1、考研数学二-252 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：55，分数：100.00)1.设 （分数：1.00）AmB.-8mC.2mD.-2m2.设 （分数：1.00）A.1B.2C.3D.43.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 ，B= 3 ， 1 ， 2 ， 2 ，且|A|=1，|B|=2则|A+B|=（分数：1.00）A.9B.6C.3D.14.设 A= 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵，则|A|=（分数：1.00）A.|1-22-33-1|B.|1+22+33+1|C.|1+2231+2|D.|12
2、+31+2|5.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 都是 3 维列向量，且行列式 | 1 1 |=| 1 2 |=| 2 1 |=| 2 2 |=3，那么|-2 1 + 2 1 + 2 |=（分数：1.00）A.-18B.-36C.64D.-966.设 n 阶矩阵 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n-1 ，若行列式|A|=1，则|A-B|=（分数：1.00）A.0B.2C.1+(-1)n+1D.1+(-1)n7.已知 ，矩阵 B 满足 A*B+2A -1 =B，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则|B|= A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.8.设 A 为三阶方阵
3、，A*为 A 的伴随矩阵， ，则|4A-(3A*) -1 = A （分数：1.00）A.B.C.D.9.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=（分数：1.00）A.0B.a2C.-a2D.na210.设 A 是 n 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，已知 A 的每行元素之和为 k，A*的每行元素之和为 m 则|A|= Akm B(-1) n km C D （分数：1.00）A.B.C.D.11.设 A 是 n 阶矩阵，|A|=a，A 的每列元素之和为 k，则 A 的第一行元素的代数余子式之和 A 11 +A 12 +A 1n = Aka B C-ka D （分数：2
4、.00）A.B.C.D.12.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij ，i=1，2，3，j=1，2，3，则|2A T |=（分数：2.00）A.0B.2C.4D.813.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且 nm，则必有（分数：2.00）A.|AB|=0B.|BA|=0C.|AB|=|BA|D.|AB|AB|=|AB|AB|14.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 ，则 A -1 = A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，正确的法则是（分数
5、：2.00）A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(A+B)2=A2+2AB+B2D.(AB)*=B*A*17.设 A 是 n 阶可逆阵，则下列等式不成立的是（分数：2.00）A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D.(A+E)2=A2+2AE+E218.设 A、B 均 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA -1 ) -1 =（分数：2.00）A.(A+B)BB.E+AB-1C.A(A+B)D.(A+B)A19.设 A、B 都是 n 阶方
6、阵，且(AB) 2 =E，则必有（分数：2.00）A.A-1=BB.AB=-EC.AB=ED.A-1=BAB20.下列命题中， (1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A -1 =B， (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E； (3)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 A+B 必不可逆； (4)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 AB 必不可逆 正确的是（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)21.设 A，B 均 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则 (1)若 A 可逆，则 B 可逆， (2)若 B 可逆，则
7、 A+B 可逆， (3)若 B 可逆，则 A 可逆， (4)A-E 恒可逆 上述命题中，正确的命题共有（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个22.关于命题“方阵 A 满足 A 2 =A，且 AE，则 A 不可逆”有如下四种证明，正确的是（分数：2.00）A.由于 A2=A，所以|A|=|A|，故|A|(|A|-1)=0因为 AE，故|A|1因此|A|=0，A 不可逆B.由于 A2=A，故 A(A-E)=0由于 AE，从而 A-E0，故 A=0，所以 A 不可逆C.反证法：若 A 可逆，在 A2=A 两边左乘 A-1，得 A=E，与假设条件 AE 矛盾，所以 A 不可逆D.由
