1、考研数学二-253 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：55，分数：100.00)1.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，那么 1 - 2 ，3 1 - 2 ， （分数：1.00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个2.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么下列向量 （分数：1.00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个3.齐次方程组 （分数：1.00）A.(-2，2，1，0)T，(1，2，0，1)TB.(-1，0，1，1)T，(2，0，-2，-2)TC.(-2，2，1，0)T，(2
2、，2，-3，-4)TD.(1，-2，0，1)T4.去看待已知 1 =(1，1，-1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是（分数：1.00）A.(1，-1，3)TB.(2，1，-3)TC.(2，2，-5)TD.(2，-2，6)T5.已知 1 ， 2 ， 3 是线性非齐次方程组 Ax=b 三个解向量则下列向量中仍是 Ax=b 的解是 A 1 - 2 - 3 Ba 1 +(1-a) 2 - 3 C （分数：1.00）A.B.C.D.6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解
3、系还可以是（分数：1.00）A.1-2，2+3，3-4，4+1B.1+2，2+3+4，1-2+3C.1-2，2+3，3+4，4+1D.1-2，2-3，3+4，4+17.设 A 是 mn 矩阵，A T 是 A 的转置，若 1 ， 2 ， s 是齐次方程组 A T x=0 的基础解系，则秩 r(A)=（分数：1.00）AtB.n-tC.m-tD.n-m8.要使 1 =(2，1，1) T ， 2 =(1，-2，-1) T 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.9.a=1 是齐次方程组 （分数：1.00）A.充分必要条件B.充分而非
4、必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分又非必要条件10.已知 1 ， 2 是 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的 2 个不同的解，若秩 r(A)=n-1，则 Ax=0 的通解是（分数：1.00）A.k1B.k2C.k(1+2)D.k(1-2)11.设 （分数：2.00）A.3B.-5C.3 或-5D.5 或-312.设 Ax=b 有通解 k 1 1 +k 2 2 +=k 1 (1，0，1) T +k 2 (-1，3，2) T 则下列向量中不是Ax=b 的解向量的是（分数：2.00）A.1=(3，-5，-4)TB.2=(0，4，2)TC.3=(3，-2，-1)TD.4=(3，1，-1)T13.
5、下列非齐次线性方程组中，无解的方程组是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 都是四维列向量，A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，非齐次线性方程组 Ax= 5 有通解 k+=k(1，-1，2，0) T +(2，1，0，1) T ，则下列关系式中不确的是（分数：2.00）A.21+2+4-5=0B.5-4-23-31=0C.1-2+23-5=0D.5-4+43-32=015.已知方程组 （分数：2.00）A.-1B.10C.1D.216.设 A 为秩是 r 的 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是（分数：2.00）A.
6、r=mB.m=nC.r=nD.mn17.设 A 为 mn 矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解B.若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解C.若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解D.若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解18.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 - 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常
7、数，那么 Ax= 的通解为 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()Ax=0 和()A T Ax=0，必有（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，()的解不是()的解C.()的解是()的解，()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解20.设 A 是 n 阶矩阵，经过若干次初等行变换后得到的矩阵记为 B，则下列结论： 1(A)=r(B) 2|A|=|B| 3Ax=0 和 Bx=0 同解 4Ax=b 和 Bx=b 同解 中正确的是（分数：2.
8、00）A.1，2B.3，4C.1，3D.2，421.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0，现有四个命题 (1)()的解必是()的解 (2)()的解必是()的解 (3)()的解不是()的解 (4)()的解不是()的解 以上命题中正确的是（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)22.设矩阵 A= （分数：2.00）A.1，0，-2B.1，1，-3C.3，0，-2D.2，0，-323.已知 A 是 4 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是（分数：2.00）A.
