 2 |=(分数:1.00)A.-18B.-36C.64D.-966.设 n 阶矩阵 A= 1 , 2 , n ,B= 1 , 2 , n-1 ,若行列式|A|=1,则|A-B|=(分数:1.00)A.0B.2C.1+(-1)n+1D.1+(-1)n7.已知 ,矩阵 B 满足 A*B+2A -1 =B,其中 A*是 A 的伴随矩阵,则|B|= A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.8.设 A 为三阶方阵

3、,A*为 A 的伴随矩阵, ,则|4A-(3A*) -1 = A (分数:1.00)A.B.C.D.9.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a,则 D=(分数:1.00)A.0B.a2C.-a2D.na210.设 A 是 n 阶矩阵,A*是 A 的伴随矩阵,已知 A 的每行元素之和为 k,A*的每行元素之和为 m 则|A|= Akm B(-1) n km C D (分数:1.00)A.B.C.D.11.设 A 是 n 阶矩阵,|A|=a,A 的每列元素之和为 k,则 A 的第一行元素的代数余子式之和 A 11 +A 12 +A 1n = Aka B C-ka D (分数:2

4、.00)A.B.C.D.12.设 A 是三阶矩阵,其中 a 11 0,A ij =a ij ,i=1,2,3,j=1,2,3,则|2A T |=(分数:2.00)A.0B.2C.4D.813.设 A 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,且 nm,则必有(分数:2.00)A.|AB|=0B.|BA|=0C.|AB|=|BA|D.|AB|AB|=|AB|AB|14.设 A,B 是 n 阶矩阵,则下列结论正确的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.15.设 ,则 A -1 = A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.16.设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,正确的法则是(分数

5、:2.00)A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(A+B)2=A2+2AB+B2D.(AB)*=B*A*17.设 A 是 n 阶可逆阵,则下列等式不成立的是(分数:2.00)A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D.(A+E)2=A2+2AE+E218.设 A、B 均 n 阶可逆矩阵,且(A+B) 2 =E,则(E+BA -1 ) -1 =(分数:2.00)A.(A+B)BB.E+AB-1C.A(A+B)D.(A+B)A19.设 A、B 都是 n 阶方

6、阵,且(AB) 2 =E,则必有(分数:2.00)A.A-1=BB.AB=-EC.AB=ED.A-1=BAB20.下列命题中, (1)如果矩阵 AB=E,则 A 可逆且 A -1 =B, (2)如果 n 阶矩阵 A,B 满足(AB) 2 =E,则(BA) 2 =E; (3)如果矩阵 A,B 均 n 阶不可逆,则 A+B 必不可逆; (4)如果矩阵 A,B 均 n 阶不可逆,则 AB 必不可逆 正确的是(分数:2.00)A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)21.设 A,B 均 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则 (1)若 A 可逆,则 B 可逆, (2)若 B 可逆,则

7、 A+B 可逆, (3)若 B 可逆,则 A 可逆, (4)A-E 恒可逆 上述命题中,正确的命题共有(分数:2.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个22.关于命题“方阵 A 满足 A 2 =A,且 AE,则 A 不可逆”有如下四种证明,正确的是(分数:2.00)A.由于 A2=A,所以|A|=|A|,故|A|(|A|-1)=0因为 AE,故|A|1因此|A|=0,A 不可逆B.由于 A2=A,故 A(A-E)=0由于 AE,从而 A-E0,故 A=0,所以 A 不可逆C.反证法:若 A 可逆,在 A2=A 两边左乘 A-1,得 A=E,与假设条件 AE 矛盾,所以 A 不可逆D.由

8、于 A2=A,故 A(A-E)=0从而|A|A-E|=0,而 AE,所以|A-E|0,因此|A|=0,A 不可逆23.设 A,B 为 n 阶对称矩阵,则下列结论不正确的是(分数:2.00)A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A*+B*是对称矩阵D.A-2B 是对称矩阵24.设 A,B 均为三阶反对称矩阵,且 AB=BA,则下列结论不正确的是(分数:2.00)A.A+B 是反对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A*+B*是反对称矩阵D.2A+3B 是反对称矩阵25.设 A=E-2 T ,其中 =x 1 ,x 2 ,x n T ,且有 T =1则结论 1 A 是对称阵;2A 2 是单位阵;3