8、于 A2=A，故 A(A-E)=0从而|A|A-E|=0，而 AE，所以|A-E|0，因此|A|=0，A 不可逆23.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A*+B*是对称矩阵D.A-2B 是对称矩阵24.设 A，B 均为三阶反对称矩阵，且 AB=BA，则下列结论不正确的是（分数：2.00）A.A+B 是反对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A*+B*是反对称矩阵D.2A+3B 是反对称矩阵25.设 A=E-2 T ，其中 =x 1 ，x 2 ，x n T ，且有 T =1则结论 1 A 是对称阵；2A 2 是单位阵；3
9、A 是正交阵；4A 是可逆阵中正确的个数是（分数：2.00）A.1B.2C.3D.426.设 A 为正交矩阵，则下列不一定为正交矩阵的是（分数：2.00）A.ATB.A2C.A*D.kA(k0)27.设 （分数：2.00）A.P1P3AB.P2P3AC.AP3P2D.AP1P328.已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的-2 倍加至第 2 行得到矩阵 A 1 ，将 B 中第 2 列加至第 1 列得到矩阵 B 1 ，又知 ，则 AB= A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.设 ，那么(P -1 ) 2016 A(Q 2015 ) -1 = A B C D （分数：2
10、.00）A.B.C.D.30.设 A 与 B 均为 n 阶矩阵，且 A 与 B 等价，则不正确的命题是 A|A|0，则|B|0 B如果|A|0，则有可逆矩阵 P 使 PB=E C如果 （分数：2.00）A.B.C.D.31.设 （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1D.a1 时，B 的秩必为 232.若 A，A*和 B 均是 n 阶非零矩阵，且 AB=0，则必有 r(B)=（分数：2.00）A.1B.2C.n-1D.条件不够不能确定33.已知 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.1 或 334.设 A 为四阶方阵，且
11、满足 A 2 =A，则秩 r(A)+秩 r(A-E)=（分数：2.00）A.4B.3C.2D.135.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，-1，5) T ，(0，4，-2) T ，(1，3，0) T (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T (1，0，3，1) T ，(-1，3，0，-2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 则下列结论正确的是（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向
12、量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为36.设 1 =(1，4，3，-1) T ， 2 =(2，t，-1，-1) T ， 3 =(-2，3，1，t+1) T ，则 A对任意的 t， 1 ， 2 ， 3 必线性无关 B仅当 t=-3 时， 1 ， 2 ， 3 线性无关 C若 t=0，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 Dt0 且 （分数：2.00）A.B.C.D.37.设 1 =(1，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，-1) T ， 3 (2，6，a，6) T ， 4 =(0，1，3，a) T ，那么 a=8 是 1 ，
13、 2 ， 3 ， 4 线性相关的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件38.设向量组()： 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 )， 3 =(a 31 ，a 32 ，a 33 )；向量组()： 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 ，a 14 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 ，a 24 )， 3 =(a 31 ，a 32 ，a 33 ，a 34 )，则正确的命题是 A()相关 ()相关 B()无关 ()无关 C()无关 ()无关 D()相关 （分数：2.00）A
14、.B.C.D.39.设向量组()： 1 ， 2 ， s ；向量组()： 1 ， 2 ， s+1 ， s+t ，则正确命 A()无关 ()无关 B()无关 ()相关 C()相关 ()相关 D()无关 （分数：2.00）A.B.C.D.40.已知 m 个 n 维向量 1 ， 2 ， m 线性无关，其中 i =a i1 ，a i2 ，a in T i=1，2，m，则下列各向量中有可能线性相关的向量组是（分数：2.00）A.i=ai1，ai2+ai1，ai3，ainT，i=1，2，mB.i=-ai1，ai2，ainT，i=1，2，mC.i=0，ai2，ainT，i=1，2，mD.i=ai1，ai2，a
15、in，ain+1T，i=1，2，m41.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（分数：2.00）A.1-2，2-3，3-1B.1-2，2+3，3+1C.1+2，31-52，51+92D.1+2，21+32+43，1-2-2242.设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，AB= 1 ， 2 ， n 都是行阶矩阵，记向量组 () 1 ， 2 ， n () 1 ， 2 ， n () 1 ， 2 ， n 若向量组()线性相关，则（分数：2.00）A.()、()均线性相关B.()或()中至少有一个线性相关C.()一定线性相关D.()一定线性相关43.设 A