9、A-EB.2A-EC.A+2ED.A-4E24.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是（分数：2.00）A.ATB.A2C.A-1D.A-E25.矩阵 （分数：2.00）A.(1，0，-1)TB.(3，3，-6)TC.(4，-1，2)TD.(1，1，-2)T26.已知 =(1，-2，3) T 是矩阵 （分数：2.00）A.a=-2，b=6B.a=2，b=-6C.a=2，b=6D.a=-2，b=-627.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (
10、4) （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个28.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特征向量B.若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量C.若 是 A2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量29.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A-2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是（分数：2.00）AB.A+2C.A2-AD.A2+2A-330.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1
11、，3，-2，相应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，若 P= 1 ，2 3 ，- 2 ，则 P -1 AP= A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.31.已知 （分数：2.00）A.1，-2，3B.1，2+3，2-23C.1，3，2D.1+2，1-2，332.已知矩阵 ，那么下列矩阵中 (1) (2) (3) (4) （分数：2.00）A.1B.2C.3D.433.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.34.下列矩阵中，A 和 B 相似的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.35.设 A 是三阶矩阵，B= 是三阶可
12、逆阵，且 ，则 A A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.36.设 A 是三阶不可逆矩阵，已知 Ax= 有解 ，Ax= 有解 ，则 A A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.37.设 A、B、C、D 都是 n 阶矩阵，且 AC，BD，则必有 A(A+B)(C+D) B CABCD D （分数：2.00）A.B.C.D.38.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，若 AB，则下列命题中 (1)ABBA (2)A 2 B 2 (3)A -1 B -1 (4)A T B T 正确的命题共有（分数：2.00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个39.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=
13、1，则 =0（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能40.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有（分数：2.00）A.秩 r(A)=0B.秩 r(A)=1C.秩 r(A)=2D.条件不足，不能确定41.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 与 B 相似的（分数：2.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件42.n 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征向量是 A 与 B 相似的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.
14、既不充分又不必要条件43.n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也不必要条件44.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.矩阵 A-E 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成45.设 （分数：2.00）AEB.-EC.2ED.3E46.二次型 的标准形可以是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.47.二次型 f(x 1
15、 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 1 ) 2 +(2x 1 +3x 1 +x 3 ) 2 =5(x 2 +x 3 ) 2 的规范形是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.48.下列矩阵中，正定矩阵是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.49.对于 n 元二次型 x T Ax，下述命题中正确的是（分数：2.00）A.化 xTAx 为标准形的坐标变换是唯一的B.化 xTAx 为规范形的坐标变换是唯一的C.xTAx 的标准形是唯一的D.xTAx 的规范形是唯一的50.下列矩阵中 A 与 B 合同的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.51.设 （分
16、数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.不相似也不合同52.与二次型 的矩阵 A 既合同又相似的矩阵是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.53.设 A，B 均 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式54.下列二次型中正定二次型是（分数：2.00）A.f1=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2B.f2=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2C.f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x
17、3-x4)2+(x4-x1)2D.f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4-x1)255.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与C（分数：2.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似考研数学二-253 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：55，分数：100.00)1.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，那么 1 - 2 ，3 1 - 2 ， （分数：1.00）A.4 个B.3 个 C.