9、A 是正交阵;4A 是可逆阵中正确的个数是(分数:2.00)A.1B.2C.3D.426.设 A 为正交矩阵,则下列不一定为正交矩阵的是(分数:2.00)A.ATB.A2C.A*D.kA(k0)27.设 (分数:2.00)A.P1P3AB.P2P3AC.AP3P2D.AP1P328.已知 A,B 均是三阶矩阵,将 A 中第 3 行的-2 倍加至第 2 行得到矩阵 A 1 ,将 B 中第 2 列加至第 1 列得到矩阵 B 1 ,又知 ,则 AB= A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.29.设 ,那么(P -1 ) 2016 A(Q 2015 ) -1 = A B C D (分数:2

10、.00)A.B.C.D.30.设 A 与 B 均为 n 阶矩阵,且 A 与 B 等价,则不正确的命题是 A|A|0,则|B|0 B如果|A|0,则有可逆矩阵 P 使 PB=E C如果 (分数:2.00)A.B.C.D.31.设 (分数:2.00)A.a=1 时,B 的秩必为 2B.a=1 时,B 的秩必为 1C.a1 时,B 的秩必为 1D.a1 时,B 的秩必为 232.若 A,A*和 B 均是 n 阶非零矩阵,且 AB=0,则必有 r(B)=(分数:2.00)A.1B.2C.n-1D.条件不够不能确定33.已知 (分数:2.00)A.3B.2C.1D.1 或 334.设 A 为四阶方阵,且

11、满足 A 2 =A,则秩 r(A)+秩 r(A-E)=(分数:2.00)A.4B.3C.2D.135.现有四个向量组 (1,2,3) T ,(3,-1,5) T ,(0,4,-2) T ,(1,3,0) T (a,1,b,0,0) T ,(c,0,d,2,0) T ,(e,0,f,0,3) T (a,1,2,3) T ,(b,1,2,3) T ,(c,3,4,5) T ,(d,0,0,0) T (1,0,3,1) T ,(-1,3,0,-2) T ,(2,1,7,2) T ,(4,2,14,5) T 则下列结论正确的是(分数:2.00)A.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为B.线性相关的向

12、量组为;线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为;线性无关的向量为D.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为36.设 1 =(1,4,3,-1) T , 2 =(2,t,-1,-1) T , 3 =(-2,3,1,t+1) T ,则 A对任意的 t, 1 , 2 , 3 必线性无关 B仅当 t=-3 时, 1 , 2 , 3 线性无关 C若 t=0,则 1 , 2 , 3 线性相关 Dt0 且 (分数:2.00)A.B.C.D.37.设 1 =(1,2,3,1) T , 2 =(3,4,7,-1) T , 3 (2,6,a,6) T , 4 =(0,1,3,a) T ,那么 a=8 是 1 ,

13、 2 , 3 , 4 线性相关的(分数:2.00)A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件38.设向量组(): 1 =(a 11 ,a 12 ,a 13 ), 2 =(a 21 ,a 22 ,a 23 ), 3 =(a 31 ,a 32 ,a 33 );向量组(): 1 =(a 11 ,a 12 ,a 13 ,a 14 ), 2 =(a 21 ,a 22 ,a 23 ,a 24 ), 3 =(a 31 ,a 32 ,a 33 ,a 34 ),则正确的命题是 A()相关 ()相关 B()无关 ()无关 C()无关 ()无关 D()相关 (分数:2.00)A

14、.B.C.D.39.设向量组(): 1 , 2 , s ;向量组(): 1 , 2 , s+1 , s+t ,则正确命 A()无关 ()无关 B()无关 ()相关 C()相关 ()相关 D()无关 (分数:2.00)A.B.C.D.40.已知 m 个 n 维向量 1 , 2 , m 线性无关,其中 i =a i1 ,a i2 ,a in T i=1,2,m,则下列各向量中有可能线性相关的向量组是(分数:2.00)A.i=ai1,ai2+ai1,ai3,ainT,i=1,2,mB.i=-ai1,ai2,ainT,i=1,2,mC.i=0,ai2,ainT,i=1,2,mD.i=ai1,ai2,a

