1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 252 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 F(x)=1x lnxf(t)dt，f(x)连续，则 F(x)=2 若 xf“(x)+3xf(x)2=1e x 且 f(0)=0，f“(x)在 x=0 连续，则下列正确的是（A）(0 ，f(0) 是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） f(0)不是八 f(x)的极值， (0，f(0) 也不是 y=f(x)的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值3 方程 ysinx=ylny 满足条件 y(2)=e 的特解是4 设 f(x，y)=|x y|(x
2、，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)=0，则f(x，y)在点(0，0)处（A）连续，但偏导数不存在（B）不连续，但偏导数存在（C）可微（D）不可微5 下列命题中正确的是二、填空题6 7 若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限8 设 则 d2ydx 2=_9 设 f(x)具有连续导数，且 F(x)=0x(x2t 2)f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，则 f(0)=_10 1+ dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知 sinxx 是 f(x)的一个原函数，求x 3f(x)dx.11 求定积分：12 J=2 2
3、min2，x 2dx；13 J=1 x(1|t|)dt，x114 设 f(x)= 求 f(x)的不定积分f(x)dx15 设 f(x)在0，a二次可导且 f(0)=0，f“(x) 0求证：f(x)x 在(0，a单调下降16 设当 x0 时，方程 kx+ =1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围17 证明奇次方程 a0x2n+1+a1x2n+a2nx+a2n+1=0 一定有实根，其中常数 a0018 设曲线 y=y(x)上 点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线 y=y(x)的方程19 已知 ， 都是单位向量，夹角是 3，求向量 2+ 与3+ 的夹角20 设 u=u(x，y)由方程
4、u=(u)+yxP(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，且 (u)1，求P(y)+P(x)21 建一容积为 V0 的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积21 求下列二重积分22 计算 I= arctanyxd，其中 D：1x 2+y29，23 计算 I= |sin(xy)|dxdy，其中 D：0xy2 ；24 0hdz0adx f(x，y，z)dy，变成由 z 到 y 再到 x 的顺序25 设 f(x)在区间0，1上连续，请用重积分方法证明： 01f(x)dxx1f(y)dy=12 01f(x)dx225 设有级数 un，26 若 (u2n1 +u2n)=(u1+u2)+(u
5、3+u4)+收敛，求证： un 收敛27 设 u2n1 =1n，u 2n=nn+1dxx (n=1，2，)，求证： (1) n1 un 收敛28 设 (ana n1 )收敛，又 bn 是收敛的正项级数，求证： anbn 绝对收敛29 考察级数 anp，其中 an= ，p 为常数( )证明：(n=2，3，4，) ；()证明：级数 anp 当 p2 时收敛，当 p2时发散考研数学一（高等数学）模拟试卷 252 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得故应选(A)【知识模块】
6、高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(0)=0 知 x=0 是 f(x)的驻点为求 f“(0)，把方程改写为 f“(x)+3f(x)2= 令 x0，得 f“(0)= =1 0 f(0)为极大值故选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 这是变量可分离的方程【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 逐项分析：()|x y|在(0，0)连续， (x，y)在点(0，0)处连续f(x，y)在点(0，0)处连续 =0f x(0，0)=0，同理fy(0，0)=0( )考察 f(x， y)f(0，0)+ y=|x y|(x，y)f(x，y)在点(0，0)处可
7、微选 (C)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 的收敛域为1，1) 因此只有(D) 正确事实上，若取 (1) nx2n 的收敛区间即收敛域为(1，1)，而 x2n+1 的收敛域为1， 1【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 12【试题解析】 由题设及现利用等价无穷小因子替换 f(x)tanx(x0)，e 2x12x (x0) ，【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 9f(1)【试题解析】 按导数定义，将原式改写成=f(1)+2f(1)+6f(1)=9f(1)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 12【试题
8、解析】 由于 F(x)=0x(x2t 2)f(t)dt=x2f(t)dt 0xt2f(t)dt，所以 F(x)=2x0xf(t)dt+x2f(x)x 2f(x)=2x0xf(t)dt又依题设，当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，从而 =2f(0)=1，故 f(0)=12【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 因(xe x)=ex(x+1)，令 xex=t，则 dt=ex(x+1)dx，于是【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 x3f(x)dx x3df(x)=x3f(x)3x 2f(x)dx=x2cosxxsinx
