1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 252 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 F(x)= 1x lnx f(t)dt，f(x)连续，则 F(x)= （分数：2.00）A.B.C.D.3.若 xf“(x)+3xf(x) 2 =1e x 且 f(0)=0，f“(x)在 x=0 连续，则下列正确的是（分数：2.00）A.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是八 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(
2、x)的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值4.方程 ysinx=ylny 满足条件 y(2)=e 的特解是 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)=|xy|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)=0，则 f(x，y)在点(0，0)处（分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.不连续，但偏导数存在C.可微D.不可微6.下列命题中正确的是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_8.若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.
3、00）填空项 1:_10.设 f(x)具有连续导数，且 F(x)= 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11. 1 + （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.已知 sinxx 是 f(x)的一个原函数，求x 3 f(x)dx.（分数：2.00）_求定积分：（分数：4.00）(1).J= 2 2 min2，x 2 dx；（分数：2.00）_(2).J= 1 x (1|t|)dt，x1（分数：2.
4、00）_14.设 f(x)= （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，a二次可导且 f(0)=0，f“(x)0求证：f(x)x 在(0，a单调下降（分数：2.00）_16.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：2.00）_17.证明奇次方程 a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +a 2n x+a 2n+1 =0 一定有实根，其中常数 a 0 0（分数：2.00）_18.设曲线 y=y(x)上 （分数：2.00）_19.已知 ， 都是单位向量，夹角是 3，求向量 2+ 与3+ 的夹角（分数：2.00）_20.设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定，其中 可
5、微，P 连续，且 (u)1，求 （分数：2.00）_21.建一容积为 V 0 的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积（分数：2.00）_求下列二重积分（分数：4.00）(1).计算 I= arctanyxd，其中 D：1x 2 +y 2 9， （分数：2.00）_(2).计算 I= （分数：2.00）_22. 0 h dz 0 a dx （分数：2.00）_23.设 f(x)在区间0，1上连续，请用重积分方法证明： 0 1 f(x)dx x 1 f(y)dy=12 0 1 f(x)dx 2 （分数：2.00）_设有级数 （分数：4.00）(1).若 (u 2n1 +u 2n )
6、=(u 1 +u 2 )+(u 3 +u 4 )+收敛，求证： （分数：2.00）_(2).设 u 2n1 =1n，u 2n = n n+1 dxx (n=1，2，)，求证： （分数：2.00）_24.设 (a n a n1 )收敛，又 b n 是收敛的正项级数，求证： （分数：2.00）_25.考察级数 a n p ，其中 a n = ，p 为常数 ()证明： (n=2，3，4，)； ()证明：级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 252 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
7、个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 F(x)= 1x lnx f(t)dt，f(x)连续，则 F(x)= （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得3.若 xf“(x)+3xf(x) 2 =1e x 且 f(0)=0，f“(x)在 x=0 连续，则下列正确的是（分数：2.00）A.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是八 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值 解析：解析：由 f(0)=0 知 x=0 是 f(x)
8、的驻点为求 f“(0)，把方程改写为 f“(x)+3f(x) 2 = 令 x0，得 f“(0)= =10 4.方程 ysinx=ylny 满足条件 y(2)=e 的特解是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：这是变量可分离的方程5.设 f(x，y)=|xy|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)=0，则 f(x，y)在点(0，0)处（分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.不连续，但偏导数存在C.可微 D.不可微解析：解析：逐项分析： ()|xy|在(0，0)连续，(x，y)在点(0，0)处连续 f(x，y)在点(0，0)处连续 =0f x (0，0)=
9、0，同理 f y (0，0)=0 ()考察 f(x，y)f(0，0)+ y=|xy|(x，y) 6.下列命题中正确的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： 的收敛域为1，1) 因此只有(D)正确事实上，若取 (1) n x 2n 的收敛区间即收敛域为(1，1)，而 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：由题设及 现利用等价无穷小因子替换 f(x)tanx(x0)，e 2x 12x (x0)，8.若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
10、：9f(1)）解析：解析：按导数定义，将原式改写成9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x)具有连续导数，且 F(x)= 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：由于 F(x)= 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt=x 2 f(t)dt 0 x t 2 f(t)dt， 所以 F(x)=2x 0 x f(t)dt+x 2 f(x)x 2 f(x)=2x 0 x f(t)dt 又依题设，当 x0
11、 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，从而 11. 1 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因(xe x )=e x (x+1)，令 xe x =t，则 dt=e x (x+1)dx，于是 三、解答题(总题数：17，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.已知 sinxx 是 f(x)的一个原函数，求x 3 f(x)dx.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： x 3 f(x)dx )解析：求定积分：（分数：4.00）(1).J= 2 2 min2，x 2 dx；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
