1、考研数学三-252 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 则 f (n) = A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.已知 f(x，y)=ln(1+ （分数：4.00）A.df(x，y)|(0，0)=0B.f“x(0，0)，f“y(0，0)都不存在C.f
2、“x(0，0)存在D.仅 f“y(0，0)存在4.设 x(-1，1)，则幂级数 的和函数为 Aln(1-x 2 ) B Cln(1+x 2 ) D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 3 阶可逆矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的(-1)倍加到第 2 列得 C，记 （分数：4.00）A.P-1A*PB.PA*P-1C.PTA*PD.PA*pT6.设向量 =(1，1，-1) T 是矩阵 （分数：4.00）A.矩阵 A 能相似对角化，且秩 r(A)=3B.矩阵 A 不能相似对角化，且秩 r(A)=3C.矩阵 A 能相似对角化，且秩 r(A)3D.矩
3、阵 A 不能相似对角化，且秩 r(A)37.设 X 和 Y 是任意两个随机变量，若 D(X+Y)=D(X-Y)，则（分数：4.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 和 Y 不独立C.D(XY)=DXDYD.E(XY)=EXEY8.设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，考虑下列命题： X 2 +Y 2 服从 2 分布； X/ （分数：4.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，且 f(1)=1 则 （分数：4.00）10.曲线 y-xe y =1 在 x=0 处的法线方程为 1 （分数：4.00）11. （分数：4.00）1
4、2.差分方程 y t+1 -y t =t2 t 的通解为 1 （分数：4.00）13.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= 经正交变换 x=Qy 化为标准形 （分数：4.00）14.设一本书各页的印刷错误的个数 X 服从泊松分布已知该书中有一个和两个印刷错误的页数相同，现任意随机抽查 3 页，则此 3 页中都没有印刷错误的概率为 p= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) 求极限 （分数：10.00）_16.(本题满分 10 分) 试就 a 的不同取值，讨论方程 （分数：10.00）_17.(本题满分 10 分) 设 z=xf(
5、x-y，xy 2 )，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，求 （分数：10.00）_18.(本题满分 11 分) 计算二重积分 （分数：11.00）_19.(本题满分 10 分) 设幂级数 在(-，+)内收敛，其和函数 y(x)满足 y“-2xy“-4y=0，且 y(0)=0，y“(0)=1 ()证明： （分数：10.00）_20.(本题满分 10 分) 已知线性方程组 与 （分数：10.00）_21.(本题满分 11 分) 设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3
6、3 ()求矩阵 A 的特征值； ()问 A 能否相似对角化；若能，请求出相似变换矩阵 P 与对角的 A；若不能，请说明理由 （分数：11.00）_22.(本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）_23.(本题满分 11 分) 设二维随机变量(X，Y)在矩形域 D=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：11.00）_考研数学三-252 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 则 f (n) = A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查求简单有理函数的高
7、阶导数问题先将 f(x)化为两个部分最简分式之和，再利用 可得 解 因 而 故 于是 2.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 本题考查由已知抽象函数 f(x)满足的极限等式条件，判定 f(x)在某点的极值、拐点问题，可用赋值法快速求得结果，也可用极限的保号性进行分析 解 1 赋值法因 x0 时，1-e -x x，故题设等式条件亦为 取 f“(x)=-x， 则
8、 令 C 1 =C 2 =0，则 f(x)= 满足题设条件，以此 f(x)考查四个选项，只有(C)选项正确 解 2 利用极限的保号性分析求解 由 及 f“(x)连续可知 f“(0)=0；再由极限的保号性知，存在 x=0 的某邻域 U(0，)，使得 3.已知 f(x，y)=ln(1+ （分数：4.00）A.df(x，y)|(0，0)=0B.f“x(0，0)，f“y(0，0)都不存在C.f“x(0，0)存在D.仅 f“y(0，0)存在 解析：解析 本题考查二元函数在某点处偏导数的存在性问题由题目特点，要利用偏导数定义分析求解 解 因 不存在，故 f“ x (0，0)不存在又 4.设 x(-1，1)