16、 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且满足 AB=E，则（分数：2.00）A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关D.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关44.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零向量，则正确命题是（分数：2.00）A.如果 1，2 线性相关，3，4 线性相关，则 1+3，2+4 线性相关B.如果 1，2，3 线性无关，则 1+4，2+4，3+4 线性无关C.如果 4 不能用 1，2，3 线性表出，则 1，2，3 一定线性相关D.如果 1，2，3，4
17、中任意三个向量均线性无关，则 1，2，3，4 线性无关45.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有（分数：2.00）A.1，2，1 线性无关B.1，2，2 线性无关C.2，3，1，2 线性相关D.1，2，3，1+2 线性相关46.设 1 ， 2 ， 3 ， 均为三维向量，现有四个命题 若 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 若 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 若 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ，
18、2 ， 3 线性无关 若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 以上的命题正确的是（分数：2.00）A.B.C.D.47.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， m-1 线性表出，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则（分数：2.00）A.m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B.m 不能由()线性表示，但可以由()线性表示C.m 可以由()线性表示，也可以由()线性表示D.m 可以由()线性表示，但不能由()线性表示48.设矩阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 经过初等行变换变为矩阵 B= 1 ，
19、2 ， 3 ， 4 ，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关则（分数：2.00）A.4 不能由 1，2，3 线性表示B.4 可由 1，2，3 线性表示，但表法不唯一C.4 可由 1，2，3 线性表示，且表法唯一D.4 能否由 1，2，3 线性表示不能确定49.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价D.若 A 的行(列)向量
20、组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价50.如果向量组 1 ， 2 ， s 的秩为 r，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.向量组中任意 r-1 个向量都线性无关B.向量组中任意 r 个向量都线性无关C.向量组中任意 r-1 个向量都线性相关D.向量组中任意 r+1 个向量都线性相关51.向量组 1 =(1，3，5，-1) T ， 2 =(2，-1，-3，4) T ， 3 =(6，4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是（分数：2.00）A.1，2，5B.1，3，5C.2，3，4D.3，4，552.已知
21、两个 n 维向量组 () 1 ， 2 ， s 与() 1 ， 2 ， s ， s+1 ， s+t 若向量组的秩r()=p，r()=q，则下列条件中不能判定()是()的极大线性无关组的是（分数：2.00）A.p=q，()可由()线性表出B.s=q，()与()是等价向量组C.p=q，()线性无关D.p=q=s53.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 - 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4
22、54.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与向量组()等价的向量组是（分数：2.00）A.1+2，2+3，3+4，4+1B.1+2，2+3，3+4C.1+2，2-3，3+4，4-1D.1，1+2，2+3，3+4，4-155.某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个考研数学二-252 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：55，分数：100.00)1.设 （分数：1.00）AmB.-8mC.2mD.-2m 解析：解析 法一 法二 2.设 （分数：1.00）A.1 B.2C.3D.4解
23、析：解析 将 f(x)的第 1 行的-1 倍加到第 2，3，4 行，然后按第 1 行展开，得 若 ，则 f(x)是常数，若 3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 ，B= 3 ， 1 ， 2 ， 2 ，且|A|=1，|B|=2则|A+B|=（分数：1.00）A.9B.6 C.3D.1解析：解析 由于矩阵加法 A+B= 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 ，根据行列式的性质有|A+B|=| 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =|2( 1 + 2 + 3 )， 2 +1， 3 + 2 ， 1