12、min2，x 2 = 于是 J= 2 2 min2，x 2 dx=2 0 2 min2，x 2 dx )解析：(2).J= 1 x (1|t|)dt，x1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当1x0 时，J= 1 x (1+t)dt=12(1+t) 2 | 1 x =12(1+x) 2 当x0 时，J= 1 0 (1+t)dt+ 0 x (1t)dt=12(1+t) 2 | 1 0 (1t) 2 | 0 x =1 )解析：14.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f(x)=sin2xdx= cos2x+C 1 ； 当 x0 时，f(x)=ln(2x+1
13、)dx=xln(2x+1) dx =xln(2x+1)dx+ =xln(2x+1)x+ ln(2x+1)+C 2 ， 为了保证 F(x)在 x=0 点连续，必须 C 2 = +C 1 ， (*) 特别，若取 C 1 =0，C 2 =12，即 就是 f(x)的一个原函数 因此 )解析：15.设 f(x)在0，a二次可导且 f(0)=0，f“(x)0求证：f(x)x 在(0，a单调下降（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理， )解析：16.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=kx+ 1(x0)，则 f(x)=k ，f“(x)=6x
14、 4 0 ()当 k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又 故 f(x)此时只有一个零点 ()当 k0 时，由 f(x)=0 得 x= 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当 时，有 k=29 ，此时方程有且仅有一个根；当 k29 时，方程无根或有两个根 因此，k 的取值范围为 k0 及k=29 )解析：17.证明奇次方程 a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +a 2n x+a 2n+1 =0 一定有实根，其中常数 a 0 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 a 0 0令 f(x)=a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +a 2n x+a 2n+1 ，则 )解
15、析：18.设曲线 y=y(x)上 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程曲线 y=y(x)在 点(x，y)处的切线斜率为 dydx，与原点连线的斜率为 yx，按题意 yxdydx=1 ()解方程将方程改写为 ydy+xdx=0，即 d(x 2 +y 2 )=0 于是通解为 x 2 +y 2 =C(C0 为 )解析：19.已知 ， 都是单位向量，夹角是 3，求向量 2+ 与3+ 的夹角（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|=1，|=1，=|cos， (2+)(2+)=4+2+2+1=5+412=7 (3+2)(3+2)=96+4=131212=7， (2+)(3+2)=63+
16、4+2cos2+，3+2 )解析：20.设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，且 (u)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原方程对 x 求导 +P(x) 将原方程对 y 求导 P(y) )解析：21.建一容积为 V 0 的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设长、宽、高各为 x，y，z，则表面积为 S=xy+2(xz+yz)，容积 V 0 =xyz问题是求三元函数 S 在条件 xyzV 0 =0 下的最小值点 用拉格朗日乘子法解条件最值问题 令F(x，y，z，)=x
17、y+2(xz+yz)+(xyzV 0 )，则有 由得 x=y，再由得 x=y=4，再代入得 z=22 x=y，z=12x，最后由得 )解析：求下列二重积分（分数：4.00）(1).计算 I= arctanyxd，其中 D：1x 2 +y 2 9， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=rcos，y=rsin，则 D：1r3，63于是 I= 6 3 d 1 3 arctan(tan)rdr= 6 3 d 1 3 rdr=12 2 | 6 3 12r 2 | 1 3 = 2 6)解析：(2).计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 如图 97(a)，被积函数分块表示，
18、要分块积分，将 D 分成 D：D 1 D 2 ，以 yx= 为分界线(如图 97(b) 在 D 1 上，yx2；在 D 2 上，0yx，则 在 D 2 上边界分段表示(如图 97(c)，也要分块积分 I= 0 dx x+ 2 sin(yx)dy+ 0 dx x x+ sin(yx)dy+ 2 dx x 2 sin(yx)dy = 0 cos(yx)| y=x+ 2 dx 0 cos(yx)| y=x x+ dx 2 cos(yx)| y=x 2 dx = 0 (cosx+1)dx+ 0 2dx 2 (cosx1)dx=4 )解析：22. 0 h dz 0 a dx （分数：2.00）_正确答案
19、：(正确答案： )解析：23.设 f(x)在区间0，1上连续，请用重积分方法证明： 0 1 f(x)dx x 1 f(y)dy=12 0 1 f(x)dx 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先将累次积分表示成二重积分，则有 I= 0 1 f(x)dx x 1 f(y)dy= f(x)f(y)dxdy， 其中 D=(x，y)0x1，xy1，如图 933，它与 D=(x，y)|0x1，0yx关于 y=x 对称于是 = 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)dy = 0 1 f(x)dx 0 1 f(y)dy= 0 1 f(x)dx 2 ， 因此，I=12 0 1 f(x)dx 2 )解
20、析：设有级数 （分数：4.00）(1).若 (u 2n1 +u 2n )=(u 1 +u 2 )+(u 3 +u 4 )+收敛，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).设 u 2n1 =1n，u 2n = n n+1 dxx (n=1，2，)，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 这是交错级数，已知 u n =0为证u n 单调下降，只需证 u 2n1 u 2n u 2n+1 (n=1，2，3，)， )解析：24.设 (a n a n1 )收敛，又 b n 是收敛的正项级数，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：级数 (a n a n1 )
21、收敛，即其部分和 S m = (a n a n1 )=(a 1 a 0 )+(a 2 a 1 )+(a m a m1 )=a m a 0 为收敛数列，从而a n 也是收敛数列我们知道数列收敛则一定有界，设|a n |M，n=1，2，则|a n b n |M|b n |=Mb n 再由于 b n 是收敛的正项级数，这样，利用比较判别法，即知 |a n b n |收敛，即 )解析：25.考察级数 a n p ，其中 a n = ，p 为常数 ()证明： (n=2，3，4，)； ()证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()将 a n 2 改写成 a n 2 (n=1，2，3，) 再将 n a 2 改写成 a n 2 14n (n=2，3，4，) ()容易验证比值判别法对级数 a n p 失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性题()已给出了a n 上下界的估计，由 注意当 p2 即 p21 时 )解析：