18、2 个D.1 个解析：解析 由于 A 1 =b，A 2 =b，那么 A(3 1 -2 2 )=3A 1 -2A 2 =3b-2b=b， 可知 3 1 -2 2 ， 2.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么下列向量 （分数：1.00）A.4 个 B.3 个C.2 个D.1 个解析：解析 由 A i =b(i=1，2，3)有 A( 1 - 2 )=A 1 -A 2 =b-b=0 A( 1 + 2 -2 3 )=A 1 +A 2 -2A 3 =b+b-2b=0 A( 1 -3 2 +2 3 )=A 1 -3A 2 +2A 3 =b-3b+2b=0 所以， 1
19、- 2 ， 1 + 2 -2 3 ， 3.齐次方程组 （分数：1.00）A.(-2，2，1，0)T，(1，2，0，1)TB.(-1，0，1，1)T，(2，0，-2，-2)TC.(-2，2，1，0)T，(2，2，-3，-4)T D.(1，-2，0，1)T解析：解析 齐次方程组 Ax=0 的基础解系有 3 层含义：(1)齐次方程组的解；(2)线性无关；(3)解向量个数为 n-r(A) 本题 B 中两个向量线性相关，肯定不是基础解系，要排除易见本题秩 r(A)=2，那么 n-r(A)=4-2-2，即解向量个数应为 2，故要排除 D至于 A 和 C 必有一个正确，因此(-2，2，1，0) T 肯定是解
20、那么(0，2，0，1) T 与(2，2，-3，-4) T 中必有一个不是解，故要从解的角度来分析判断将(1，2，0，1) T 代入方程，知不是方程组的解，所以要选 C4.去看待已知 1 =(1，1，-1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是（分数：1.00）A.(1，-1，3)TB.(2，1，-3)T C.(2，2，-5)TD.(2，-2，6)T解析：解析 记选项 A，B，C，D 中向量分别是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，因 1 ， 4 成比例，如果 A 是 Ax=0 的解，则 D 必是 Ax=0 的解因此 A、D 均不
21、是 Ax=0 的解 由于 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系，那么 1 ， 2 可表示 Ax=0 的任何一个解 ，亦即方程组 x 1 1 +x 2 2 = 必有解因为 5.已知 1 ， 2 ， 3 是线性非齐次方程组 Ax=b 三个解向量则下列向量中仍是 Ax=b 的解是 A 1 - 2 - 3 Ba 1 +(1-a) 2 - 3 C （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因 A i =b，i=1，2，3，故 A 项 A( 1 - 2 - 3 )=b-b-b=-bb B 项 A(a 1 +(1-a) 2 - 3 )=ab+(1-a)b-b-0b C 项 6.设 1 ， 2 ， 3
22、， 4 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以是（分数：1.00）A.1-2，2+3，3-4，4+1B.1+2，2+3+4，1-2+3C.1-2，2+3，3+4，4+1D.1-2，2-3，3+4，4+1 解析：解析 由已知条件知 Ax=0 的基础解系由四个线性无关的解向量所构成现在 B 中仅三个解向量，个数不合要求故 B 不是基础解系 A 和 C 中，都有四个解向量，但因为 ( 1 - 2 )+( 2 + 3 )-( 3 - 4 )-( 4 + 1 )=0 ( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 - 4 )-( 4 + 1 )=0 说明 A、C 中的解向
23、量组均线性相关，因而A、C 也均不是基础解系 用排除法可知 D 入选或者盲接地，由 因为 7.设 A 是 mn 矩阵，A T 是 A 的转置，若 1 ， 2 ， s 是齐次方程组 A T x=0 的基础解系，则秩 r(A)=（分数：1.00）AtB.n-tC.m-t D.n-m解析：解析 由于 A 是 mn 矩阵，知 A T 是 nm 矩阵，那么 A T x=0 是 n 个方程 m 个未知数的齐次线性方程组，从而 m-r(A T )=t又因 r(A)=r(A T )，所以 r(A)=m-t，即应当选 C8.要使 1 =(2，1，1) T ， 2 =(1，-2，-1) T 都是齐次线性方程组 A
24、x=0 的解，只要系数矩阵 A 为 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 1 、 2 线性无关，所以 Ax=0 至少有两个线性无关的解，故 n-r(A)2 即 r(A)3-2=1 因此排除 A、C 对于 B 和 D，因为 2 不是方程组 D 的解，因此排除 D故应选 B9.a=1 是齐次方程组 （分数：1.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分又非必要条件解析：解析 Ax=0 是三个未知数三个方程的齐次线性方程组，Ax=0 有非零解的充分必要条件是行列式|A|=0，由于 10.已知 1 ， 2 是 n 元齐次线性方程组 Ax