15、in,ain+1T,i=1,2,m41.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是(分数:2.00)A.1-2,2-3,3-1B.1-2,2+3,3+1C.1+2,31-52,51+92D.1+2,21+32+43,1-2-2242.设 A= 1 , 2 , n ,B= 1 , 2 , n ,AB= 1 , 2 , n 都是行阶矩阵,记向量组 () 1 , 2 , n () 1 , 2 , n () 1 , 2 , n 若向量组()线性相关,则(分数:2.00)A.()、()均线性相关B.()或()中至少有一个线性相关C.()一定线性相关D.()一定线性相关43.设 A

16、 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,且满足 AB=E,则(分数:2.00)A.A 的列向量组线性无关,B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关,B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关D.A 的行向量组线性无关,B 的行向量组线性无关44.设 1 , 2 , 3 , 4 是三维非零向量,则正确命题是(分数:2.00)A.如果 1,2 线性相关,3,4 线性相关,则 1+3,2+4 线性相关B.如果 1,2,3 线性无关,则 1+4,2+4,3+4 线性无关C.如果 4 不能用 1,2,3 线性表出,则 1,2,3 一定线性相关D.如果 1,2,3,4

17、中任意三个向量均线性无关,则 1,2,3,4 线性无关45.设向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,向量 1 可由 1 , 2 , 3 线性表示,向量 2 不能用 1 , 2 , 3 线性表示,则必有(分数:2.00)A.1,2,1 线性无关B.1,2,2 线性无关C.2,3,1,2 线性相关D.1,2,3,1+2 线性相关46.设 1 , 2 , 3 , 均为三维向量,现有四个命题 若 不能由 1 , 2 , 3 线性表示,则 1 , 2 , 3 线性相关 若 1 , 2 , 3 线性相关,则 不能由 1 , 2 , 3 线性表示 若 能由 1 , 2 , 3 线性表示,则 1 ,

18、2 , 3 线性无关 若 1 , 2 , 3 线性无关,则 能由 1 , 2 , 3 线性表示 以上的命题正确的是(分数:2.00)A.B.C.D.47.设向量 可由向量组 1 , 2 , m 线性表出,但不能由向量组(): 1 , 2 , m-1 线性表出,记向量组(): 1 , 2 , m-1 ,则(分数:2.00)A.m 不能由()线性表示,也不能由()线性表示B.m 不能由()线性表示,但可以由()线性表示C.m 可以由()线性表示,也可以由()线性表示D.m 可以由()线性表示,但不能由()线性表示48.设矩阵 A= 1 , 2 , 3 , 4 经过初等行变换变为矩阵 B= 1 ,

19、2 , 3 , 4 ,且 1 , 2 , 3 线性无关, 1 , 2 , 3 , 4 线性相关则(分数:2.00)A.4 不能由 1,2,3 线性表示B.4 可由 1,2,3 线性表示,但表法不唯一C.4 可由 1,2,3 线性表示,且表法唯一D.4 能否由 1,2,3 线性表示不能确定49.设 A,B 为 n 阶方阵,P,Q 为 n 阶可逆矩阵,下列命题不正确的是(分数:2.00)A.若 B=AQ,则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA,则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 B=PAQ,则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价D.若 A 的行(列)向量

20、组与矩阵 B 的行(列)向量组等价,则矩阵 A 与 B 等价50.如果向量组 1 , 2 , s 的秩为 r,则下列命题中正确的是(分数:2.00)A.向量组中任意 r-1 个向量都线性无关B.向量组中任意 r 个向量都线性无关C.向量组中任意 r-1 个向量都线性相关D.向量组中任意 r+1 个向量都线性相关51.向量组 1 =(1,3,5,-1) T , 2 =(2,-1,-3,4) T , 3 =(6,4,4,6) T , 4 =(7,7,9,1) T , 5 =(3,2,2,3) T 的极大线性无关组是(分数:2.00)A.1,2,5B.1,3,5C.2,3,4D.3,4,552.已知