9、，则幂级数 的和函数为 Aln(1-x 2 ) B Cln(1+x 2 ) D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查求简单的幂级数的和函数问题若熟悉常用的幂级数展开式，则可直接看出正确选项；否则要利用间接法求解 解 因 x(-1，1)时， 故由幂级数的运算性质，有 5.设 A 为 3 阶可逆矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的(-1)倍加到第 2 列得 C，记 （分数：4.00）A.P-1A*PB.PA*P-1 C.PTA*PD.PA*pT解析：解析 本题主要考查矩阵的初等变换及初等矩阵问题见到两个矩阵有等价关系，就要想到利用初等矩阵建立
10、等量关系，这是分析求解此类问题的一般方法然后再由 C * =|C|C -1 可得 解 由题设条件有 又 6.设向量 =(1，1，-1) T 是矩阵 （分数：4.00）A.矩阵 A 能相似对角化，且秩 r(A)=3 B.矩阵 A 不能相似对角化，且秩 r(A)=3C.矩阵 A 能相似对角化，且秩 r(A)3D.矩阵 A 不能相似对角化，且秩 r(A)3解析：解析 本题考查方阵的相似对角化问题要先根据题设条件求出参数 a，b 的值，进而求出 A 的全部特征值，看有无重根，再判定 解 设 =(1，1，-1) T 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A=，即 解得 =-1，a=2，b=0，于是
11、 显然 r(A)=3，且 A 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =-1 矩阵 A 能否相似对角化取决于 1 = 2 =2 是否有两个线性无关的特征向量由 7.设 X 和 Y 是任意两个随机变量，若 D(X+Y)=D(X-Y)，则（分数：4.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 和 Y 不独立C.D(XY)=DXDYD.E(XY)=EXEY 解析：解析 本题考查方差的运算性质，利用方差的相应运算性质处理题设等式条件可得 解 由 D(X+Y)=D(X-Y)，得 DX+DY+2cov(X，Y)=DX+DY-2cov(X，Y)，故 cov(X，Y)=0，即有 E(XY)-EXEY=0，即 E(XY)
12、=EXEY8.设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，考虑下列命题： X 2 +Y 2 服从 2 分布； X/ （分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 本题考查统计量的分布问题见到确定统计量分布问题，就要想到考查它的构成想 2 分布、t 分布以及 F 分布定义的典型模式 解 由题设条件与 2 分布、t 分布、F 分布的定义和性质可知 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，且 f(1)=1 则 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查定积分计算问题由条件特点，要先求出 f(x)，再计算 解 因 由 f(1)=1，得 C=0，故 f(x)=
13、 于是 注 要结合定积分的几何意义，记住以下常用结果(其中 a0)： 10.曲线 y-xe y =1 在 x=0 处的法线方程为 1 （分数：4.00）解析： 解析 本题实质上考查求二元方程确定的一元隐函数的导数问题，选用“求导法”、“微分法”、“公式法”求解即可 解 方程两边对 x 求导，得 y“-e y -xe y y“=0 原方程中令 x=0，得 y=1，代入上式可得 y“| x=0 =e故所求的法线方程为 11. （分数：4.00）解析： 解 12.差分方程 y t+1 -y t =t2 t 的通解为 1 （分数：4.00）解析：C+(t-2)2 t 解 对应的齐次差分方程为 y t+
14、1 -y t =0，显然有不恒为零的特解 由 f(t)=t2 t ，可设非齐次差分方程的特解为 13.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= 经正交变换 x=Qy 化为标准形 （分数：4.00）解析：2 解析 本题考查用正交变换化二次型为标准形问题见到二次型 x T Ax 经正交变换 x=y化为标准形 ，就知它们所对应的矩阵相似，即 A ，从而矩阵 A 与 有“四等五相似” 解 二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵为 .由题设条件可知， ，从而可知矩阵 A 的特征值为 1 =0， 2 =1， 3 =4，进而可得|A|=0，|E-A|=0，即 14.设一本书各页的印刷错误的个
15、数 X 服从泊松分布已知该书中有一个和两个印刷错误的页数相同，现任意随机抽查 3 页，则此 3 页中都没有印刷错误的概率为 p= 1 （分数：4.00）解析：e -6 解析 本题考查已知泊松分布求概率问题要由条件先求出泊松分布的参数 解 由题设条件有 PX=1)=PX=2)，即 e - = 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) 求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因 x0 时， ，故 解析 本题考查求 16.(本题满分 10 分) 试就 a 的不同取值，讨论方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 问题等价于讨论函数 的零点个数及位