9、3(xcosxsinx)dx=x2cosxxsinx3xdsinx 3cosx=x 2cosxxsinx(3xsinx+3cosx)3cosx+C=x 2cosx4xsinx6cosx+C 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 min2， x2= 于是 J=2 2min2，x 2dx=202min2，x 2dx【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 当1x0 时，J= 1 x(1+t)dt=1 2(1+t)2|1 x=12(1+x) 2当 x0时，J= 1 0(1+t)dt+0x(1t)dt=1 2(1+t) 2|1 0 (1t) 2|0x=1 (1x) 2【知识模
10、块】 高等数学14 【正确答案】 当 x0 时，f(x)=sin2xdx= cos2x+C1；当 x0 时，f(x)=ln(2x+1)dx=xln(2x+1) dx=xln(2x+1)dx+ =xln(2x+1)x+ ln(2x+1)+C2，为了保证 F(x)在 x=0 点连续，必须 C2= +C1， (*)特别，若取 C1=0，C 2=12，即 就是f(x)的一个原函数因此【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由微分中值定理， x(0，a ， (0，x)使得 xf(x)f(x)=xf(x)f(x)f(0)=xf(x)xf()=xf(x)f()0(因为 f(x)单调减少)【知识模块】 高等
11、数学16 【正确答案】 设 f(x)=kx+ 1(x0)，则 f(x)=k ，f“(x)=6x 40()当k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又故 f(x)此时只有一个零点() 当 k0 时，由 f(x)=0 得 x= 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当时，有 k=29 ，此时方程有且仅有一个根；当 k29时，方程无根或有两个根因此，k 的取值范围为 k0 及 k=29【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 不妨设 a00令 f(x)=a0x2n+1+a1x2n+a2nx+a2n+1，则又 f(x)在(，+)连续，因此在(， +)内 f(x)至少存在一个零点【知识模块】 高等数
12、学18 【正确答案】 () 列方程曲线 y=y(x)在 点(x，y)处的切线斜率为 dydx，与原点连线的斜率为 yx，按题意 yxdydx=1()解方程将方程改写为ydy+xdx=0，即 d(x2+y2)=0于是通解为 x2+y2=C(C0 为 常数)【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 |=1，|=1，=|cos ， (2+)(2+)=4+2+2+1=5+4 12=7 (3+2)(3+2)=96+4=131212=7， (2+)(3+2)=6 3+4+2 cos2+， 3+2【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 将原方程对 x 求导 +P(x) 将原方程对 y 求导P(y) 【知识
13、模块】 高等数学21 【正确答案】 设长、宽、高各为 x，y，z，则表面积为 S=xy+2(xz+yz)，容积V0=xyz问题是求三元函数 S 在条件 xyzV 0=0 下的最小值点用拉格朗日乘子法解条件最值问题令 F(x，y，z，)=xy+2(xz+yz)+(xyz V 0)，则有由得 x=y，再由得 x=y=4 ，再代入得 z=22 x=y，z=12x，最后由得【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，则 D：1r3，63于是 I=6 3 d13arctan(tan)rdr=6 3 d13rdr=12 2|6 3 12r 2|13=2
14、6【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 D 如图 97(a)，被积函数分块表示，要分块积分，将 D 分成D：D 1D2，以 yx= 为分界线(如图 97(b) 在 D1 上，yx2；在 D2 上，0yx ，则 在 D2 上边界分段表示(如图97(c)，也要分块积分 I= 0dxx+2sin(yx)dy+ 0dxxx+sin(yx)dy+2dxx2sin(yx)dy= 0cos(yx)| y=x+2dx 0cos(yx)| y=xx+dx 2cos(yx)|y=x2dx=0(cosx+1)dx+02dx 2(cosx1)dx=4 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 这里每个二重积分都是
15、矩形区域上二重积分的积分次序的交换【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 先将累次积分表示成二重积分，则有 I=01f(x)dxx1f(y)dy= f(x)f(y)dxdy，其中 D=(x，y)0x1，xy1 ，如图 933，它与 D=(x，y)|0x1，0yx关于 y=x 对称于是=01dx01f(x)f(y)dy=01f(x)dx 01f(y)dy=01f(x)dx2，因此，I=1 2 01f(x)dx2【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 这是交错级数，已知 un=0为证 un单调下降，只需证 u2n1 u 2nu 2
16、n+1 (n=1，2，3，)，un单调下降因此原级数收敛【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 级数 (ana n1 )收敛，即其部分和 Sm= (ana n1 )=(a1a 0)+(a2a 1)+(ama m1 )=ama 0 为收敛数列，从而a n也是收敛数列我们知道数列收敛则一定有界，设|a n|M，n=1，2，则|a nbn|M|bn|=Mbn再由于 bn 是收敛的正项级数，这样，利用比较判别法，即知 |anbn|收敛，即 anbn 绝对收敛【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 () 将 an2 改写成an2 (n=1，2，3，)再将 na2 改写成an214n (n=2，3，4，)()容易验证比值判别法对级数 anp 失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性题()已给出了a n上下界的估计，由 注意当 p2 即p21 时 anp 当p2 时收敛，当 p2 时发散【知识模块】 高等数学