21、两个 n 维向量组 () 1 , 2 , s 与() 1 , 2 , s , s+1 , s+t 若向量组的秩r()=p,r()=q,则下列条件中不能判定()是()的极大线性无关组的是(分数:2.00)A.p=q,()可由()线性表出B.s=q,()与()是等价向量组C.p=q,()线性无关D.p=q=s53.已知四维向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,且向量 1 = 1 + 3 + 4 , 2 = 2 - 4 , 3 = 3 + 4 , 4 = 2 + 3 , 5 =2 1 + 2 + 3 则 r( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )=(分数:2.00)A.1B.2C.3D.4

22、54.设向量组() 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则与向量组()等价的向量组是(分数:2.00)A.1+2,2+3,3+4,4+1B.1+2,2+3,3+4C.1+2,2-3,3+4,4-1D.1,1+2,2+3,3+4,4-155.某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为 (分数:2.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个考研数学二-252 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:55,分数:100.00)1.设 (分数:1.00)AmB.-8mC.2mD.-2m 解析:解析 法一 法二 2.设 (分数:1.00)A.1 B.2C.3D.4解

23、析:解析 将 f(x)的第 1 行的-1 倍加到第 2,3,4 行,然后按第 1 行展开,得 若 ,则 f(x)是常数,若 3.设 1 , 2 , 3 , 1 , 2 均为四维列向量,A= 1 , 2 , 3 , 1 ,B= 3 , 1 , 2 , 2 ,且|A|=1,|B|=2则|A+B|=(分数:1.00)A.9B.6 C.3D.1解析:解析 由于矩阵加法 A+B= 1 + 3 , 2 + 1 , 3 + 2 , 1 + 2 ,根据行列式的性质有|A+B|=| 1 + 3 , 2 + 1 , 3 + 2 , 1 + 2 | =|2( 1 + 2 + 3 ), 2 +1, 3 + 2 , 1

24、 + 2 | =2| 1 + 2 + 3 , 2 + 1 , 3 + 2 , 1 + 2 | =2| 1 + 2 + 3 ,- 3 ,- 1 , 1 + 2 |=2| 2 , 3 ,- 1 , 1 + 2 | =2| 1 , 2 , 3 , 1 + 2 |=2(| 1 , 2 , 3 , 1 +| 1 , 2 , 3 , 2 |) =2(|A|+|B|)=6 或 4.设 A= 1 , 2 , 3 是三阶矩阵,则|A|=(分数:1.00)A.|1-22-33-1|B.|1+22+33+1|C.|1+2231+2| D.|12+31+2|解析:解析 本题考查行列式的性质,分别对每个行列式作适当的列

25、变换,向| 1 , 2 , 3 |靠拢 A| 1 - 2 2 - 3 3 - 1 |=|0 2 - 3 3 - 1 |=0; B| 1 + 2 2 + 3 3 + 1 |=|2( 1 + 2 + 3 ) 2 + 3 3 + 1 | =2| 1 + 2 + 3 2 + 3 3 + 1 |=2| 1 2 + 3 3+ 1 | =2| 1 2 + 3 3 |=2|A|; C| 1 +2 2 3 1 + 2 |=| 2 3 1 + 2 |=| 2 3 1 |=|A|; D| 1 2 + 3 1 + 2 |=| 1 2 + 3 2 |=| 1 3 2 |=-|A| 请说出每个等号成立的理由,作的什么变换

26、,用的什么性质?5.已知 1 , 2 , 1 , 2 , 都是 3 维列向量,且行列式 | 1 1 |=| 1 2 |=| 2 1 |=| 2 2 |=3,那么|-2 1 + 2 1 + 2 |=(分数:1.00)A.-18B.-36 C.64D.-96解析:解析 本题考查行列式的性质,利用性质,| 1 , 2 , 1 + 2 |+| 1 , 2 + 1 |+| 1 , 2 , 2 |可以有 |-2, 1 + 2 , 1 +2 2 |=|-2, 1 + 2 , 1 |+|-2, 1 + 2 ,2 2 | =|-2, 1 , 1 |+|-2, 2 , 1 |+|-2, 1 ,2 2 +|+|-2