24、 + 2 | =2| 1 + 2 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =2| 1 + 2 + 3 ，- 3 ，- 1 ， 1 + 2 |=2| 2 ， 3 ，- 1 ， 1 + 2 | =2| 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 |=2(| 1 ， 2 ， 3 ， 1 +| 1 ， 2 ， 3 ， 2 |) =2(|A|+|B|)=6 或 4.设 A= 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵，则|A|=（分数：1.00）A.|1-22-33-1|B.|1+22+33+1|C.|1+2231+2| D.|12+31+2|解析：解析 本题考查行列式的性质，分别对每个行列式作适当的列
25、变换，向| 1 ， 2 ， 3 |靠拢 A| 1 - 2 2 - 3 3 - 1 |=|0 2 - 3 3 - 1 |=0； B| 1 + 2 2 + 3 3 + 1 |=|2( 1 + 2 + 3 ) 2 + 3 3 + 1 | =2| 1 + 2 + 3 2 + 3 3 + 1 |=2| 1 2 + 3 3+ 1 | =2| 1 2 + 3 3 |=2|A|； C| 1 +2 2 3 1 + 2 |=| 2 3 1 + 2 |=| 2 3 1 |=|A|； D| 1 2 + 3 1 + 2 |=| 1 2 + 3 2 |=| 1 3 2 |=-|A| 请说出每个等号成立的理由，作的什么变换
26、，用的什么性质?5.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 都是 3 维列向量，且行列式 | 1 1 |=| 1 2 |=| 2 1 |=| 2 2 |=3，那么|-2 1 + 2 1 + 2 |=（分数：1.00）A.-18B.-36 C.64D.-96解析：解析 本题考查行列式的性质，利用性质，| 1 ， 2 ， 1 + 2 |+| 1 ， 2 + 1 |+| 1 ， 2 ， 2 |可以有 |-2， 1 + 2 ， 1 +2 2 |=|-2， 1 + 2 ， 1 |+|-2， 1 + 2 ，2 2 | =|-2， 1 ， 1 |+|-2， 2 ， 1 |+|-2， 1 ，2 2 +|+|-2
27、， 2 ，2 2 | =-2| 1 ， 1 ，|-4| 1 ， 2 ，|-2| 2 ， 1 ，y|-4| 2 ， 2 ，|=-123=-36， 所以应选 B6.设 n 阶矩阵 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n-1 ，若行列式|A|=1，则|A-B|=（分数：1.00）A.0 B.2C.1+(-1)n+1D.1+(-1)n解析：解析 由 A-B= 1 - n ， 2 - 1 ， n - n-1 将|A-B|的各列加到第一列得|A-B|=|0， 2 - 1 ， n - n-1 |=0，应选 A或|A-B|=| 1 - n ， 2 - 1 ， n - n-1 | 7.已知 ，矩阵
28、 B 满足 A*B+2A -1 =B，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则|B|= A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 对于矩阵方程首先要恒等变形，对 A * B+2A -1 =B 左乘 A 并利用 AA*=A*A=|A|E，得 |A|B+2E=AB 即(A-|A|E)B=2E 因为|A|=-2，于是(A+2E)B=2E 两边取行列式，得|A+2E|B|=8 又 所以 8.设 A 为三阶方阵，A*为 A 的伴随矩阵， ，则|4A-(3A*) -1 = A （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 9.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a
29、，则 D=（分数：1.00）A.0 B.a2C.-a2D.na2解析：解析 按这一列(第 J 列)展开，D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 2nj A 2nj =aA 1j +aA 2j +aA 2nj 并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为-a，从而行列式的值为零或 2n 阶行列式 D 中某列元素及其代数余子式均等于 a，不失一般性，设为第一列且将 D 按第一列展开得 D=a 11 A 11 +a 21 A 21 +a 2n 1A2n1 =a 11 M 11 +a 21 (-M 21 )+a 2n (-1) 2n+1 +M 2n+1 =a 2 -a 2 +
30、a 2 -a 2 =010.设 A 是 n 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，已知 A 的每行元素之和为 k，A*的每行元素之和为 m 则|A|= Akm B(-1) n km C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 法一：A 的每行元素和为 k，故 两边左乘 A* A*的每行元素和 m，故 故|A|=km 法二：将 A 的其余各列加到第 1 列，且利用 A 的每行元素之和为 k，得 11.设 A 是 n 阶矩阵，|A|=a，A 的每列元素之和为 k，则 A 的第一行元素的代数余子式之和 A 11 +A 12 +A 1n = Aka B C-ka D （分数：2.00）A.B.