25、=0 的 2 个不同的解，若秩 r(A)=n-1，则 Ax=0 的通解是（分数：1.00）A.k1B.k2C.k(1+2)D.k(1-2) 解析：解析 由 n-r(A)=n-(n-1)=1，故 Ax=0 的通解形式为 k，04 个选项中向量均是 Ax=0 的解向量，因为 1 或 2 有可能是零解，所以不能保证 A 或 B 一定是通解 由 1 + 2 有可能为 0，所以不能保证 C 一定是通解 因为 1 2 肯定有 1 - 2 0，因此 1 - 2 必是 Ax=0 的非零解，所以 D 正确11.设 （分数：2.00）A.3B.-5 C.3 或-5D.5 或-3解析：解析 因为齐次方程组 Ax=0
26、 有非零解，且其任一解均可以由 线性表出，说明 Ax=0 的基础解系只有一个向量因此 r(A)=3-1-2对矩阵 A 作初等变换有 12.设 Ax=b 有通解 k 1 1 +k 2 2 +=k 1 (1，0，1) T +k 2 (-1，3，2) T 则下列向量中不是Ax=b 的解向量的是（分数：2.00）A.1=(3，-5，-4)TB.2=(0，4，2)TC.3=(3，-2，-1)TD.4=(3，1，-1)T 解析：解析 若 i 是 Ax=b 的解， i k 1 1 +k 2 2 +，即方程组 1 x 1 + 2 x 2 += i 有解 即 1 x 1 + 2 x 2 += i - 有解 将
27、1 ， 2 ， 1 -， 2 -， 3 -， 4 -，合并成矩阵，并作初等行变换，得 13.下列非齐次线性方程组中，无解的方程组是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 观察方程组增广矩阵中系数的规律性C 中第一个方程和第二个方程是矛盾方程(若 x 1 -x 2 +2x 3 =1，则必有-2x 1 +2x 2 -4x 3 =-2-3)方程组无解故应选 C A、B 的系数行列式不为零，方程组唯一解 D 中第一个方程+第二个方程一第三个方程第三个方程是多余方程显然有 r(A)=r(A|b)=2，方程组有无穷多解14.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 都是四维列向量，
28、A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，非齐次线性方程组 Ax= 5 有通解 k+=k(1，-1，2，0) T +(2，1，0，1) T ，则下列关系式中不确的是（分数：2.00）A.21+2+4-5=0B.5-4-23-31=0C.1-2+23-5=0 D.5-4+43-32=0解析：解析 方程组有通解 k+ 知 5 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 k+ 15.已知方程组 （分数：2.00）A.-1B.10C.1 D.2解析：解析 线性方程组 Ax=b 有两个不同的解 Ax=b 有无穷多解 由于本题的系数矩阵比较复杂，故可以由|A|=0 来排查因为 所以本题中方程组有无穷多解的必要条件是|A|=
29、0，故可排除 A 与 D 至于 =1，还是 =10?可以对增广矩阵代入特殊值后消元处理例如，把 =1 代人原方程组，有 因为 16.设 A 为秩是 r 的 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是（分数：2.00）A.r=m B.m=nC.r=nD.mn解析：解析 因为 A 是 mn 矩阵，r(A)=m 说明 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的 m 个行向量也必线性无关因此， ，即方程组 Ax=b 必有解但方程组有解时，并不要求秩必为优所以 A 是充分条件那么 B、C、D 错在何处? 当 m=n 时，A 是秩为 r 的 n 阶矩阵，由于增广矩
30、阵的秩不能保证必是 r，因此推导不出方程组必有解； 当 r(A)=n 时，增广矩阵的秩 17.设 A 为 mn 矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解 B.若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解C.若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解D.若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解解析：解析 A 是 mn 矩阵，若 A 中有 n 阶子式不为零，而 A 中又不存在 n+1 阶子式，故必有 r(A)=n同理，若 A 中有 m 阶子式不为零，则必有 r(A)=m，本题就是考查秩与方程组解之间
31、的关系 对于 A，因为 r(A)=n，而 Ax=0 是 n 个未知数的齐次方程组，所以 Ax=0 必只有零解即 A 正确 关于 B，当 r(A)=n 时，增广矩阵 A 的秩有可能是 n+1，所以 Ax=b 可能无解即 B 不正确为此，请思考下例 有 r(A)=2， ，方程组无解 至于 C 和 D，r(A)=m 说明 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以 因此，方程组 Ax=b 必有解但是否必有唯一解?Ax=0 是否只有零解都是不确定的例如， 有非零解 18.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性