27、, 2 ,2 2 | =-2| 1 , 1 ,|-4| 1 , 2 ,|-2| 2 , 1 ,y|-4| 2 , 2 ,|=-123=-36, 所以应选 B6.设 n 阶矩阵 A= 1 , 2 , n ,B= 1 , 2 , n-1 ,若行列式|A|=1,则|A-B|=(分数:1.00)A.0 B.2C.1+(-1)n+1D.1+(-1)n解析:解析 由 A-B= 1 - n , 2 - 1 , n - n-1 将|A-B|的各列加到第一列得|A-B|=|0, 2 - 1 , n - n-1 |=0,应选 A或|A-B|=| 1 - n , 2 - 1 , n - n-1 | 7.已知 ,矩阵

28、 B 满足 A*B+2A -1 =B,其中 A*是 A 的伴随矩阵,则|B|= A B C D (分数:1.00)A. B.C.D.解析:解析 对于矩阵方程首先要恒等变形,对 A * B+2A -1 =B 左乘 A 并利用 AA*=A*A=|A|E,得 |A|B+2E=AB 即(A-|A|E)B=2E 因为|A|=-2,于是(A+2E)B=2E 两边取行列式,得|A+2E|B|=8 又 所以 8.设 A 为三阶方阵,A*为 A 的伴随矩阵, ,则|4A-(3A*) -1 = A (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为 9.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a

29、,则 D=(分数:1.00)A.0 B.a2C.-a2D.na2解析:解析 按这一列(第 J 列)展开,D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 2nj A 2nj =aA 1j +aA 2j +aA 2nj 并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a,n 个为-a,从而行列式的值为零或 2n 阶行列式 D 中某列元素及其代数余子式均等于 a,不失一般性,设为第一列且将 D 按第一列展开得 D=a 11 A 11 +a 21 A 21 +a 2n 1A2n1 =a 11 M 11 +a 21 (-M 21 )+a 2n (-1) 2n+1 +M 2n+1 =a 2 -a 2 +

30、a 2 -a 2 =010.设 A 是 n 阶矩阵,A*是 A 的伴随矩阵,已知 A 的每行元素之和为 k,A*的每行元素之和为 m 则|A|= Akm B(-1) n km C D (分数:1.00)A. B.C.D.解析:解析 法一:A 的每行元素和为 k,故 两边左乘 A* A*的每行元素和 m,故 故|A|=km 法二:将 A 的其余各列加到第 1 列,且利用 A 的每行元素之和为 k,得 11.设 A 是 n 阶矩阵,|A|=a,A 的每列元素之和为 k,则 A 的第一行元素的代数余子式之和 A 11 +A 12 +A 1n = Aka B C-ka D (分数:2.00)A.B.

31、C.D.解析:解析 将|A|的第 2,3,n 行元素加第 1 行,得 显然|A|,|B|第 1 行元素的代数余子式是相同的即 12.设 A 是三阶矩阵,其中 a 11 0,A ij =a ij ,i=1,2,3,j=1,2,3,则|2A T |=(分数:2.00)A.0B.2C.4D.8 解析:解析 故 A*=A T AA*=AAT=|A|E,两边取行列式,得 |AA T |=|A| 2 =|A|E|=|A| 3 得|A| 2 (|A|-1)=0 13.设 A 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,且 nm,则必有(分数:2.00)A.|AB|=0B.|BA|=0 C.|AB|=|BA|D.|A

32、B|AB|=|AB|AB|解析:解析 由于 BA 是 n 阶方阵,秩 r(BA)秩 r(B)mn,故|BA|=0。从而 B 正确AB 是 m 阶方阵,其秩可能为 m,也可能小于 m,故不能得出|AB|=0,从而 A 不对若 A=1,0 14.设 A,B 是 n 阶矩阵,则下列结论正确的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 |AB|=|A|B|=0,行列式是数,故有|A|=0 或|B|=0,反之亦成立,故应选 C 取 ,AB=O,但 AO,BO,A 不成立 取 ,但 ,B 不成立 取 ,但 15.设 ,则 A -1 = A B C D (分数:2.00)A.B. C

33、.D.解析:解析 本题考查分块矩阵求逆及二阶矩阵求逆,注意 再根据 ,用二阶矩阵的伴随矩阵是主对角线对调副对角线变号,很容易看出 故 16.设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,正确的法则是(分数:2.00)A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(A+B)2=A2+2AB+B2D.(AB)*=B*A* 解析:解析 矩阵的乘法没有交换律,A,B 可逆不能保证 AB=BA,例如 ,有 而 可知 A、C 均不正确 A,B 可逆时,A+B 不一定可逆,即使 A+B 可逆,其逆一般-g 不等于 A -1 +B -1 例如 有 而 17.设 A 是 n 阶可逆阵,则下列等式