31、C.D.解析：解析 将|A|的第 2，3，n 行元素加第 1 行，得 显然|A|，|B|第 1 行元素的代数余子式是相同的即 12.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij ，i=1，2，3，j=1，2，3，则|2A T |=（分数：2.00）A.0B.2C.4D.8 解析：解析 故 A*=A T AA*=AAT=|A|E，两边取行列式，得 |AA T |=|A| 2 =|A|E|=|A| 3 得|A| 2 (|A|-1)=0 13.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且 nm，则必有（分数：2.00）A.|AB|=0B.|BA|=0 C.|AB|=|BA|D.|A
32、B|AB|=|AB|AB|解析：解析 由于 BA 是 n 阶方阵，秩 r(BA)秩 r(B)mn，故|BA|=0。从而 B 正确AB 是 m 阶方阵，其秩可能为 m，也可能小于 m，故不能得出|AB|=0，从而 A 不对若 A=1，0 14.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 |AB|=|A|B|=0，行列式是数，故有|A|=0 或|B|=0，反之亦成立，故应选 C 取 ，AB=O，但 AO，BO，A 不成立 取 ，但 ，B 不成立 取 ，但 15.设 ，则 A -1 = A B C D （分数：2.00）A.B. C
33、.D.解析：解析 本题考查分块矩阵求逆及二阶矩阵求逆，注意 再根据 ，用二阶矩阵的伴随矩阵是主对角线对调副对角线变号，很容易看出 故 16.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，正确的法则是（分数：2.00）A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(A+B)2=A2+2AB+B2D.(AB)*=B*A* 解析：解析 矩阵的乘法没有交换律，A，B 可逆不能保证 AB=BA，例如 ，有 而 可知 A、C 均不正确 A，B 可逆时，A+B 不一定可逆，即使 A+B 可逆，其逆一般-g 不等于 A -1 +B -1 例如 有 而 17.设 A 是 n 阶可逆阵，则下列等式
34、不成立的是（分数：2.00）A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2 C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D.(A+E)2=A2+2AE+E2解析：解析 AA T A T A,(如取 ， 则 18.设 A、B 均 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA -1 ) -1 =（分数：2.00）A.(A+B)BB.E+AB-1C.A(A+B) D.(A+B)A解析：解析 法一 因为(A+B) 2 =E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆定义知(A+B) -1 =(A+B) (E+BA -1 ) -1 =(AA -1 +
35、BA -1 ) -1 =(A+B)A -1 -1 =(A -1 ) -1 (A+B) -1 =A(A+B) 法二 逐个验算：对于 C 因(E+BA -1 )A(A+B)=(A+B) 2 =E，故(E+BA -1 ) -1 =A(A+B)应选 C19.设 A、B 都是 n 阶方阵，且(AB) 2 =E，则必有（分数：2.00）A.A-1=BB.AB=-EC.AB=ED.A-1=BAB 解析：解析 由(AB) 2 =ABAB=A(BAB)=E，又 A 和 BAB 都是 n 阶矩阵故 A -1 =BAB，即 D 正确 若 ，易见(AB) 2 =E但 ABE,AB-E 知 B，C 均不正确 若 20.
36、下列命题中， (1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A -1 =B， (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E； (3)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 A+B 必不可逆； (4)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 AB 必不可逆 正确的是（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4) 解析：解析 (1)如果 A，B 均 n 阶矩阵，命题当然正确，而现在的问题是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故(1)不正确例如 显然 A 不可逆类似地，对于 AB=E，虽然|AB|=1，但能否用行列式乘法公式呢?应检查 AB 是
37、否为 n 阶矩阵，有的考生不注意公式成立时的条件，随意用公式是不妥的 (2)A，B 是 n 阶矩阵，(AB) 2 =E，即(AB)(AB)=A(BAB)=(BAB)A=(BA)(BA)=(BA) 2 即(BA) 2 =E即(2)正确 (3)设 ， 虽然 A，B 都不可逆，但 21.设 A，B 均 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则 (1)若 A 可逆，则 B 可逆， (2)若 B 可逆，则 A+B 可逆， (3)若 B 可逆，则 A 可逆， (4)A-E 恒可逆 上述命题中，正确的命题共有（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析：解析 由 AB=A+B 有(A-E)B=A