32、无关，若 1 +2 2 - 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 1 +2 2 - 3 = 知 19.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()Ax=0 和()A T Ax=0，必有（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，()的解不是()的解C.()的解是()的解，()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解解析：解析 如果 是()
33、的解，有 A=0，可得 A T A=A T (A)=A T 0=0 即 是()的解故()的解必是()的解 反之，若 是()的解，有 A T A=0，用 T 左乘可得 (A) T (A)=( T A T )(A)= T (A T A)= T 0=0 若设 A=(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，那么 20.设 A 是 n 阶矩阵，经过若干次初等行变换后得到的矩阵记为 B，则下列结论： 1(A)=r(B) 2|A|=|B| 3Ax=0 和 Bx=0 同解 4Ax=b 和 Bx=b 同解 中正确的是（分数：2.00）A.1，2B.3，4C.1，3 D.2，4解析：解析 A 经过若干次初等行变换得
34、 B即存在可逆阵 P，使 PA=B，(P 是若干个初等阵的积)故有r(A)=r(PA)=r(B)，故 1成立又若存在 x，使 Ax=0，必有 Bx=(PA)x=P(Ax)=0，反之(PA)x=P(Ax)=0，两边左乘 P -1 ，得 Ax=0，故 Ax=0 和 Bx=0 同解，3成立，故应选 C 注意|A|B|=|PA|=|P|A|，|P|不一定为 1，故 2不成立又若 Ax=b 两边左乘 P，有 PAx=Pbb，故4不成立即 A，B，D 不成立21.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0，现有四个命题 (1)()的解必是()的解 (2)()的解
35、必是()的解 (3)()的解不是()的解 (4)()的解不是()的解 以上命题中正确的是（分数：2.00）A.(1)(2) B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)解析：解析 若 A n =0，则 A n+1 =A(A n )=A0=0，即若 是()的解，则 必是()的解，可见命题(1)正确 下面的问题是选 A 还是选 B?即(2)与(4)哪一个命题正确? 如果 A n+1 =0，而 A n 0，那么对于向量组 ，A，A 2 ，A n ，一方面有： 若 k+k 1 A+k 2 A 2 +k n A n =0，用 A n 左乘上式的两边，并把 A n+1 =0，A n+2 =0，代人，得
36、 kA n =0， 由于 A n 0 而知必有 k=0类似地用 A n-1 左乘可得 k 1 =0， 因此，A，A 2 ，A n 线性无关但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量它们必然线性相关，两者矛盾故 A n+1 =0 时，必有 A n =0，即()的解必是()的解因此命题(2)正确 故命题(1)，(2)正确，即 A n x=0 和 A n+1 x=0 也是同解方程，应选 A22.设矩阵 A= （分数：2.00）A.1，0，-2B.1，1，-3C.3，0，-2D.2，0，-3 解析：解析 由特征值的性质： 现在 23.已知 A 是 4 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是
37、1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是（分数：2.00）A.A-EB.2A-EC.A+2E D.A-4E解析：解析 根据 ，可知 A 可逆的充分必要条件是 i 0(i=1，2，n) 法一 由 A*的特征值是 1，-1，2，4 知|A*|=-8，又因|A*|=|A| n-1 而知|A| 3 =-8，于是|A|=-2，故 A 的特征值 0，则 A*的特征值 ，从而 ，故，矩阵 A 的特征值是： 因此，A-E 的特征值是-3，1，-2， ，2A-E 的特征值-5，3，-3，-2；A-4E 的特征值-6，-2，-5， ，因为特征值均非 0，矩阵 A-E，2A-E，A-4E 均可逆 但矩阵 A+2E 的特征
38、值为 0，4，1， 24.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是（分数：2.00）A.AT B.A2C.A-1D.A-E解析：解析 由 A=，0 可得到： A 2 = 2 ， 25.矩阵 （分数：2.00）A.(1，0，-1)TB.(3，3，-6)TC.(4，-1，2)T D.(1，1，-2)T解析：解析 若 是 A 的特征向量，那么 k(k0)仍是 A 的特征向量因此，如果 B 正确，必有 D 正确所以 B、D 均不正确，故排除 B 和 D由 A=，0 知 与 A 的对应分量应当成比例 因为(1，0，-1) T 与(7，0，5) T 坐标不成比例，所以(1，0，-1)