34、不成立的是(分数:2.00)A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2 C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D.(A+E)2=A2+2AE+E2解析:解析 AA T A T A,(如取 , 则 18.设 A、B 均 n 阶可逆矩阵,且(A+B) 2 =E,则(E+BA -1 ) -1 =(分数:2.00)A.(A+B)BB.E+AB-1C.A(A+B) D.(A+B)A解析:解析 法一 因为(A+B) 2 =E,即(A+B)(A+B)=E,按可逆定义知(A+B) -1 =(A+B) (E+BA -1 ) -1 =(AA -1 +

35、BA -1 ) -1 =(A+B)A -1 -1 =(A -1 ) -1 (A+B) -1 =A(A+B) 法二 逐个验算:对于 C 因(E+BA -1 )A(A+B)=(A+B) 2 =E,故(E+BA -1 ) -1 =A(A+B)应选 C19.设 A、B 都是 n 阶方阵,且(AB) 2 =E,则必有(分数:2.00)A.A-1=BB.AB=-EC.AB=ED.A-1=BAB 解析:解析 由(AB) 2 =ABAB=A(BAB)=E,又 A 和 BAB 都是 n 阶矩阵故 A -1 =BAB,即 D 正确 若 ,易见(AB) 2 =E但 ABE,AB-E 知 B,C 均不正确 若 20.

36、下列命题中, (1)如果矩阵 AB=E,则 A 可逆且 A -1 =B, (2)如果 n 阶矩阵 A,B 满足(AB) 2 =E,则(BA) 2 =E; (3)如果矩阵 A,B 均 n 阶不可逆,则 A+B 必不可逆; (4)如果矩阵 A,B 均 n 阶不可逆,则 AB 必不可逆 正确的是(分数:2.00)A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4) 解析:解析 (1)如果 A,B 均 n 阶矩阵,命题当然正确,而现在的问题是题中没有 n 阶矩阵这一条件,故(1)不正确例如 显然 A 不可逆类似地,对于 AB=E,虽然|AB|=1,但能否用行列式乘法公式呢?应检查 AB 是

37、否为 n 阶矩阵,有的考生不注意公式成立时的条件,随意用公式是不妥的 (2)A,B 是 n 阶矩阵,(AB) 2 =E,即(AB)(AB)=A(BAB)=(BAB)A=(BA)(BA)=(BA) 2 即(BA) 2 =E即(2)正确 (3)设 , 虽然 A,B 都不可逆,但 21.设 A,B 均 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则 (1)若 A 可逆,则 B 可逆, (2)若 B 可逆,则 A+B 可逆, (3)若 B 可逆,则 A 可逆, (4)A-E 恒可逆 上述命题中,正确的命题共有(分数:2.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析:解析 由 AB=A+B 有(A-E)B=A

38、若 A 可逆,则 |A-E|B|=|A|0 知|B|0即矩阵 B 可逆,从而命题(1)正确 类似于(1)因 AB=A+B,A(B-E)=B由 B 可逆 22.关于命题“方阵 A 满足 A 2 =A,且 AE,则 A 不可逆”有如下四种证明,正确的是(分数:2.00)A.由于 A2=A,所以|A|=|A|,故|A|(|A|-1)=0因为 AE,故|A|1因此|A|=0,A 不可逆B.由于 A2=A,故 A(A-E)=0由于 AE,从而 A-E0,故 A=0,所以 A 不可逆C.反证法:若 A 可逆,在 A2=A 两边左乘 A-1,得 A=E,与假设条件 AE 矛盾,所以 A 不可逆 D.由于 A

39、2=A,故 A(A-E)=0从而|A|A-E|=0,而 AE,所以|A-E|0,因此|A|=0,A 不可逆解析:解析 A 的证明中不正确的是由 AE 推出|A|1矩阵不相等行列式可以相等,例如 ,AE,但|A|=|E|=1 B 的证明中不正确的是由 A(A-E)=0 及 A-E0 推出 A=0应注意两个非零矩阵的乘积可以为零矩阵例如 D 的证明中不正确的是由 AE 推出|A-E|0,这是由于非零矩阵的行列式可以为零例如 ,AE,但 23.设 A,B 为 n 阶对称矩阵,则下列结论不正确的是(分数:2.00)A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵 C.A*+B*是对称矩阵D.A-2B 是对称