38、若 A 可逆，则 |A-E|B|=|A|0 知|B|0即矩阵 B 可逆，从而命题(1)正确 类似于(1)因 AB=A+B，A(B-E)=B由 B 可逆 22.关于命题“方阵 A 满足 A 2 =A，且 AE，则 A 不可逆”有如下四种证明，正确的是（分数：2.00）A.由于 A2=A，所以|A|=|A|，故|A|(|A|-1)=0因为 AE，故|A|1因此|A|=0，A 不可逆B.由于 A2=A，故 A(A-E)=0由于 AE，从而 A-E0，故 A=0，所以 A 不可逆C.反证法：若 A 可逆，在 A2=A 两边左乘 A-1，得 A=E，与假设条件 AE 矛盾，所以 A 不可逆 D.由于 A
39、2=A，故 A(A-E)=0从而|A|A-E|=0，而 AE，所以|A-E|0，因此|A|=0，A 不可逆解析：解析 A 的证明中不正确的是由 AE 推出|A|1矩阵不相等行列式可以相等，例如 ，AE，但|A|=|E|=1 B 的证明中不正确的是由 A(A-E)=0 及 A-E0 推出 A=0应注意两个非零矩阵的乘积可以为零矩阵例如 D 的证明中不正确的是由 AE 推出|A-E|0，这是由于非零矩阵的行列式可以为零例如 ，AE，但 23.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵 C.A*+B*是对称矩阵D.A-2B 是对称
40、矩阵解析：解析 由于 (A+B) T =A T +B T =A+B， 又 (kA) T =kA T -kA， 有 (A-2B) T =A T -(2B) T =A-2B 从而 A，D 选项的结论是正确的 我们首先来证明(A*) T =(AT) * 只需证明等式两边(i，j)位置元素相等(A*) T 在(i，j)位置的元素等于 A*在(j，i)位置的元素，为元素 a ij 的代数余子式 A ij 而矩阵(A T )*在(i，j)位置的元素等于A T 的(j，i)位置元素的代数余子式，为 A 在(i，j)位置元素的代数余子式 A ij 从而(A*) T =(A T )*=A*，故 A*为对称矩阵，
41、C 选项的结论是正确的 由于(AB) T =B T A T =BA，从而 B 选项的结论不正确 注意，当 A，B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA24.设 A，B 均为三阶反对称矩阵，且 AB=BA，则下列结论不正确的是（分数：2.00）A.A+B 是反对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A*+B*是反对称矩阵 D.2A+3B 是反对称矩阵解析：解析 由于 (A+B) T =A T +B T =-(A+B) 又 (kA) T =kAT=k(-A)=-kA 有 (2A+3B) T =(2A) T +(3B) T =-(2A+3B) (AB) T =BTA T =(-B)(-A
42、)=BA=AB，从而 A，B，D 的结论都正确 由于(A*) T =(A T )*=(-A)*=(-1) n-1 J1A*，从而竹为奇数时，A+为对称矩阵，T/为偶数时，A*为反对称矩阵故 C 选项的结论不正确25.设 A=E-2 T ，其中 =x 1 ，x 2 ，x n T ，且有 T =1则结论 1 A 是对称阵；2A 2 是单位阵；3A 是正交阵；4A 是可逆阵中正确的个数是（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 A T =(E-2 T ) T =E T -(2T) T =E-2 T =A，1成立 A 2 =(E-2 T )(E-2 T )=E-4 T +4 T T =E
43、-4 T +4( T )=E，2成立 由 1，2，得 A 2 =AA T =E，故 A 是正交阵，3成立 由 3知正交阵是可逆阵，且 A -1 =A T ，4成立 故应选 D26.设 A 为正交矩阵，则下列不一定为正交矩阵的是（分数：2.00）A.ATB.A2C.A*D.kA(k0) 解析：解析 由于 A 为正交矩阵 27.设 （分数：2.00）A.P1P3AB.P2P3A C.AP3P2D.AP1P3解析：解析 矩阵 A 左乘两个初等阵即作两次行变换可得到矩阵 B，而 A 右乘初等阵即 AP 3 P 2 ，AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除 把矩阵 A 第 1 行的 2
44、倍加至第三行后，再 1、2 两行互换可得到 B即 P 3 P 1 A=B选项中没有 而把矩阵 A 的 1、2 两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 B，即 P 2 P 3 A=B正是选项B，所以应选 B28.已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的-2 倍加至第 2 行得到矩阵 A 1 ，将 B 中第 2 列加至第 1 列得到矩阵 B 1 ，又知 ，则 AB= A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 A 经行初等变换得到 A 1 ，故 A 1 =PA，P 是初等矩阵，类似地 B 1 =BQ，可构造出 B 1 =PABQ 据已知条件，令 则 A 1 =PA，B 1 =BQ那么 于是 29.设 ，那么(P -1 ) 2016 A(Q 2015 ) -1 = A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 P、Q 均初等矩阵，因为 P -1 =P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的 1、3 两行，那么 P 2016 A 表示把 A 的 1、3 两行互换 2016 次，从而(P -1 ) 2016 A=P 2016 A=A 又(Q 2015 ) -1 =(Q -1