39、 T 不是 A 的特征向量，所以 A 不正确，用排除法可知应选 C，或直接逐项验算，其中 C 26.已知 =(1，-2，3) T 是矩阵 （分数：2.00）A.a=-2，b=6 B.a=2，b=-6C.a=2，b=6D.a=-2，b=-6解析：解析 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有 对应分量相等，即有 27.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4) （分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析 由 A=，0，有 A 2
40、=A()=A= 2 a，0 即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量 又 知 必是矩阵 属于特征值 28.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特征向量B.若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量C.若 是 A2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量 解析：解析 若 是 2A 的特征向量，即(2A)=，0 那么 ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量即 D 正确由于(E-A T )x=0，(E-A*)x=0，(E-A 2 )x=0 分别与(E-A)x=0 不
41、一定有相同的解，所以 不一定是 A 的特征向量如取 但 29.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A-2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是（分数：2.00）AB.A+2C.A2-A D.A2+2A-3解析：解析 已知 A 3 +2A 2 -3A=0即有 (A+3E)(A 2 -A)=0=0(A 2 -A) 因为 ，A，A 2 线性无关，那么必有 A 2 -A0，所以，A 2 -A 是矩阵 A+3E 属于特征值=0 的特征向量，亦即矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量30.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，
42、相应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，若 P= 1 ，2 3 ，- 2 ，则 P -1 AP= A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由 A 2 =3 2 ，有 A(- 2 )=3(- 2 )，即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量同理 2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =-2 的特征向量 当 P -1 AP=A 时，P 由 A 的特征向量所构成，A 由 A 的特征值所构成，且 P 与 A 的位置是对应一致的现在，矩阵 A 的特征值是 1，3，-2，故对角矩阵 A 应当由 1，3，-2 构成，因此
43、排除 B、C由于 2 3 是属于 =-2 的特征向量，所以-2 在对角矩阵 A 中应当是第 2 列，故应选 A31.已知 （分数：2.00）A.1，-2，3B.1，2+3，2-23C.1，3，2D.1+2，1-2，3 解析：解析 若 则有 AP=PA 即 32.已知矩阵 ，那么下列矩阵中 (1) (2) (3) (4) （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 二阶矩阵 A 有两个不相等的特征值 1 和 3，因此 ，那么只要和矩阵 A 有相同的特征值它就一定和相似，也就一定与 A 相似 (1)与(2)分别是上三角与下三角矩阵，特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，又 33
44、.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化 C 是秩为 1 的矩阵，Ax=0 有二个线性无关解，是 A 的对应于 =0 特征向量=0 至少是 A 的二重特征值，又 ，故 =0 是二重特征值 A 相似于对角阵或由|E-A|= 3 -4 2 ，知矩阵的特征值是4，0，0对于二重根 =0，由秩 r(0E-A)=r(A)=1 知齐次方程组(0E-A)x=0 的基础解系有 3-1=2 个线性无关的解向
45、量，即 =0 有两个线性无关的特征向量从而矩阵必可以相似对角化由排除法，知应选 D或 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，-1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩 34.下列矩阵中，A 和 B 相似的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 根据 A 和 B 相似的必要条件 (1)r(A)=r(B) (2)|A|=|B| (3) A = B (4) 易见 A 秩不等、B 主对角线之和不等、D 行列式、或主对角线之和或特征值不等均不相似所以应选C实际上，对于 C 由 知矩阵 A 的特征值为 2，0，0又因秩 r(0E-A)=1，有 n-r(0E-A)=2即齐次方程组(QE-A)x=0 有 2 个线性无关的解，亦即 =