40、矩阵解析:解析 由于 (A+B) T =A T +B T =A+B, 又 (kA) T =kA T -kA, 有 (A-2B) T =A T -(2B) T =A-2B 从而 A,D 选项的结论是正确的 我们首先来证明(A*) T =(AT) * 只需证明等式两边(i,j)位置元素相等(A*) T 在(i,j)位置的元素等于 A*在(j,i)位置的元素,为元素 a ij 的代数余子式 A ij 而矩阵(A T )*在(i,j)位置的元素等于A T 的(j,i)位置元素的代数余子式,为 A 在(i,j)位置元素的代数余子式 A ij 从而(A*) T =(A T )*=A*,故 A*为对称矩阵,

41、C 选项的结论是正确的 由于(AB) T =B T A T =BA,从而 B 选项的结论不正确 注意,当 A,B 均为对称矩阵时,AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA24.设 A,B 均为三阶反对称矩阵,且 AB=BA,则下列结论不正确的是(分数:2.00)A.A+B 是反对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A*+B*是反对称矩阵 D.2A+3B 是反对称矩阵解析:解析 由于 (A+B) T =A T +B T =-(A+B) 又 (kA) T =kAT=k(-A)=-kA 有 (2A+3B) T =(2A) T +(3B) T =-(2A+3B) (AB) T =BTA T =(-B)(-A

42、)=BA=AB,从而 A,B,D 的结论都正确 由于(A*) T =(A T )*=(-A)*=(-1) n-1 J1A*,从而竹为奇数时,A+为对称矩阵,T/为偶数时,A*为反对称矩阵故 C 选项的结论不正确25.设 A=E-2 T ,其中 =x 1 ,x 2 ,x n T ,且有 T =1则结论 1 A 是对称阵;2A 2 是单位阵;3A 是正交阵;4A 是可逆阵中正确的个数是(分数:2.00)A.1B.2C.3D.4 解析:解析 A T =(E-2 T ) T =E T -(2T) T =E-2 T =A,1成立 A 2 =(E-2 T )(E-2 T )=E-4 T +4 T T =E

43、-4 T +4( T )=E,2成立 由 1,2,得 A 2 =AA T =E,故 A 是正交阵,3成立 由 3知正交阵是可逆阵,且 A -1 =A T ,4成立 故应选 D26.设 A 为正交矩阵,则下列不一定为正交矩阵的是(分数:2.00)A.ATB.A2C.A*D.kA(k0) 解析:解析 由于 A 为正交矩阵 27.设 (分数:2.00)A.P1P3AB.P2P3A C.AP3P2D.AP1P3解析:解析 矩阵 A 左乘两个初等阵即作两次行变换可得到矩阵 B,而 A 右乘初等阵即 AP 3 P 2 ,AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换,故应排除 把矩阵 A 第 1 行的 2

44、倍加至第三行后,再 1、2 两行互换可得到 B即 P 3 P 1 A=B选项中没有 而把矩阵 A 的 1、2 两行互换后,再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 B,即 P 2 P 3 A=B正是选项B,所以应选 B28.已知 A,B 均是三阶矩阵,将 A 中第 3 行的-2 倍加至第 2 行得到矩阵 A 1 ,将 B 中第 2 列加至第 1 列得到矩阵 B 1 ,又知 ,则 AB= A B C D (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 A 经行初等变换得到 A 1 ,故 A 1 =PA,P 是初等矩阵,类似地 B 1 =BQ,可构造出 B 1 =PABQ 据已知条件,令 则 A 1 =PA,B 1 =BQ那么 于是 29.设 ,那么(P -1 ) 2016 A(Q 2015 ) -1 = A B C D (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 P、Q 均初等矩阵,因为 P -1 =P,且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的 1、3 两行,那么 P 2016 A 表示把 A 的 1、3 两行互换 2016 次,从而(P -1 ) 2016 A=P 2016 A=A 又(Q 2015 ) -1 =(Q -1

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