16、置显然 f(x)的定义域为(-，+)因 故 f(x)没有驻点，但在 x=a 处 f“(x)不存在当 x(-，a)时，f“(x)0；x(a，+)时，f“(x)0，故 f(a)=-a-2 是函数 f(x)在(-，+)内的极小值也是最小值 因此，若 a-2，则 f(a)0，此时 f(x)无零点，原方程没有实根；若 a=-2，则 f(a)=0，此时 f(x)有唯一零点，原方程有唯一实根 x=a；若 a-2，则 f(a)0，而 17.(本题满分 10 分) 设 z=xf(x-y，xy 2 )，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 18.(本题满分 11
17、分) 计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 画出积分区域 D 的图形如下图所示要先处理被积函数中的最小函数，为此用 y=x 分 D 为 D 1 ，D 2 两部分，则 要处理被积函数中的绝对值函数，利用对称性结论将简单些为此用 y=-x 再划分 D 1 ，D 2 分别为 D 11 ，D 12 ；D 21 ，D 22 ，考虑到 x|xy|是 x 的奇函数，而 D 12 关于 y 轴对称；y|xy|是 y 的奇函数，而 D 22 关于 x 轴对称，故有 于是 注 计算式时也可直接利用二重积分的积分区域可加性处理以计算 为例，如下图，有 19.(本题满分 10 分) 设幂级数 在
18、(-，+)内收敛，其和函数 y(x)满足 y“-2xy“-4y=0，且 y(0)=0，y“(0)=1 ()证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：()因幂级数在(-，+)内收敛，故其和函数 y(x)在(-，+)内任意阶可导，故有 于是得 由 y(x)= 及 y(0)=0，得 a 0 =0再由上式得 a 2 =0，进而可得 (n+2)(n+1)a n+2 -2(n+2)a n =0，n=1，2，因此 ()由()可知，a 2 =a 4 =a 2n =0，n=1，2， 由 y“(0)=1 及y(x)= ，得 a 1 =1，于是仍由()得 于是 20.(本题满分 10 分) 已知线性方程组
19、与 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 对方程组()的系数矩阵作初等行变换，得 取 x 2 ，x 4 为自由变量，得基础解系为 代入()中，得 21.(本题满分 11 分) 设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 ()求矩阵 A 的特征值； ()问 A 能否相似对角化；若能，请求出相似变换矩阵 P 与对角的 A；若不能，请说明理由 （分数：11.00）_正确答案：()解析：()将题设三个向量等式条件合并成一个矩阵等式，得 (A 1 ，A 2 ，A 3 )
20、=( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 )， 即有 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，故矩阵 C=( 1 ， 2 ， 3 )可逆，于是有 即矩阵 A 与 B 相似，从而 A 与 B 有相同的特征值由 得矩阵 B 的特征值为 1，1，4，故矩阵 A 的特征值为 1，1，4 ()对于矩阵 B，求方程组(E-B)x=0 的基础解系，可得 B 的属于特征值 =1 的两个线性无关的特征向量 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-2，0，1) T 求方程组(4E-B)x=0 的基础解系，可得 B 的属于特征值 =4 的特征向量 3 =(0，1，1) T 令 P 1 =( 1 ，
21、 2 ， 3 )，则有 ，从而有 故矩阵 A 可相似对角化，且相似变换矩阵为 22.(本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：()由 即 得 ()当 x 时，F(x)=PXx)=0； 当 时， 当 x 时，F(x)=1于是 ()因 当 (y-1) ，即 y1- 时，G(y)=0； 当 (y-1) ，即 1-y1+ 时，由()知 当 (y-1) ，即 y1+ 时，G(y)=1因此 注 第()问中，由于 Y=2X+1 单调增加，故求 Y 的分布可直接套用教材中的公式 解析 本题考查一维连续型随机变量的有关问题对于求概率密度中的参数，由概率密
22、度的性质 可得；求 X 的分布函数，就是求概率 f(x)=PXx= 23.(本题满分 11 分) 设二维随机变量(X，Y)在矩形域 D=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：11.00）_正确答案：()解析：()如下图所示，因二维随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布， 故 因 U 和 V 的所有可能取值都是 0，1，且 PU=0，V=0)=PXY，X2Y=PXY)= ， PU=0，V=1)=PXY，X2Y)=0， PU=1，V=0)=PXY，X2Y)=PYX2Y= ， P(U=1，V=1)=PXY，X2Y)=PX2Y= . 故(U，V)的分布律为 ()因 ,故 ()由()可得 U，V，UV 的分布律分别为 于是 因此
